解答平面向量最值问题的几个“妙招”

吴仕明

平面向量最值问题的常见命题形式有：（1）求两个向量数量积的最值；（2）求某个向量的模的最值；（3）求参数或代数式的最值.平面向量最值问题具有较强的综合性，对学生的运算和分析能力有较高的要求.下面以一道平面向量最值问题为例，谈一谈解答此类问题的“妙招”.

题目：已知平面向量 ， ， （≠0）满足||=1，||=2， ?=0， （-?=0，若向量在 ， 方向上的投影分别为x，y，-在向量方向上的投影为 z ，则 x2+y2+z2的最小值为  .

题目中给出的条件较多，需先根据题意理清各种关系，根据向量的模的公式、数乘运算法则、数量积公式、投影的定义建立关于 x、y、z 的关系式，将目标式中变量的个数减少，从而将问题转化为求代数式的最值；再利用配方法、柯西不等式、导数法、数形结合法求解.

一、配方

配方法只适用于解答含有二次式的代数问题.若平面向量最值问题中的目标式为二次式，则可采用配方法.先将目标式配成完全平方式；然后根据完全平方式恒大于或等于0的性质，令完全平方式为0，即可求得目标式的最小值.

解法1.

根据题意求得 z 的表达式后，将其代入 x 2 + y2 + z 2 中，即可将目标式化为只含有 x、y 的式子.而该式为二次式，将其配方，得到 1 5 （3x + 2 3 y - 4 3 ） 2 + 10 9 （y - 1 5 ） 2 + 2 5 ，分别令两个完全平方式为0，即可得到目标式的最小值.

二、运用柯西不等式

柯西不等式是高中数学中的一个重要公式，也是解答最值问题的重要工具. 二维柯西不等式： （a2 + b 2 ）（c 2 + d2 ） ≥（ac + bd） 2 ，当且仅当 ad = bc时取等号，其变形式为 ac + bd ≤ （a2 + b 2 ）（c 2 + d2 ） .在解答平面向量最值问题时，可将目标式配凑成两积式的和、两平方式的积，便可直接运用柯西不等式求得目标式的最值.

解法2

我们由 x 2 + y2 + z 2 联想到柯西不等式中的平方和式，于是配凑上系数2、1、- 5 ，即可得到三个积式的和，运用柯西不等式就能快速求得目标式的最值.值得注意的是，运用柯西不等式求得最值后，还要对取等号的情形进行检验.

三、导数法

导数法是解答最值问题的常用方法.运用导数法解答平面向量最值问题，往往需先确定自变量及其取值范围；然后将目标式看作函数式，并对其求导；再根据导函数大于0、小于0，确定函数的单调性和单调区间，进而确定函数的极大（小）值，所得的极值即为函數的最值.

解法3

运用导数法解答平面向量最值问题，关键是构造出合适的函数式.构造函数式的方式有两种：一是直接将目标式视为函数式，二是先对目标式进行适当的变换，再构造函数式.

四、数形结合法

在解答平面向量最值问题时，可仔细挖掘目标式的几何意义，如将 x 2 + y2 看作点 （x，y） 与原点的距离的平方，将 ax 看作一条直线，再画出相应的几何图形，便可通过研究图形中的点、直线、曲线的位置关系，确定目标式取得最值的情形，从而求得问题的答案.

解法4

我们将目标式中的 x 2 + y2 看作线段 OP 长度的平方，将 （2x + y - 2） 2 5 看作 P 到直线 2x + y - 2 = 0 的距离的平方，便可将问题转化为距离问题，通过研究点 O、 P、Q 以及直线之间的位置关系确定目标式取最小值的情形，最后根据两点间的距离公式、点到直线的距离公式进行求解.

我们从四种不同的角度寻找到解答这道平面向量最值问题的思路.可见，解答平面向量最值问题，只需运用发散性思维，将问题与相关知识关联起来，即可拓宽解题的思路，优化解题的方案.