损伤状态下预应力混凝土简支梁的模态挠度和模态刚度试验研究

亓兴军,孙绪法,周广利,王珊珊

(1.山东建筑大学 交通工程学院,济南 250101;2.山东省交通科学研究院,济南 250012;3.山东高速集团有限公司,济南 250098)

据交通部统计数据,截至2020年底 ,我国公路总里程已达520 万km,桥梁总数已达91.28 万座,其中中小跨径桥梁更是超过了78.64 万座,占总数的86%以上[1],中小跨径的桥梁占据了较大的比例。由于混凝土材料承压不承拉的力学特点,混凝土桥梁在外部荷载、环境腐蚀及材料老化等因素的影响下,运营阶段中很可能会出现裂缝。裂缝附近位置梁体刚度降低以及动力力学特性会发生改变,给桥梁的正常运营带来极大安全隐患,尤其是对广泛应用的中小跨径预应力混凝土桥梁的安全威胁更加显著。因此,准确预测与评估预应力混凝土桥梁在不同损伤状况下的刚度特性,对于该类桥梁的管养维护及施工加固均至关重要。

随着计算机、采集系统等技术的进步,模态测试和识别技术也得到了快速发展[2]。桥梁模态测试不需要中断交通,也无需在桥面上放置加载车,只需在桥梁适当位置布置传感器,即可采用模态识别方法测试结构的自振特性。在实际的桥梁动力测试中,特别是以环境激励为前提的模态测试试验中,只能获得桥梁的基本模态参数[3],而利用这些基本模态参数无法对桥梁结构的承载力进行准确评估,利用桥梁结构深层次的模态柔度等模态参数来评估桥梁承载力日渐成为国内外研究的重点。

Xue等[4]提出一种子结构柔度积分法,可以有效地集成各个子结构的参数,从子结构的稀疏柔度矩阵中识别出整体柔度矩阵,并通过悬臂梁和连续梁桥的试验数据验证了该方法的有效性。林贤坤等[5-6]以张家港河大桥为研究对象,将模态挠度与静挠度实测值进行对比,说明了基于运行模态分析的模态挠度法在实际工程中应用于桥梁状态评估的可行性与有效性。周云等[7]提出一种子结构模态振型拼接方法计算结构的位移柔度矩阵,并利用冲击激励的方式对钢-混凝土板组合结构进行了模态测试,提高了模态测试的效率。Tian等[8-9]利用研发的冲击装置对大跨径桥梁进行了多参考冲击试验和静力试验,研究表明结构的预测挠度与计算挠度吻合较好。申林等[10]基于结构模态柔度矩阵法,提出均匀载荷面曲率改变量作为损伤指标,说明了结构模态柔度对结构损伤识别具有更高的敏感性,可应用于结构安全评估的实际工程中。亓兴军等[11-12]应用附加质量法获得桥梁模态挠度,利用模态挠度代替静载挠度来评估简支空心板桥的实际承载力,并结合环境激励和桥梁荷载试验规范对一座连续梁桥的承载状况进行了评估。田永丁[13]研究了环境振动测试下获得结构柔度矩阵的方法,利用识别得到的位移柔度和应变柔度预测出结构的模态挠度和模态应变,从而可以结合规范对结构的安全状态进行评估。Tian等[14-15]采用冲击激励的方式对结构柔度矩阵进行了一系列研究,提出了采用缩放的位移柔度矩阵推导出应变柔度矩阵的计算公式,并结合框架结构与长标距光栅应变传感器进行工程试验验证,推广了结构柔度矩阵的应用范围。Wickramasinghe等[16]基于模态柔度法提出了悬索桥主缆的垂直损伤指标和横向损伤指标,指出仅使用前几个模态即可准确检测和定位悬索桥的损伤。

随着桥梁承载力评估研究的不断深入,桥梁安全评估理论得以逐渐升级和完善,利用实测结构柔度对桥梁承载性能进行评估成为重要的研究方向,但对于实际公路工程中广泛存在的既有旧桥,桥梁上部主梁可能已经存在一定程度的损伤或曾经因车辆超载作用而经历过非线性的弹塑性损伤状态,实测结构模态柔度或模态刚度对于该类旧桥承载力评估的准确性和适用性如何,这一现实问题需要进一步研究和探索。

本文以某实际高速公路改扩建工程中16 m跨径预应力混凝土简支空心板梁为研究对象,设计14个静载试验加卸载工况以模拟不同损伤程度的简支梁,将静力荷载试验与模态测试试验交叉进行。利用环境激励测试简支梁的模态参数,对实测振型归一化后预测简支试验梁的模态挠度和模态刚度,并与静力加载试验的实测静挠度和实测刚度进行对比,研究预应力混凝土简支梁在线弹性阶段和经历塑性损伤阶段后的模态挠度预测精度,探讨不同损伤程度的简支梁实测模态刚度代替结构原设计刚度的可行性和准确性。

1 模态挠度计算方法

结构的振型表示结构节点在各阶模态下的模态位移比值,反映的是结构的固有特性,振型中各测点的模态位移比值是恒定的。从环境激励中测得的结构振型与归一化振型存在一定的缩放比例关系,具体如下

(1)

经归一化后的振型满足如下关系

(2)

式中,M为结构的质量矩阵,由式(1)、式(2),可推导出振型缩放系数[17]为

(3)

(4)

式中：{φi}为第i阶实测振型;ω为外部激励圆频率;ωi和ξi为分别第i阶圆频率和模态阻尼比。

当采用归一化振型时,模态位移柔度矩阵的计算公式可表示为

(5)

由结构的模态位移柔度矩阵Hd和竖向静荷载f,可计算得到结构的竖向挠度D,如式(6)所示

D=Hd·f

(6)

由式(5)可以看出结构的模态位移柔度与圆频率的平方成反比关系,结构高阶圆频率与其对应的模态参数对于模态位移柔度矩阵的贡献会明显减小,一般仅利用前几阶模态参数得到的模态位移柔度矩阵就会快速收敛于结构的静力位移柔度矩阵[18-19],便能计算得到满足工程精度要求的模态位移。

2 简支梁静载试验与模态测试

2.1 试验梁概况

对某高速公路改扩建工程中运营多年的简支空心板梁桥进行切割,获取一片16 m跨径单梁,该简支梁空心板梁桥原设计荷载为汽-超20,挂车-120。空心板梁全长15.94 m,两支座间计算跨径为15.38 m,主梁材料为C40混凝土,简支试验梁总体图如图1所示。

图1 试验梁总体图

2.2 试验梁竖向静力荷载试验

试验梁通过橡胶支座支承形成简支梁体系,在跨中布置分配梁将竖向试验荷载传递到混凝土梁体上,荷载加载位置如图2所示。试验过程中利用静态测试系统采集记录在试验加载各级荷载作用下简支梁的挠度值。

图2 试验梁荷载作用位置(m)

在试验方案中设计14个静载试验加卸载工况,以模拟14个不同损伤程度的预应力混凝土简支梁。静载试验中各加卸载工况的加载顺序如表1所示。静载试验各加卸载工况中每级荷载需持荷3 min,以保证实测静载挠度数值的稳定。

表1 静力荷载试验加卸载顺序表

梁体开裂前空心板试验梁处于弹性状态,在逐级加卸载过程中关键截面实测挠度与荷载成线性变化,完全卸载后简支梁几乎没有残余挠度。随着静载试验工况的增加,在工况7的加载过程中,首先在跨中梁底附近出现几条细短的横向裂缝,记录其开裂荷载约为28 t。开裂后空心板试验梁进入带裂缝工作阶段并在卸载后梁体挠度出现一定的塑性残余。静载试验工况12、工况13、工况14加载时试验梁损伤严重,当荷载超过40 t后,以5 mm为单位采用位移控制加载,卸载以4 t为单位逐级卸载。当试验梁处于静载试验工况14的最大荷载等级时,主梁跨中最大裂缝宽度为1.6 mm,卸载后静载试验全部结束。

试验梁挠度测试截面包括两个支点截面、L/4截面、3L/4截面、L/2截面,测试截面布置如图3所示。

图3 测试截面位置示意图(m)

通过对简支试验梁施加14个竖向静力加卸载工况,获得试验梁控制截面在分级荷载下的静挠度值,各控制截面实测静载挠度如图4所示。

(a) L/4截面荷载位移曲线

从图4可以看出,在跨中梁体开裂工况(工况7)之前的加卸载工况中,荷载位移曲线基本上整体呈线弹性关系,在梁体开裂工况之后的加卸载工况中,荷载位移曲线一开始处于线弹性状态,然后逐渐进入非线性的弹塑性损伤状态。随着荷载工况的增加,梁体损伤越来越严重,荷载-位移曲线的线弹性阶段逐渐缩小,非线性阶段逐渐增大,残余挠度也逐渐增大。在所有静载试验工况结束后,梁体跨中最大挠度为88.68 mm,挠度跨径比为1/173,梁底钢筋尚未屈服。

2.3 环境激励下的模态试验

为获取16 m跨径空心板试验梁在每个静力荷载试验加卸载工况前的试验模态频率和振型,利用地脉动等环境因素激励,对空心板试验梁实施模态测试试验。在试验梁上部布置8个竖向加速度传感器,传感器具体测点布置如图5所示。数据采样频率为500 Hz,采集时长为25～30 min。

图5 加速度传感器测点布置(m)

模态测试试验在每级静力加卸载试验工况之前进行,以获得每个损伤程度简支梁体的初始模态参数,模态测试试验与静力荷载试验交叉进行,共设计14个模态测试试验工况。

运用EFDD(enhanced frequency domain decomposition),IIR(infinite impulse response),SSI(stochastic-subspace-method)等模态识别方法对14个模态测试工况采集的加速度响应数据进行模态分析,获得结构基本模态参数。14个损伤工况的实测试验梁振型曲线如图6所示,由式(3)计算实测试验梁的振型缩放系数,对实测振型进行归一化计算,实测试验梁模态频率和计算的振型缩放系数如表2所示,其中模态测试工况在相应静载试验工况的加载前进行。

表2 试验梁模态频率与振型缩放系数

(a) 实测一阶振型

从表2整体上看,静载试验工况的逐级增加,会使试验梁的损伤累计,预应力混凝土简支空心板梁的实测自振频率总体上有逐渐减小的趋势,但变化并不显著,从模态频率上很难量化识别试验梁的损伤程度。

利用8个加速度传感器仅获得了该简支梁的前两阶实测振型,由实测振型图6中可以看出,各加载工况前实测振型的形状相同,幅值略有差异,但没有明显的规律性,这也导致各振型缩放系数的数值各异。该简支梁第三阶振型的测试识别较为困难,精度较差。

2.4 模态挠度预测

2.4.1 有限元模型建立

建立简支试验梁的有限元模型,主梁采用beam4单元模拟,简支梁支座采用弹簧单元combin14模拟,主梁上表面铺装层、铰缝填充物并入试验梁主体截面中。有限元模型的节点总数3 191个,单元总数为3 192个。

2.4.2 模态挠度计算

由模态柔度矩阵理论可知,模态参数对模态位移柔度矩阵的贡献随着模态频率的增加而减少,本文采用前两阶实测模态频率和振型,由式(5)计算得到试验梁的模态位移柔度矩阵,根据静力荷载试验中分配梁施加的竖向静荷载,由式(6)计算得到单梁的实际预测模态挠度,简支梁各控制截面的预测模态挠度如图7所示。从图7可以看出,模态挠度与荷载呈明显的线性关系,随着加载工况的增加,荷载模态挠度直线的斜率逐渐减小,这表明梁体的损伤逐渐加重。

(a) L/4截面模态挠度

3 模态挠度与静载挠度实测值对比分析

由图4和图7可以看出,该简支梁静载试验的L/4,L/2和3L/4 3个控制截面的实测荷载位移曲线形式基本相同,简支梁模态试验的L/4,L/2和3L/4 3个控制截面的预测模态位移曲线形式也基本相同,因此,在以下的计算分析中将重点讨论简支梁跨中截面的挠度数据。

静力荷载试验过程中,随着试验荷载的增大,跨中挠度逐渐增大,在静力荷载试验工况7之前的工况中,试验梁处于线弹性阶段,无肉眼可见的裂缝产生。试验梁在静力荷载试验工况7中加至28 t荷载时,跨中底部开始出现裂缝。试验梁开裂后再次加载时梁体很快进入非线性塑性损伤阶段,故在静力荷载试验工况7之后,开裂后的每个加载工况会使已有裂缝由闭合变为张开,并且裂缝向梁体顶部扩展,裂缝宽度逐渐增加,卸载时由于预应力的作用使得已有裂缝逐渐趋于闭合状态。直至试验终止,无贯穿裂缝和较大裂缝,且梁体顶部无混凝土压碎现象。

利用模态试验采集识别得到的主梁前两阶模态参数,预测计算出试验梁在不同静载工况的模态挠度,并与实测静挠度进行对比。由于模态测试试验与静载试验交叉进行,为了更具有直观性,将模态测试试验预测的模态挠度与该模态试验前后静载工况获得的实测静挠度进行比较,跨中L/2截面的模态挠度和静载挠度如图8所示。

图8 L/2截面模态挠度与静载挠度比较

由图8可以看出：在开裂前(工况1～工况6)的静载工况中,试验梁处于线弹性阶段,卸载后残余变形很小,模态挠度与其前后静载试验工况的实测挠度值非常接近,说明采用简支梁前两阶实测模态参数预测的模态挠度具有很好的准确性;在开裂后两个相邻的静载试验工况中,模态挠度与其前后静载试验工况的初始阶段实测挠度值非常接近,比较而言,模态挠度更接近于后一静载试验工况的初始阶段加载挠度值,在静载试验工况的荷载-位移曲线进入非线性阶段后,模态挠度与实测静挠度的偏离越来越大。另外,相同荷载下,前一个工况的卸载挠度稍大于后一个工况的加载挠度,即卸载刚度小于加载刚度,原因可能在于卸载时裂缝由张开缓慢变为闭合,在下一个工况加载前裂缝已是闭合状态,梁体刚度部分恢复,故加载刚度稍大于卸载刚度。

在静载试验工况7的加载过程中梁体底部出现裂缝,因此将14个静载试验加载工况分为两组,图9给出在试验梁静载工况1～工况7中实测静挠度与模态挠度相对误差,其中实测静挠度为模态挠度测试之后工况的加载挠度。

图9 L/2截面模态挠度与静载挠度相对误差

在图9的L/2截面挠度相对误差对比分析图中分别画出-10%和10%两条误差分割线,以此判断相对误差是否基本满足工程应用精度的要求。从图9可以看出,当试验梁处于开裂前的弹性阶段静载试验工况1～工况6时,模态挠度与静载挠度比较接近,静力荷载作用下二者的相对误差基本上都在10%以内。静载试验工况7中静载挠度与模态挠度的相对误差较大,特别是在超过10 t的荷载作用下,其相对误差已明显超过10%,不满足工程应用中误差精度要求。因此,可以认为预应力混凝土简支梁在开裂之前的各损伤阶段中,结构模态挠度可以代替实测静挠度,其相对误差基本在10%以内。

图10给出在试验梁在静载试验加卸载工况8～工况14中实测静载挠度与模态挠度的相对误差。

图10 L/2截面模态挠度与静载位移相对误差

在图10中分别画出-10%和10%两条误差分割线,从图10可以看出,在开裂后的各加卸载工况中,跨中截面静载挠度与模态挠度相对误差小于10%的加载等级比较少,绝大部分荷载等级的相对误差都超过10%,且随着加载等级逐渐增大,其相对误差也越来越大。总体上看,各静载试验工况的弹性阶段逐渐缩短,试验梁在进入损伤较大的非线性塑性阶段后,只有加载段的前面一小部分“准弹性阶段”的挠度相对误差能基本满足工程精度要求。

4 模态刚度与荷载-位移曲线切线刚度量化对比分析

为分析该预应力混凝土简支梁的刚度退化规律,进一步对静载试验加卸载工况的荷载-位移曲线进行分析,对实测荷载-位移曲线做切线处理和量化计算,以便更直观地判断由模态测试获得的模态刚度是否满足工程精度要求,荷载-位移曲线上各测点切线斜率的物理意义是结构切线刚度。图11为各静载试验工况荷载位移曲线的切线图,从图11可以看出,在静载工况7之前的各加卸载工况中,静载试验荷载-位移曲线的切线大体上为一簇斜率相同的直线。在梁体开裂之后的各静载试验工况8～工况14中,静载试验荷载-位移曲线的切线呈扇面形状变化,切线刚度随着加载吨位的增加而逐渐减小,这从图形上直观地表现了预应力混凝土简支梁静载试验加载过程中梁体刚度的退化规律。

图11 L/2截面静载试验荷载位移曲线切线图

为更清晰地量化描述各静载试验工况中荷载-位移曲线切线刚度的变化规律,绘制该简支试验梁跨中截面的切线刚度退化曲线如图12所示,图12纵坐标为静载试验荷载-位移曲线的切线刚度值,横坐标为静载试验的加载荷载值。

图12 L/2截面切线刚度退化曲线

从图12可以看出,对于前1～6静载工况和较轻损伤程度的梁体,梁体的切线刚度在加载初始阶段总体上变化较小,没有出现明显下降趋势,但对于开裂后静载工况和较重损伤程度的梁体,梁体的切线刚度随着加载等级的增大而逐渐减小,表现出明显的结构刚度退化趋势,且切线刚度持续下降,几乎没有加载初始阶段的切线刚度等值段。静载试验中梁体开裂工况7是不同损伤程度梁体的关键过渡阶段,开裂前与开裂后的梁体刚度退化曲线形状差异显著。

另外,从图7可以看出,14个静载试验加卸载工况前测试的模态挠度曲线均为直线,该直线的斜率即为各加载工况初始状态试验梁的模态刚度,各模态测试工况获得的模态刚度值与相应静载试验工况荷载位移曲线的初始切线刚度值如表3所示。

表3 L/2截面模态刚度与静载试验初始切线刚度

由表3可以看出,在前11个静载试验工况中,跨中截面模态刚度数值与静载试验荷载位移曲线初始刚度数值比较吻合,相对误差基本在10%以内,基本满足工程应用精度要求,其中静载工况10的最大荷载为40 t,相当于该简支试验梁设计荷载的4倍,说明具有较大损伤梁体的模态刚度近似等于静载试验荷载位移曲线初始切线刚度,值得关注的是,在梁体开裂后的静载试验工况8～工况11中,跨中截面模态刚度与静载试验荷载位移曲线初始刚度的相对误差仍基本在10%以内,这为实际工程中带有裂缝梁体的实测模态刚度替代梁体初始刚度提供了试验依据,这一试验结论显著扩大了模态刚度测试的实际工程应用范围。随着静载工况的增加,试验梁损伤愈发严重,当静载试验工况12～工况14时,跨中截面已经存在多条裂缝,L/2截面的模态刚度与荷载位移曲线初始切线刚度相对误差较大,误差远超10%,试验梁已经损伤严重,梁体一旦受载则会快速进入非线性状态,此时的模态刚度已无法真实代表梁体的初始刚度。

该16 m跨径预应力混凝土简支空心板梁为某高速公路上运营多年的实际桥梁的一部分,原简支空心板桥截面由11片空心板梁组成,其设计荷载为公路汽-超20级荷载。为获得该简支梁设计弯矩在静载试验荷载-位移曲线上对应的荷载大小,探讨模态刚度代替荷载-位移曲线设计弯矩切线刚度的可能性,通过影响线活载加载计算得到在公路汽-超20级设计荷载作用下原桥跨中截面单片梁的最大设计弯矩为348.228 kN·m。

最大设计弯矩在试验梁加载过程中对应的设计荷载为99.92 kN,约为10 t。表4给出试验梁跨中截面最大设计弯矩在荷载-位移曲线上对应的切线刚度,该切线刚度近似等效于公路桥梁传统荷载试验的最大加卸载刚度。

表4 L/2截面试验梁最大设计弯矩切线刚度

由表4可以看出,在开裂前的静载试验工况1～工况6中,试验梁L/2截面模态测试工况的模态刚度与最大设计弯矩切线刚度的相对误差均在10%以内,基本满足工程应用精度要求。其中静载工况5的最大荷载为20 t,相当于该简支试验梁设计荷载的两倍,说明具有较轻损伤未开裂梁体的模态刚度近似等于静载试验荷载-位移曲线的最大设计弯矩切线刚度。梁体开裂后的工况7～工况14中荷载位移-曲线切线刚度下降明显,最大设计弯矩值对应的实测挠度逐渐变大,说明试验梁的损伤在不断累计,导致严重损伤简支梁的最大设计弯矩切线刚度与初始模态刚度的相对误差远大于10%。因此,实际工程中对于损伤较轻的未开裂预应力混凝土简支梁,主梁的实测模态刚度近似等效于原桥的弹性设计刚度。

需要说明的是,简支试验梁加载工况3的最大荷载对应的跨中弯矩为433.73 kN·m,接近于该试验梁的最大设计弯矩,该加载工况在开裂工况7之前,此时试验梁未开裂。

5 结 论

本文以16 m跨径旧预应力混凝土简支空心板单梁为研究对象,设计14个静载试验加卸载工况以模拟14个不同损伤程度的简支试验梁,测试试验梁逐级加卸载的弹塑性静载挠度,并在每个静载试验工况之前进行模态测试,识别试验梁的频率和振型,预测该简支梁在逐级静力荷载作用下的试验模态挠度,分析对比不同损伤状态的简支试验梁在逐级加载弹塑性阶段的实测静挠度和模态挠度,并量化分析静载试验荷载-位移曲线的切线刚度和初始模态刚度,主要得到以下结论：

(1) 开裂前简支试验梁处于弹性状态,在逐级加卸载过程中主梁实测静挠度与荷载大致成线性变化,卸载后梁体几乎没有残余挠度。在梁体开裂后的加卸载工况中,荷载-位移曲线一开始处于线弹性状态,然后逐渐进入非线性的弹塑性损伤状态。随着荷载工况的增加和梁体损伤程度的加重,荷载位移曲线的线弹性阶段逐渐缩小,非线性阶段逐渐增大,残余挠度也逐渐增大。

(2) 随着梁体损伤程度的加重,预应力混凝土简支梁的实测自振频率总体上有逐渐减小的趋势,但变化并不显著,简支梁实测振型略有差异,从模态频率和振型上很难量化识别主梁的损伤程度。低阶模态对试验梁模态挠度的贡献较大,仅采用前两阶竖向振型即可较为精确地预测处于弹性状态简支梁的模态挠度。

(3) 当简支梁处于损伤较小的开裂前弹性状态时,模态挠度与静载挠度比较接近,静力荷载作用下二者的相对误差基本上不超过10%;在开裂后的加卸载工况中,试验梁处于损伤较大的非线性塑性状态,只有加载初始部分“准弹性阶段”的静载挠度与模态挠度相对误差小于10%,且随着加载等级逐渐增大,其相对误差也越来越大。

(4) 计算试验梁各静载试验工况荷载-位移曲线的切线刚度,绘制简支梁各个加载工况的切线刚度退化曲线,对于较轻损伤程度的梁体,梁体的切线刚度总体上变化较小,没有出现下降趋势,但对于开裂后较重损伤程度的梁体,梁体的切线刚度随着加载等级的增大而逐渐减小,表现出明显的结构刚度退化趋势。

(5) 在前11个静载试验工况中,模态刚度数值与静载试验荷载-位移曲线初始刚度数值的相对误差基本在10%以内,说明具有较大损伤简支梁的模态刚度近似等于梁体的初始切线刚度。对于损伤非常严重的静载工况,梁体一旦受载则会快速进入非线性状态,此时的模态刚度已无法真实代表梁体的初始刚度。

(6) 开裂前损伤较轻简支梁的模态刚度与设计弯矩切线刚度的相对误差均在10%以内,开裂后严重损伤简支梁的模态刚度与设计弯矩切线刚度的相对误差则远超10%,因此,实际工程中对于损伤较轻的未开裂预应力混凝土简支梁,桥梁的实测模态刚度近似等效于原桥的弹性设计刚度。

(7) 预应力混凝土简支梁由于预应力钢束的预压作用,使得加载时产生的裂缝在卸载后能够部分闭合,实测模态刚度能够比较准确地评价曾经承受4倍设计荷载而受损的预应力混凝土简支梁的初始刚度状态,也能够准确评价曾经承受两倍设计荷载未开裂简支梁桥的设计结构刚度,这为实测模态挠度和模态刚度的工程实际应用具有重要的参考指导作用,也显著扩展了模态测试在桥梁健康状况技术评价中的应用范围。