浙教版尝试检验法求解二元一次方程组的思考

王利庆

⦿浙江省杭州市余杭仓前中学

笔者参加杭州市余杭区某中学调研听课活动,教学内容是浙教版七年级下册“2.2二元一次方程组”,现结合三位教师对用列表尝试法求解二元一次方程组的教学处理,谈一些自己的思考,供大家探讨.

1 三位教师课堂简录

以下是三位教师用列表尝试法得出二元一次方程组解的部分课堂简录及其分析.(三位教师分别称为师1,师2,师3.)

引例一个苹果和一个梨的质量合计200 g,这个苹果的质量加上一个10 g的砝码恰好与这个梨的质量相等(如图1).问苹果和梨的质量各为多少g?

图1

三位教师都是用这个实例引导学生先列出两个二元一次方程,得到一个二元一次方程组,以探究所得方程组的解为任务,开展列表尝试求二元一次方程组解的教学过程.

(1)已知方程x+y=200,填写表1:

表1

(2)已知方程y=x+10,填写表2:

表2

片段一：

师1:我们上学期已经学过用尝试检验法求一元一次方程的解,那么是否也可用尝试检验法求二元一次方程组的解呢?

生:(齐回)可以.

师1:确实,研究方程组解的性质与方法与一元一次方程的一致,请同学们完成表1、表2,并思考其中是否有相应二元一次方程组的解,如有,是哪一组?

接下来,教师用PPT直接呈现上述表格,由学生齐声回答完成空格内容.

(3)有没有这样的解,它既是方程x+y=200的解,又是方程y=x+10的解?

通过观察分析上述两个二元一次方程的解,找出两个二元一次方程的公共解即为相应方程组的解.

归纳环节教师提问:这里的x,y应该取什么数?学生回答是正有理数.

优点：用尝试检验法探求一元一次方程解的方法迁移到求二元一次方程组的解中,符合学生的认知规律,满足最近发展区.

片段二：

师2:你能说出苹果和梨的质量(即x与y的值)分别是多少克吗?请试一试.

师2:其他同学还有不同的方法吗?(教师期待学生自己提出尝试检验法.)

师2:这两位同学用的是我们下一节要学习的解二元一次方程组的方法.这个方程组还可以用尝试检验法来求解.(师2用PPT呈现表1.)

师2:x表示什么?y表示什么?它们是哪种类型的数?

生齐答:x和y分别表示苹果和梨的质量,所以它们是正有理数.由于学生已经运用代入消元法得出了方程组的解,因此教师就没在如何尝试的环节上做启发,得出解后进入了下一个环节.

优点：让学生先思考方程组的解是什么,培养学生的主动思考习惯和探究意识.追问x,y的取值范围,其实是对尝试检验法适用范围的思考和引导.

片段三：

师3:上述问题中,x表示什么?y表示什么?它们是哪种类型的数?

生1:x和y分别表示苹果和梨的质量,所以它们是正有理数.

师3:一元一次方程的解可用尝试检验法求解,二元一次方程组的解也可用此法(PPT呈现上述表1).

师3:为什么表1中有两处要用省略号表示?

生齐答:因为二元一次方程有无数个解.

师3:表1中x从哪个数开始尝试?为什么?

生2:因为y=x+10,说明x,y之间相差10,又因为他们的和为200,说明这两个数在100附近,最后确定从85开始.

后面的教学方式三位教师都比较一致,通过齐声回答,完成表格中的数据,归纳出了二元一次方程组解的概念.

优点：除师1和师2均思考到的要点外,师3通过追问省略号的含义来复习用列表法表达二元一次方程“无数解”的特征的注意点.追问教材中x为什么从85开始尝试,让学生结合问题情境深度思考,确定最有效的尝试起点.这是尝试检验法最关键步骤之一.

三位教师都用这个实例引导学生先列出两个二元一次方程,得到方程组,以探究所得方程组解为任务,开展列表尝试求二元一次方程组解的教学过程.他们在列表尝试探究二元一次方程组解过程中,学生基本都能用所学方法求得所给问题的解.但是,三位教师对列表尝试求解的外延和本质认识讲解有所欠缺,对尝试检验法的定位和理解不够深刻,从哪个数开始尝试是关键,但学生在这个环节体验不够深刻.

2 问题剖析

2.1 浙教版教材内容比较

浙教版七年级上册“5.1一元一次方程”及七年级下册“2.2二元一次方程组”中对尝试检验法都有涉及,现将二者内容及要求整理如下:

(1)5.1 一元一次方程

教学目标:体验用尝试、检验解一元一次方程的思想方法.

难点:用尝试、检验的方法解合作学习中问题(3)的方程过程较为复杂,是本节教学难点.尝试是一种重要的解题策略,课本中介绍用尝试、检验的方法求解,以让学生经历尝试、检验的过程,体验尝试作为解决问题的策略的重要性.

(2)2.2 二元一次方程组

会用列表尝试的方法求二元一次方程组的解;本范例问题情境比较复杂,用列表尝试方法求出方程组的解是本节难点.让学生经历列表尝试解二元一次方程组的过程.利用这个方法获得解的启发来自问题本身及以往经验.浙教版教材注重对尝试检验法获取方程(组)解的体验,并将其作为本节课的难点.

2.2 课程标准对尝试检验法的解读

《义务教育数学课程标准(2022年版)》没有对一元一次方程和二元一次方程组采用尝试检验法获得方程的解进行解读和说明,而是结合方程x2+2x-10=0估计方程解时,指出了尝试检验法的教育价值,即估计方程解的过程,不仅仅在于求解,也有利于学生直观探究方程的性质,初步感悟通过代入数值进行计算也是求方程解的有效途径.一般来说,如果把一个数代入方程左边得到的值为负,把另一个数代入方程左边得到的值为正,则在这两个数之间可能有方程的解.根据这个原理,用二分法可以估计方程的解.

2.3 对尝试检验法的理解

笔者认为,用尝试检验法求解一元一次方程及二元一次方程组,除体验尝试作为解决问题策略的重要性外,它还承载着以下三个方面的教育价值:

(1)利用尝试检验法或等式的性质都能求出方程的解.不过尝试检验法在操作层面上有一定的局限性,与方程的复杂程度有关,当方程比较复杂时,这种方法就有弊端,求解会费时费力,并且带来不便.

(2)尝试、检验过程承载了培养学生数感的功能.数感是一种主动地、自觉地或自动化地理解数和运用数的态度与意识,它体现了人的一种基本数学素养.同时,数感又是建立数的概念和有效地进行计算等数学活动的基础,能有效建立数学与现实问题之间的桥梁.《义务教育数学课程标准(2022年版)》描述了数感的主要表现之一:能在具体情境中把握数的相对大小关系.数感的建立是提高学生数学素养的重要标志,运算方法的判断、运算结果的估计,都与学生数感有密切联系[1].引例问题中,苹果的质量x从哪个数开始尝试?基于对x,y范围的判断,最重要的是从两个方程的相互关系中确定从85附近开始尝试.这个起点的确定,是一次很好培养学生数感的机会.学生数感的差异,影响了用尝试检验法获得解投入时间的差异.

(3)用列表法呈现未知数x和y的关系,直观、一目了然.首先,教参中提及,它的功能是体验尝试作为解决问题的重要策略,表格可以直观反映两个量的关系,简明、扼要.这很好地反映了一个人的思维习惯,体现学生的数学素养.其次,用表格呈现x和y之间的关系,渗透了这两个变量之间相互制约、相互依赖的关系,并且可以看到每一个苹果的质量x,都有一个梨的质量y和它相对应(即一次函数的线性关系).事实上,列表法是函数的表示方法之一,为八年级上册函数表示方法的学习作铺垫.

2.4 几点思考

从数学本原看,尝试检验法是贯穿始终的,最初始于一元一次方程求解.它的求解过程体现了人们探索方程解的本原面貌,遵循人类认知及探索方程解的一般规律[2].尝试检验法,具有普适性,任何一个方程都可以通过尝试检验得到有理根(或方程根的范围),尤其随着学生数学知识的增加,求方程解的路径和方法增多(二分法、借助于对应函数图象),此时的尝试就更加精准和科学.但是,对于初一学生,教师该如何设计这个环节,更好地达成素养目标和知识目标呢?引例问题中,未知数的值是自然数,方程(方程组)中未知数的取值范围是全体实数,那么二元一次方程组的解是不是也该让学生尝试体验呢?课堂上,有学生通过整体代换消元或加减消元得到方程组的解时,教师该如何引导学生?学生在七年级上册学习求解一元一次方程的解时已经对尝试检验法的实施路径和步骤有所了解,在这节内容的教学过程中,如何在学生已有认知基础上开展教学呢?笔者对这个环节的教学进行了重构.

3 教学重构

问题你能说出苹果和梨(即x和y的值)各是多少吗?

师:用什么方法呢?在解决这个问题前,请同学们回忆一下,在求一元一次方程的解的时候,我们曾用过什么方法.

生1:尝试检验法.

师:利用这个方法是怎样求解的?

生2:先选择一个数,将其代入方程中未知数的位置,计算判断等式两边是否相等,一直尝试检验,直到方程左右两边相等,即确定这个数是方程的解.

师:利用这个方法是否可以检验二元一次方程组从而得到它的解呢?思考下述问题,请学生试一试.

设计意图：通过复习利用尝试检验法获得一元一次方程解的一般步骤,为学生在新的问题背景下的迁移作铺垫.二元一次方程(组)解的学习符合一元一次方程学习的一般步骤,即二元一次方程组的概念—二元一次方程组解的概念—尝试法检验法求方程组的解—解方程组.基于单元整体思想的教学设计实践,可以帮助学生进一步建构方程的学习路径,提升学生数学思维及数学学习能力.

追问1:这里的苹果和梨的质量x,y分别是什么数?

追问2:从哪个数开始尝试?说说你的理由.

追问3:这些尝试的解可以怎么表示出来?令y1=200-x,y2=x+10请完成表3.

表3

设计意图：学生通过对这三个追问的深度思考、讨论,对尝试检验法有更全面、完整的建构.追问2让学生有冷静思考和充分尝试的机会,在尝试的过程中优化自己的方法,真正让学生对数的感知有所体验,潜移默化地培养数感素养.追问3在已学尝试检验法经验的基础上,将两个表格进行整合,师生共同解决上述问题之后,得到了方程组的解,进而归纳出二元一次方程组解的概念.

追问4:还可以利用其他方法得到这个方程组的解吗?说说你的方法.

追问5:通过上述问题的解决,你对尝试检验法有怎样的认识?

设计意图：追问4是对用消元法求得方程组解的学生给予肯定,同时展示学生用列表尝试法求解得到方程组的解,让学生对列表尝试法与消元法有一个直观的比较和判断.对数学能力强的学生来说是一个展示的机会,对其他学生来说起到榜样和示范作用.追问5主要想让学生初步感知尝试检验法的局限性.

追问6:用尝试检验法解下列方程组

设计意图：基于学生对利用尝试检验法求解二元一次方程组的经验,再次用尝试检验法求解未知数在实数范围内的二元一次方程组的解,体现如何从方程系数特征及两个二元一次方程间的关系选择从什么数开始尝试,以及如何调整选择尝试的数值,发挥学生个体的数感作用.同时,体悟用尝试检验法求解二元一次方程组解的局限性.为下一节用消元法解二元一次方程组的合理性和必要性作铺垫.

总之,教师要认真研读教材和课程标准,挖掘教材选题背后的教育价值,精准设计教学过程和问题,让课堂最大限度地发挥培养学生数学核心素养的育人功能.