秦国工匠的素数情怀

王纲怀 邢强 茅涵青

素数又称质数，素（质）数是指在大于1的自然数中，除了1 和它本身以外，不能被其他自然数整除的数。自然数5 0 以内的素数有：2 、3 、5 、7、11、1 3 、1 7、1 9 、2 3 、2 9 、3 1 、3 7、4 1、4 3、47 等15 个。

2 0 1 6 年4月，拙著《汉镜铭文图集》在中西书局出版。此书P588“附表三 汉镜圆周等分（连弧）数字一览表”介绍了4 2 个镜例，其中3、5、7、11、13、17、19、2 3、2 9、31等10 个素数皆包括在内。斗转星移，8年过去。在秦镜资料中，笔者找出两位数以上且图片清晰的6个素数镜例，特列表如下，详见表一：

表一 秦鏡中的素数一览表

图1 战国秦早期 素地十一连弧镜图2 战国秦中期 云雷地十一连弧三龙镜图3 战国秦中晚 羽状地镜（钮座13涡云）

图4 战国秦晚至秦代 素地方华纹二龙二虎四凤十七连弧镜图5 战国秦晚至秦代 涡云地方华纹四凤十九连弧镜图6 战国秦中晚 涡云地四雷四龙镜（钮座31涡云）

在拙著《秦镜文化研究》中，笔者又找到八面7连弧镜，一面11连弧镜，两面1 3连弧镜。还有作为间接素数的三面14（7×2）连弧镜，一面钮座26（13×2）涡云的螭龙镜皆可供读者了解、研讨，本文免赘述。此外，另有若干如同本文图6的资料（如《秦镜文化研究》图59、图6 0），其钮座之涡云纹数或为2 9之素数，因图片模糊不能最终确认，而被迫放弃研讨。

使用“规、矩”（圆规、直尺）等分圆周，自古有之。若是等分连弧数字，采取8、10、12、16、2 0、2 4、3 2等数字皆十分便捷。战国秦和秦代的工匠们为什么要舍弃这些方便处理的数字，而采用7、11、13、17、19、2 3、2 9 这些不可能处理的“素数”呢？应该承认，这既是挑战，更是情怀——这是一种“敢为人先”“勇攀高峰”的民族情怀。

世界公认的数学王子、德国大数学家高斯（1777年至1855年）在2 0 0年前，发现了正17边形的尺规作图法。这个发现是人类数学史上的一座丰碑。秦国、秦代工匠们的素数情怀，在相距20 0 0年后，被高斯率先突破。这段历史告诉我们，人类的发展需要前赴后继，不断进取。

图6局部

高斯破解17连弧的尺规作图法有两个前提：其一，直尺没有刻度；其二，精确分割17份。在2 0 0 0年前，秦国工匠不可能采用高斯精确作图法，而应该是采用了“直尺有刻度”的近似法。以7连弧为例，具体的作图步骤如下：

第一步，以规画圆，其圆周即为待分割之圆。第二步，过圆心画直线，是为母线。第三步，以母线与圆周的两个交点为圆心，任意长度（超过直径）为半径，出四弧，交于两点。第四步，连接上述两交点，得两个中垂交点。第五步，以底部中垂交点为圆心，以到顶部中垂交点为半径，做大圆弧，交母线于两点，是为左、右基准点。第六步，以带刻度直尺（或圆规截取）七等分中垂直径。第七步，以左右两个基准点分别为出发点，作直线以连接至等分点（取第1、3、5这三个等分点为用）的射线，交圆弧于6个点。第八步，依次连接以上6个点和底部中垂点，可将圆周作出近似7 等分，并形成一个精度较高的近似正七边形。

有三点说明：其一，这里仅以7连弧为例，其他素数11、13、17、19、2 3、2 9、31等皆可类推，免再重复。其二，言“近似法”，必有误差，依据需要，可予调整。其三，或有更好之“近似法”，盼读者补充、指正。（注：本文得到茅昱、王坚、孙昊的支持，一并表示感谢）