紧扣知识生长点,让思维在“重温”中飞扬——对“最值问题”专题复习课的剖析与思考

丁 洁

⦿无锡市河埒中学

中考第二轮复习一般设为专题复习课,是在一轮复习——夯实“四基”的基础上,注重知识的纵横联系,强化重点、考点,是对学生已有知识、技能、思想方法的升华．因此,如何上好专题复习课,让它更有新意与深意,值得每位一线教师思考．《义务教育数学课程标准(2022年版)》(以下简称《新课标》)中指出:要运用数学的思维方式进行思考,让学生有足够的时间和空间经历观察、抽象、探索、猜测、推理、验证等活动过程.可见,初中数学是活动和思维的学科．本文中从一次专题复习课的两个不同案例出发,侧重于对问题设计角度的剖析,谈谈如何抓住知识的生长点,让思维在“重温中”飞扬．

1 教学案例的简要呈现

在一次中考复习研讨会上,两位教师执教二轮复习的同一个课题“最值问题——线段和差问题”,这两个班级整体水平较高,学生思维较敏捷．

案例1

例1从点A(—2,3)发出的一束光,经x轴反射后过点B(3,1),则这束光线从点A到点B所经过的路径长为______．

图1

变式2如图2,在等边三角形ABC中,AB=6,N为线段AB上的任意一点,∠BAC的平分线交BC于点D,M是AD上的动点,连接BM,MN,则BM+MN的最小值是______．

图2

案例2

例2如图3,在平面直角坐标系中,A(8,0),B(2,0),直线l与x轴的正半轴的夹角为30°,P是直线l上一动点,求PA+PB的最小值．

图3

变式1如图3,平面直角坐标系中,A(8,0),B是x轴上的一个动点,直线l与x轴的正半轴的夹角为30°,P是直线l上一动点,求AP+BP的最小值．

变式2如图4,在平面直角坐标系中,A(8,0),B是x轴上的一个动点,直线l与x轴的正半轴的夹角为30°,P是直线l上一动点,Q是直线l上一定点,且OQ=2,求AP+PB+BQ的最小值．

图4

接着,授课者提问学生:你还能“变”出哪些题来?

生1:如图4,在平面直角坐标系中,A(8,0),B是x轴上的一个动点,若转动直线l使其与x轴的正半轴的夹角为15°,P,Q是直线l上的两个动点,求AP+PB+BQ的最小值．

生2:如图5,在平面直角坐标系中,A(8,0),C(1,0),B是线段AC上的一个动点,直线l与x轴的正半轴的夹角为15°,P,Q是直线l上的两个动点,求AP+PB+BQ+QC的最小值．

图5

…………

学生讨论激烈,思维被激活,最后,授课者组织学生对问题进行归类梳理,并解决产生的新问题．

2 教学案例的剖析与思考

2.1 目标定位,理解学生

教学目标就是教学的方向,目标定位关乎一堂课的成败.正确的目标定位的前提是理解学生,因为学生是课堂教学的主体,教师只有明晰学生已有的知识经验、学习习惯、思维特点等,才能做到有的放矢,事半功倍．对于案例1,从“将军饮马”问题出发,教师在教学过程中注重以生为本,由学生独立求解,而因知识容量偏小,几个变式问题难度也不大,使得学生在课堂教学中对答如流,但看似流畅的背后往往存在一些隐忧.因为该班学生的基础扎实,整体水平较高,况且这是二轮复习,如果仅仅是重现原来的问题或设置的问题难度过低,那么思维含量就会偏低,导致这些功底好的学生,几乎不需多加思考就能解决,思维又怎能兴奋呢?案例1的教学使不少学生处于被动答题状态,长此以往,他们学习数学的兴趣也会逐步丧失．而案例2的题量与难度都比较符合学生实际,学生或动手解答,或动脑思考,都能积极参与其中．当然,如果在普通层次的班级,问题设计偏难,也不符合学生实际,同样会降低复习效率．可见,题量、难度是二轮复习目标定位的两个重要元素,教学一定要落在学生的最近发展区．另外,二轮复习的目标定位,还要考虑课标和本地中考对知识点的相关要求,考虑中考的重点、热点以及一轮复习的薄弱点．弄清这些问题后,再合理选材,就能让预设的教学目标与课堂生成相匹配,使复习教学更有针对性,也更有价值．当然,案例2也存在一些不足:(1)案例2中问题背景单一,不利于学生解决新颖问题;(2)课题为线段的和差问题,而选择的问题却只有“和”未见“差”.建议在例1之后,增设一道“自主练习”题:在平面直角坐标系中,A(1,3),B(4,3),在直线y=x上是否存在一点P,使得|PA-PB|最大.如果存在,求出此时点P的坐标.这样既更换了问题背景,也探究了“差”的最值．

2.2 精选问题,用好经典

模型观念是初中数学学科核心素养的关键词之一,《新课标》认为数学模型可以有效地描述自然现象和社会现象．俗话说,好钢要用在刀刃上,好题也要放在合适的位置才能发挥它的最大价值,所以选择经典问题是上好复习课的第一步．几何中的最值问题,通常最终归结为“两点之间线段最短”“垂线段最短”.因此,上述两个案例,紧抓知识要点,都是以学生熟悉的“将军饮马”问题作为切入点,重温几何最值中的最基本模型.从这一经典问题出发,由浅到深,再现“化折为直”的转化思想,最终运用“两点之间线段最短”顺利解决问题．在复习时,应有意识地加深学生对这些核心知识的理解和认识,使学生在遇到几何最值问题时,能够联想到“将军领马”等基本模型,将陌生问题变为熟悉问题．因此,寻找题根至关重要．数学教学从来不缺少题目,只是缺少对题目的筛选和创新.教师在选择例题和习题时,要及时发现习题之间的内在联系,精心选择,合理编排,科学创新,让例题具有生长性、层次性、科学性.通过有限的题量,达到无限的效果,从而培养学生思维的深刻性和发散性．

2.3 变式问题,拓展经典

数学学习需要一定的连贯性与灵活性.案例2中以例1为背景,进行了2次变式.其一,可节省学生审题的时间;其二,在主线清晰的情况下,更方便学生将知识点加以整合,舍弃枝叶,突出问题本质,提炼数学模型．变式1把例1中的定点B变为x轴上一动点,化定为动,进一步加深问题．根据“点动成线”的思路,x轴即为所有动点B的集合,作定点A关于直线l的对称点A′,则此时A′B的最小值即为点A′到x轴距离的最小值,“点与直线之间,垂线段最短”的“加盟”使问题走向深入．变式2将问题由“两折线求和的最小值”拓展为“三折线求和的最小值”,有了之前的题型铺垫、思维构建,学生易想到通过轴对称“化折为直”．变式2通过两次轴对称,先以点P所在的直线为对称轴作点A的对称点A′,得到AP=A′P,再以点B所在的x轴为对称轴作Q的对称点Q′,得到BQ=BQ′,因此可得AP+PB+BQ=A′P+PB+BQ′,从而将问题化归．案例2中巧用具有梯度的变式,由简单到复杂,由浅入深,层层递进,满足不同层次的学生解决不同层次的问题,拾级而上,让学生的思维逐步走向深入．

案例2中授课者还设计了开放型问题.开放型问题一般需要学生经历观察、分析、比较的过程,才能很好地对题组进行提炼、发散.在变式1、变式2中,授课者一直在带领学生感受题目变化的过程,领悟题目变化过程中思维的提升发展,感受“化定为动”“化折为直”的奥妙．通过题组连贯性的发展,学生“变”出来的题目可谓是在变式1和变式2的基础上“长”出来的,生1“让定点再次动了起来”,而生2更为大胆地尝试了增加线段的条数．开放型问题,打开了学生的思域,再加上最后师生互动性的思维提炼,笔者发现不管数学模型隐藏得有多深,只要将问题与模型联系起来,学会融会贯通,无从下手的问题也会变得轻而易举．而在其后的解答过程中,学生都在尝试通过轴对称“化折为直”,努力将问题转化为“两点之间线段最短”“垂线段最短”问题,可谓把握住了此类题型的精髓.

通过对一系列问题的整合,学生感受到不断的变化与转化中,万变不离其宗的是“两个最短”原理和对称的思想方法．这样的设计直击几何最值问题的本质,培养了学生思维的灵活性与深刻性．同时,开放型问题更有利于激发学生兴趣,培养学生创新意识,让他们真正成为课堂的主人．从案例2的例1开始生长变式,便于进行归纳、提炼共性.其一,选择在同一个背景下,以问题串的形式,激发学生兴趣,引发学生思考;其二,在讲解过程中,有意识地引导学生关注“变化与不变”“运动与静止”“有限与无限”等关系,站在发展的角度思考问题,有益于培养学生思维的敏捷性和深刻性．

这两个案例给我们以启示,若能从多角度进行变式拓展及“生长”,经典题就犹如题根,抓住题根,就等于抓住了整个题系,再抓根挖掘进行改编,就可以实现“做一题,会多题,会一法,得通法”,让复习更有效,事半而功倍．因此,教师应该找到知识、方法的生长点,拓展经典,让老题生根发芽、焕发新机,帮助学生走出题海．教学实践表明,在最近发展区设置问题,让学生“数学地思考问题”,有助于学生产生思维共振,同时让学生习得解决问题的数学思想方法,积累数学知识和经验.通过例题及适度的一题多变、一题多解,不仅能激发学生的兴趣,还能培养学生思维的发散性和灵活性;通过对问题的层层深入,引导学生关注“数学本质”,有益于培养学生思维的敏捷性和深刻性.这样的课堂教学,将使学生终身受益．