地下箱形结构在爆炸地震波作用下动力响应的解析分析

刘 扬,赵跃堂,罗昆升,赵普天

(1.许昌学院 土木工程学院,河南 许昌 461000;2.陆军工程大学 爆炸冲击防灾减灾国家重点实验室,南京 210007; 3.火箭军研究院,北京 100094;4.许昌学院 城市与环境学院,河南 许昌 461000)

当前,国家战略指挥工程、大型水利水电工程、城市各类供给管线设施、城市有轨交通网络等涉及可持续城市化的基础工程正迅猛发展[1],地下空间的开发与利用已成大势所趋。随着各类钻地核武器和精确制导武器打击能力的提高,爆炸地震效应将对地下结构构成严重威胁[2]。因此,开展地下结构在爆炸地震波作用下的动力响应研究具有重要意义。

近年来,国内外学者利用试验研究、理论分析和数值模拟等[3-9]方法对爆炸荷载作用下地下结构的动力响应进行了深入的研究。由于试验研究的耗费很大,数值模拟精确度不高,理论分析方法能够分析问题的物理本质并给出精确的结果,还可以在一定条件下检验数值解法的精度和正确性,因此,对地下结构在爆炸地震波作用下的理论解析方法有待深入研究。

理论分析方法的研究开始于20世纪六七十年代,且一般将动力响应问题简化为加强洞室对弹性入射波的衍射问题。Pao等[10]采用波函数展开法首次研究了弹性波作用下无限空间中孔洞的衍射与动应力集中问题。Lee等[11-13]提出大圆弧假定,克服了P波和SV波散射时因波型转换所带来的不利影响,给出了P波和SV波作用下半空间无衬砌洞室的散射解析解。路亮等[14]利用波函数展开法研究了复合衬砌结构隧道在爆破地震波作用下衍射问题的解析方法,并开展了弹性P波作用下隧道结构动应力集中因数的敏感性分析。张运良等[15]推导了R波任意入射时考虑土-结构接触界面间无滑移和完全滑移两种极限状态下圆形隧洞衬砌的横向内力解析解。丁海滨等[16]运用波函数展开法,推导出了饱和土介质中深埋圆形复合式衬砌隧道对入射P波散射问题的解析解。宋金博等[17]基于SV波作用下,对饱和土介质中复合式圆形衬砌的减震机理进行了研究,并分析了衬砌厚度及弹性模量对动应力集中系数的影响。周凤玺等[18]基于弹性波散射的基本理论,得到了多空沟对弹性SH波散射的解析解答,并分析了双排空沟的隔振效果。王明洋等[19]首次构建地下核爆炸诱发工程性地震效应的计算理论,对深部大规模爆炸不可逆位移计算方法进行了探讨。

常见的隧道多为圆形或圆柱形,对截面转角剧烈、形状不够规整的结构研究较少。Kostrov[20-21]讨论了嵌入无限弹性介质中刚性光滑楔块上平面波的衍射现象,Wang等[22]也在考虑波的衍射后研究了爆炸波作用下浅埋结构的荷载理论。本文在Kostrov等的研究基础上,运用弹性波的衍射理论,考虑了刚体散射与辐射散射、波的二维传播效应、波的楔角绕射现象等因素对结构动力特性的影响,建立了地下箱形结构在爆炸地震波作用下动力响应的计算方法。该方法既可以计算衬砌结构,又可以计算周围围岩,与反应谱分析法和振动力法相比具有理论简单、考虑全面、更接近实际等优点。

1 计算模型及入射波场

图1为箱形衬砌模型,从模型中可以看出,箱形衬砌存在90°的拐角,当波传播到结构上时,转角处将发生绕射,因此问题就转化为无限楔体上入射波的衍射问题。假定围岩为无限、均匀、各向同性的线弹性介质;忽略构件的变形,将衬砌看作可动、均质、刚性的夹塞物(夹塞物是具有平滑表面、尖锐边棱的多边形),假设衬砌与围岩介质之间完全接触,不发生相对位移,即处于刚性接触状态;认为爆炸地震波的波阵面是平面的且与结构纵长方向平行,即为一维平面应变波。基于这些假定,可以将地下箱形衬砌的衍射模型简化为平面问题,计算简图如图2所示,衬砌的宽为2L,高为2H,r为楔角的矢径,e为入射波角度,θ为楔体的顶角。

2 介质中的波动场分析

当衬砌处于静止状态,围岩介质的位移矢量us(分量为us和vs)与入射波的位移矢量u(i)(分量为u(i)和v(i))完全一致,即

us(x,y,t)=u(i)(ct-xcose-ysine)

vs(x,y,t)=v(i)(ct-xcose-ysine)

(1)

当t>0时,衬砌开始受到入射波扰动的影响,此时围岩介质的运动状态可表示为

us(x,y,t)=u(i)(x,y,t)+u(s)(x,y,t)

vs(x,y,t)=v(i)(x,y,t)+v(s)(x,y,t)

(2)

式中,u(s),v(s)为扰动波场的结构位移分量,包括结构平滑表面产生的波反射和转角处形成的波衍射。

初始条件为

us(x,y,0)=0

vs(x,y,0)=0

(3)

围岩视为单相弹性介质,其矢量波动方程可表示为

(4)

式中：λ,μ为介质的Lame常数;ρ为介质的密度;f为单位体力;∇2为Laplace算子;∇为Hamilton算子。

根据Helmholtz矢量分解定理,位移矢量可分解为

u=∇φ+∇×ψ

(5)

式中,φ,ψ分别为介质各相的标量和矢量势函数。

将式(5)代入式(4)化简可得解耦的波动方程为

(6)

弹性介质中位移和应力可以用势函数表示为[23]

u=∂φ/∂x+∂ψ/∂y,v=∂φ/∂y-∂ψ/∂x

(7)

(8)

根据Kostrov对无限弹性介质中刚性光滑楔块上平面波衍射现象的研究,结合Duhamel积分,可以得到纵波入射时的标量和矢量的位移势函数的表达式为

sinkπcoskϑcoskθ[P(ξ)-P-1(ξ)],

sinkπcoskϑcoskθ[P(η)-P-1(η)]

(9)

横波入射时的标量和矢量的位移势函数的表达式为

sinkπcoskϑcoskθ[P(ξ)-P-1(ξ)],

sinkπcoskϑcoskθ[P(η)-P-1(η)]

(10)

3 荷载形式及波场分析

衬砌作为无限介质中的刚性夹塞物,设衬砌的水平位移为U(x,y,t),垂直位移为V(x,y,t),转角位移为Θ(x,y,t),则衬砌的运动方程为

(11)

式中：m=4ρkLH为单位长度的结构质量,ρk为结构的密度;Jz=4ρkLH(L2+H2)/3为结构对z轴的转动惯量;σx,σy为结构沿x和y方向的应力;M为结构的合力矩。应力和合力矩的表达式为

(12)

式中,[σxx],[σyy],[τxy]=[τyx]为衬砌对应两边的应力差,具体表达式为

[σxx]=σxx(+0,y,t)-σxx(-0,y,t),

[σyy]=σyy(x,+0,t)-σyy(x,-0,t),

[τxy]=τxy(+0,y,t)-τxy(-0,y,t),

[τyx]=τyx(x,+0,t)-τyx(x,-0,t)

(13)

当爆炸地震波传播到结构上会发生反射,相应转角处会产生衍射,处于散射场中的结构运动(质量中心的平动和围绕质量中心的转动)还会形成卸载波。根据弹性波动理论,总波场等于入射波场、结构边长处的反射波场、转角处的衍射波场三者组成的加载波场与结构平动、转动形成的卸载波场的线性叠加。

3.1 荷载形式

参考既有文献[24],本文采用三角形爆炸荷载,荷载形式为

(14)

式中：τi为荷载的持续作用时间;t0为荷载的到达时间;tr为升压时间;pm为荷载峰值。

自由场峰值压力采用TM5-855-1公式[25]

(15)

式中：p0为峰值压力;β为系数(与介质材料有关),取为0.47;f0为爆炸耦合系数;ρ为介质密度;c为波速;ρc为介质材料的声阻抗;R为装药距所求点的距离;W为装药质量;n为衰减系数。

峰值压力沿衬砌表面分布表达式为[26]

pm=p0KeKOTPKσ

(16)

式中：Ke为衰减系数,与土壤特性有关;Kσ为侧压力系数;KOTP为广义反射系数。KOTP的表达式为

(17)

3.2 刚体散射的总波场

以纵波为例,衬砌顶板边长处的散射区(入射、反射平面波)产生的应力表达式为

(18)

衬砌顶板两端转角处的衍射区(即绕射区,形成的是衍射柱面波,因转角1、转角2同时发生衍射,衍射半径相等,均为r=cpt=L,位移u(i)(t)/cp=t)产生的应力表达式为

(19)

式中,χ为转角处衍射波序列。顶板总的应力表达式为

σding(1)(t)=σ(i)(t)+σ(r)(t)+σ(d)(t)=

(20)

前两项反映的是长边散射处和楔角衍射处各自速度项所对应的一维效应,第三项反映的是楔角衍射处位移项所对应的二维效应。

底板边长处的入射、镜面反射平面波的应力表达式为

(21)

底板两端转角处衍射柱面波的应力表达式为

σ(d)(t)=σ1(d)(t)+σ2(d)(t)=

(22)

式中,A′为可动刚体的合力系数。底板总的应力表达式为

σdi(1)(t)=σ(i)(t)+σ(r)(t)+σ(d)(t)=

(23)

3.3 衬砌整体运动引起辐射散射的总波场

当衬砌向下运动时,顶板处产生的平面卸载波所对应的应力表达式为

(24)

顶板处反射的结构卸载波所对应的应力表达式为

(25)

顶板两端转角处产生的柱面卸载波所对应的应力(位移U(t)/cp=t)表达式为

(26)

衬砌运动引起的顶板卸载波场的应力表达式为

σding(2)(t)=σ(i)(t)+σ(r)(t)+σ(d)(t)=

(27)

前两项反映的是顶板运动卸载和转角卸载各自速度项所对应的一维效应,第三项反映的是转角卸载位移项所对应的二维效应。

底板边长处的入射、镜面反射平面波的应力表达式为

(28)

底板两端转角处衍射柱面波的应力表达式为

σ(d)(t)=σ1(d)(t)+σ2(d)(t)=

(29)

衬砌运动引起的底板卸载波场的应力表达式为

σdi(2)(t)=σ(i)(t)+σ(r)(t)+σ(d)(t)=

(30)

综合式(20)和式(27)可得衬砌顶板总的应力表达式为

σj(t)=σding(1)(t)+σding(2)(t)=

cp[χu(i)(t)-A′U(t)]}

(31)

综合式(23)和式(30)可得衬砌底板总的应力表达式为

(32)

初始条件为

(33)

根据Kostrov假设,衬砌周边边界上的切向应力为零,法向位移连续。应力和位移边界条件为

(34)

不同类型的波入射时边界条件的表达式不一样。

3.3.1 P 波

P波是由体积膨胀的传播所引起的膨胀波没有旋转分量,但伴随着畸变,因此,在P波沿着x轴传播(垂直入射)的情况下,刚性结构物的运动可以用与其传播方向重合的平动位移来表示。衬砌在周边边界Γ上的边界条件为

(35)

3.3.2 SV波

SV波是由旋转扰动的传播引起的畸变波或剪切波,没有体积膨胀,属于等容波,当SV波入射时,刚性结构物的运动可分解为与其传播方向垂直的平动和转动两部分。边界条件为

(36)

3.3.3 SH波

SH波和SV波一样,是由旋转扰动的传播引起的畸变波或剪切波,没有体积膨胀,属于等容波,但偏振方向与衬砌轴向平行。因此当SH波入射时,刚性结构物沿着自身纵长方向平动,仅有位移分量uzz和应力分量σrz,σθz非零,属于反平面问题。对于固定不动的刚性结构物,若具有位移为零的边界条件,则必有一作用于其表面上的净力Rz(r,θ,t)存在,该力被能够固定结构物的某种外在约束力所抵消。但若没有这样的约束力,结构将作刚体运动,所以可移动刚体的边界条件为

(37)

求解弹性介质拉梅动力方程式(4),在初始条件式(3)和边界条件式(34)下的初边值问题,可以先根据式(12)和式(13)求得合力与合力矩,再依据式(11)和式(33)确定刚性结构运动参数与入射波参数之间的关系,利用Fortran平台编程,最终可以得到衬砌和围岩的位移及应力分布。

4 结果验算与算例分析

4.1 结果验算

将本文计算方法与基于一维波理论的集中参数模型[27]、一维弹塑性波动理论模型[28]以及洛阳试验[29]的结果进行对比,图2为顶板和底板压力时程曲线(参数取值与何唐甫的研究相同)。从图2中可以看出,在爆炸地震波的整个过程中,基于一维波理论的集中参数模型和弹塑性波动模型的计算结果偏大,本文计算方法(考虑波传播二维效应的衍射模型)与洛阳试验数据吻合得很好。峰值相差<1%,峰值到达时间完全相同,峰值前、后曲线也符合得很好。但底板的压力分布有一点差别,本文方法计算出的曲线没有出现第二峰值,这主要是因为底板荷载主要是地基反力,不像顶板一样是平面波直接作用,波动效应不太明显,而试验中结构基坑回填土层下尚有未扰动的原状地基土,底部荷载在二者分层界面上会产生反射[30]。实际上,从理论角度分析,不计侧壁剪力时底板压力时程曲线只出现一个峰值,峰值到达时间是结构卸载波与地表卸载波相交的时刻,因此,本文模型的建立以及求解过程是正确的。

4.2 算例分析

计算分析中,衬砌顶板厚为0.8 m,底板、侧墙厚0.6 m,外截面5.2 m×3.6 m,内截面4.0 m×2.2 m,衬砌结构采用钢筋混凝土,钢筋混凝土结构弹性模量为Ek=3.78 GPa,结构材料密度ρk=2 500 kg/m3。围岩介质的密度ρ=1 950 kg/m3,泊松比ν=0.42,弹性模量E=70 MPa。根据试验数据,可取自由场荷载的升压时间为28.1 ms,正压作用时间为300 ms,比例爆距为0.5,荷载峰值为3.02×105Pa。

4.2.1 入射角的影响

图3给出了不同入射角下,衬砌顶部、底部和侧墙位移时程曲线。从图3可以看出,入射角对位移影响显著,衬砌不同部位呈现明显的非一致分布特性。侧墙和底板中部竖向位移随着入射角度的增加而增加。相比之下,顶板位移变化规律比较复杂,在开始时,随着入射角度的增加,顶板竖向位移逐渐减小,当时间大于0.08 s时,竖向位移随着入射角度的增加而急剧增长,总体表现为正向先减后增、反向先减后增。同时还可看出左侧墙中部位移峰值大于顶板和底板中部,和文献[31]所得规律一致。这是因为箱形结构存在90°拐角,两侧墙楔形体部位的入射波将在楔形体内经过多次反射后离开楔形体,入射波在楔角处将产生交换的衍射波(既有衍射纵波也有衍射横波),导致该部位的振动反应比其他位置处要强烈。衬砌结构的位移越大,越不利于维持其动力稳定,说明箱形结构的侧墙最薄弱,在遭受爆炸地震荷载作用时最容易遭受变形甚至破坏,因此,在设计和施工过程中应当考虑侧墙处的加固处理。

(a) 顶板中部

左侧墙中部加速度时程曲线如图4所示。从图4可知：当垂直入射时,由于对衬砌左侧墙而言仅有一转角受载,故而压力较小,近乎为零,结构整体运动并不显著,对应的加速度曲线表现出与x轴近似重合的现象;在入射角度较小(<45°)时,曲线变化较平缓,加速度增幅不大;当入射角度较大(>45°)时,随着入射角度的增大,振动频率逐渐减小,加速度峰值逐渐越加;当波90°入射时,由于衬砌迎波面长边处完全处于结构与入射波相互作用状态,加速度峰值最大(2g)。可见入射角度的变化对加速度的影响较大。

图4 不同入射角加速度时程曲线

4.2.2 结构宽高比的影响

研究表明,围岩应力随着衬砌断面尺寸的增加而增加,会造成围岩的稳定性降低。其他参数不变,以入射波30°倾斜入射,分析衬砌宽高比变化对结构动力特性的影响规律。图5给出了当宽高比不同时,顶板中部、左侧墙中部和底板中部位移分布情况。由图5可以看出,宽高比变化对顶板的竖向位移影响较小,随着宽高比的增大,波峰和波谷幅值略微增加,而左侧墙受宽高比变化影响较大,变化规律刚好相反。宽高比为1.0,1.5,2.0时,左侧墙对应竖向位移峰值分别为0.018 9 m,0.011 7 m,0.004 63 m,相比宽高比为1.0时,分别减少了152.7%,308.2%。与顶板和侧墙相比,底板位移波形随宽高比变化更为复杂,不止在峰值大小有变化,在出现峰值的时刻也发生变化,原因是爆炸地震波斜入射在底板处受拐角和底板散射效应的综合影响,入射波的到达时间和峰值产生时间存在较大的差别,入射自由场和散射波场发生叠加,使波形更加复杂。

(a) 顶板中部

当宽高比不同时,顶板和侧墙轴力时程曲线如图6所示。由图6可知,宽高比越大,顶板和侧墙轴力越小。初始阶段,顶板轴力为负(即为压力),左侧墙轴力发生了由正向负(由拉向压)的转换。由图5和图6分析可知,箱形结构宽高比大小为1左右时比较合理。

(a) 顶板中部

4.2.3 围岩介质的影响

为了探讨围岩特性的影响,引入阻抗比κ来考虑衬砌与土体的相对刚度,定义如下

(38)

表1给出了围岩介质物理力学参数[32]。

表1 围岩物理力学参数

图7反映阻抗比对结构动力响应的影响。从图7可知,当阻抗比从0.17增加至0.97时,位移峰值减弱约64.1%,弯矩峰值减弱约267.9%,应力峰值减弱约31.1%。由此说明,随着围岩阻抗比的增加,顶板中部竖向位移、弯矩和应力均减小,且阻抗比的变化对弯矩和位移影响明显。从图7还可看出,当围岩阻抗比从0.26降至0.17时,顶板弯矩和轴力曲线畸变,峰值变化明显,这是因为围岩性质发生了改变,由岩质围岩变为了土质围岩,刚度巨变所致。

(a) 位移

图8为不同阻抗比下加速度时程曲线。从图8可以看出,加速度曲线频繁往复振荡,整体来说,随着阻抗比的增加,加速度峰值减小,振动频率增大,当阻抗比大于0.17时,对加速度的影响更加明显。这是由于围岩特性越好,阻抗比越大,其约束结构变形、限制结构运动的能力越强。因此,工程设计中需要避开不良地质因素的影响,选择特性良好的地层,以减弱结构动力反应。

4.2.4 爆炸距离的影响

其他参数不变,衬砌结构埋深9 m,在距离路面1.5 m处设置炸药,炸药当量为100 kg,不同距离上的荷载时程曲线如图9所示。由图9可知,受爆心距和衬砌几何结构的影响,和自由空气中不同,不同位置的压力存在更多、更大的峰值,而且爆炸波到达时间和持续时间比自由空气中复杂。随着爆炸距离的增大,荷载分布曲线的峰值点也随之偏移,且随着距离的增大,峰值压力逐渐降低;离爆炸距离越远,压力峰值随爆心距增大衰减越慢,压力时程曲线相对平缓。这是由于爆炸波在爆心附近区域发生多次入射、反射,导致波的流场较为复杂。在侧墙处,由于衬砌的“角状结构”对地震波反射具有强化作用,导致相应位置形成应力集中,峰值也较大。

(a) 顶板

5 结 论

本文在Kostrov等的研究基础上,考虑了刚体散射与辐射散射、波的二维传播效应、波的楔角绕射现象等因素对结构动力特性的影响,建立了地下箱形结构在爆炸地震波作用下动力反应的衍射模型,研究了入射波角度、衬砌宽高比、围岩介质以及爆炸距离等因素对衬砌动力响应的影响机制。得到以下结论：

(1) 衍射模型考虑了衬砌和围岩介质的相互作用和波传播的二维效应,同一维波集中参数模型、一维弹塑性波动模型相比,更加接近试验数据,有助于解决更复杂的工程应用问题。

(2) 入射角度对结构动力响应影响较大,随着入射角的增大,衬砌不同部位呈现明显的非一致分布特性。侧墙和底板中部竖向位移随着入射角度的增加而增加,顶板位移为正向先减后增、反向先减后增;左侧墙中部位移峰值大于顶板和底板中部,容易受到破坏,应该采取合理的抗震加固措施来保证衬砌结构的安全稳定。

(3) 随着宽高比的增大,衬砌位移随之增加;底板位移对宽高比的变化敏感,峰值大小和峰值的时刻都发生变化;宽高比越大,顶板和侧墙轴力越小。箱形结构宽高比大小为1左右时比较合理。

(4) 围岩特性对衬砌四周受力影响很大,随着围岩阻抗比的增加,顶板中部竖向位移、弯矩和应力均减小,加速度曲线频繁往复振荡,且阻抗比的变化对弯矩和位移影响明显。当阻抗比大于0.17时,对加速度的影响更加明显。因此,把箱形结构简化为刚体进行分析是偏于保守的,在进行地下结构动力分析时要注意围岩特性的确定。

(5) 峰值压力随着爆炸距离的增加而减小;由于结构的反射作用,顶板处存在多个峰值,爆炸距离较大时,压力时程曲线相对平缓;侧墙的压力响应幅值大于顶板。

影响爆炸地震波与结构相互作用的因素有很多,如土与结构界面处的反射和透射、土中应力衰减等。但因论文篇幅有限,这些因素的影响将另文介绍。此外,本文在处理箱形结构动力反应时,没有考虑结构底部加设柔性垫层的影响,这与工程实际有所差异,需要进一步研究。