基于变分原理的改进型波形钢腹板箱梁的挠度计算

贡保甲，刘世忠，毛亚娜，秦翱翱，蔡明昊

（兰州交通大学土木工程学院，兰州 730070）

钢底板-波形钢腹板-混凝土顶板箱梁是在波形钢腹板箱梁的基础上改进后得到的，采用U 型钢箱-混凝土翼板的组合截面形式，属薄壁结构类型。在国内公路桥梁建设中已开始推广应用。

波形钢腹板箱梁作为一类特殊的钢-混凝土组合截面梁，相较于传统混凝土箱梁而言，在材料模量和截面刚度特性等方面均存在较大差异。目前对组合截面的纵向位移解析方法主要包括：解析理论分析法［1-8］、有限元分析法［9-10］和模型试验［11-13］。其中，李宏江等［3］分析了波形钢腹板的剪切变形对波形钢腹板混凝土简支箱梁桥挠度的影响程度；冀伟等［5］针对混凝土底板-波形钢腹板组合箱梁剪力滞效应进行分析，运用能量变分原理推导了波形钢腹板箱梁在集中荷载作用下翼板的正应力和剪力滞系数计算公式；张元海等［9］应用能量变分法建立关于附加挠度的控制微分方程和边界条件，从分析翼缘板的面内剪切变形入手，推导出剪力滞翘曲位移函数的合理模式，并提出一个8自由度的梁段单元，计算结果与有限元分析结果吻合良好。李丽园［11］通过制作波形钢腹板组合箱梁模型，对比试验及理论分析结果，验证了基于剪切附加挠度来计算波形钢腹板组合箱梁挠度的有效性。相关文献中，传统的解析方法包含三个特征：1）利用一次、二次或高次的抛物线函数假设剪滞翘曲位移的分布函数进行解析，具有一定的局限性；2）仅考虑两个独立广义位移ω（x）和U（x）的因素，对于组合截面而言，剪滞及剪切变形效应分析不够精确；3）对钢-混组合截面（如箱形、工字形、T 形梁等）梁的研究中，采用刚度等效原理换算截面后，全截面取统一的模量值（E，G）进行计算，导致等效后的截面与实际截面在几何和材料方面仍存在偏差。

通过考察余弦函数的Maclaurin展开式，可知其中包含了一次、二次及高次的抛物线函数，故本文采用余弦表达式的翘曲分布函数。将剪滞广义位移细化为顶板Uc1（x），翼缘Uc2（x）和底板Us（x），考虑了剪滞效应和剪切变形对截面附加翘曲位移的双重影响，以及箱梁横截面上翘曲应力自相平衡的条件，并引入两种模量参数（E砼，G砼，E钢，G钢），对组合截面纵向位移表达式进行修正，以精确模拟主梁挠曲变形的特征。

1 以余弦函数求剪滞控制微分方程组

1.1 修正的余弦函数法建立剪滞微分方程组

假设梁为理想弹性体，波纹钢腹板的变形完全符合初等梁理论。未考虑横隔板和加劲肋对箱梁波形钢腹板截面刚度和变形特性的影响。箱梁截面形心取OXYZ为整体坐标系，如图1所示。

图1 整体坐标系OXYZ及轴向任意荷载示意图Fig.1 Schematic diagram of overall coordinate system OXYZ and axial arbitrary load

梁上作用任意竖向荷载，选取最大剪切转角差作为剪力滞广义位移，则箱梁任意截面处的纵向位移一般表达式如下：

式中：c1为混凝土顶板，c2为混凝土翼缘，s为钢底板，w为钢腹板，ω′（x）为梁截面绕Y轴挠曲时的竖向转角，gi（y）为翘曲位移的横向分布函数，Ui（x）为广义位移。依据箱梁横截面上翘曲应力自相平衡的条件，为了满足轴力自平衡条件∫f（y，z）d A＝0，沿着梁轴向附加一全截面（等截面）均匀位移常数d：

式中：A 为箱梁总的横截面积，A＝Ac1＋Ac2＋As＋Aw，hi为顶板和底板到箱梁截面中性层的垂直距离，bi为各构件的横向尺寸，ti为每个组件的厚度。截面参数如图2所示。

图2 改进型箱梁组合截面几何参数示意图Fig.2 Schematic diagram of geometric parameters of improved box girder composite section

考虑剪滞与剪切变形的双重影响［13］，设φ（x）＝为截面的竖向剪切角，α＝A／Aw。引入钢和砼两种材料模量，取外力功ω（x）dx，将上、下翼板和波形钢腹板的应变能表达式分别代入Π，就得到总势能表达式如下：

式中：K为常量，K1＝（2／π＋d），K2＝（1／4＋2d／π＋d2／2），I为惯性矩为构件与截面的惯距之比，ai＝Ii／I，I＝∑Ii，E 为弹性模量，G 为剪切模量，E′为考虑波形钢腹板褶皱效应的纵向表观弹性模量，偏安全考虑取E′＝E。

国外学者通过室内试验及有限元分析得出结论，给出了波形钢腹板的修正剪切模量表达式［14］，Ge＝（b＋d）（b＋dsecθ），波形尺寸参数示意如图3所示。

图3 波形钢腹板波形尺寸参数示意图Fig.3 Schematic diagram of waveform size parameters of corrugated steel web

令δΠ＝0，即由总势能的一阶变分为零，可得：

整理后，得到剪滞控制微分方程组：

式中：ϑj为方程组的特征值，vij为与ϑj对应的方程组的特征向量，（Λj＋Λj＋1）j＝1，3，5为常系数项矩阵中的元素。将式（5）降阶化成一阶线性微分方程组［15］后求通解就得到式（6）。

1.2 未修正余弦函数法建立剪滞微分方程组

作为对比，对组合截面取等效模量Eeq＝E（E为混凝土弹性模量），则纵向翘曲位移函数如下：

未考虑剪滞效应和剪切变形对上、下翼板附加翘曲位移的影响，以及箱梁横截面上翘曲应力自相平衡的条件。由θ（x）＝ω′（x），根据OXYZ坐标系，可得总势能表达式为：

同理，根据变分原理可得组合截面控制微分方程组，则微分方程组的通解表达式如下：

式中：ξj为方程组的特征值向量，Ψij为与ξj对应的方程组的特征向量为常系数项矩阵中的元素。综上，参数γ并未参与到附加位移的表达式中，可知箱梁组合截面上附加翘曲位移不受到铁摩辛柯剪切变形效应的影响。

1.3 求广义挠度解

为了验证本文理论，分别计算在简支状态下主梁承受集中和均布两种荷载工况时的挠曲程度。主梁轴向布载方式如图4所示。

图4 简支梁荷载分布方式示意图Fig.4 Schematic diagram of load distribution of simply supported beam

修正后：

未修正：

1）集中荷载作用下：

2）均布荷载作用下：

1.3.1 受集中力时广义挠度解

根据图4（a），求广义挠度的函数表达式如下：

修正后：

未修正：

式中：ω＋（x）为正剪力区段上的挠曲分布函数，ω－（x）为负剪力区段上的挠曲分布函数，Q 为截面上剪力值，Q＋＝bP／1，Q－＝－aP／1。

由边界条件ω|x＝0，1＝0，连续条件ω′|x＝1／2＝0，可推得Λ7～Λ10（或）的值。根据文献［14］中对腹板的有限元分析和试验研究结论，可假设组合截面上抗剪强度主要由波形钢腹板承担，故偏安全计算，取GeAw计算截面剪切转角。

1.3.2 受满跨均布力时广义挠度解

根据图4（b），求广义挠度的函数表达式。

修正后：

未修正：

式中：Λ 为常系数，Λ7～Λ8（或）可以由边界条件ω|x＝0，1＝0，以及连续条件ω′|x＝1／2＝0 求出。由挠度解推导过程中包含参数γ项，可知剪切效应与组合截面的竖向挠曲存在相关性。

2 算例分析

2.1 试验模型制作及建模参数

如图5所示，本文参考某机场高速跨线桥设计资料，参考文献［11-13］及规范［16］，设计制作一缩尺比例试验梁。简支梁计算跨径为L＝6 m，采用钢底板-波形钢腹板单箱双室组合截面，底板厚为6 mm，钢腹板厚为3 mm；设置了5道主梁横隔板，4道底板纵向加劲肋；波形钢腹板通过钢翼缘上栓钉与顶板钢筋网架嵌套后浇筑连接，与钢底板为连续施焊；波型参考BCSW1200 型（beam with corrugated steel web，BCSW）。

图5 组合截面设计参数（单位：mm）Fig.5 Design parameters of composite section（unit：mm）

模型梁加载试验现场，如图6所示。

图6 试验梁挠度测量现场Fig.6 Test beam deflection measurement on-site

如图7所示，利用ANSYS 17.0进行建模分析。材料参数［17］：C50混凝土（Ec＝3.45×104MPa，Gc＝0.425Ec），泊松比为0.167，Q345 钢（Es＝2.06×105MPa，Gs＝7.94×104MPa），泊松比为0.3。单元类型：采用solid45 单元模拟混凝土顶板，采用shell63单元模拟波纹钢腹板、纵肋和横隔板。

图7 ANSYS模型竖向挠度云图Fig.7 Vertical deflection nephogram of ANSYS model

2.2 数据分析对比

在两种基本荷载工况下对试验梁逐级加载，并测量挠度值。通过对比未修正解、有限元解、试验值以及初等梁理论值，验证本文理论的可靠性。试验梁支撑条件及荷载布置如表1所列。

表1 纵向荷载工况及横向加载模式Tab.1 Longitudinal load condition and transverse load mode

挠度及偏差率计算结果如表2～3所列：

表2 跨中集中荷载-跨中挠度及偏差率Tab.2 Concentrated load in midspan-deflection in midspanand deviation rate

表3 满跨均布荷载-跨中挠度及偏差率Tab.3 Full-span uniformly distributed load-deflection in midspanand deviation rate

两种荷载工况下，挠度计算结果沿梁轴向的分布情况如图8所示。

图8 挠度计算结果对比Fig.8 Comparison of deflection calculation results

由以上图表分析可知：修正解≥有限元解≥试验值≥未修正解≥初等梁理论解。分步加载过程中，跨中截面挠度值变化在主梁线弹性范围内。对比计算结果可知，有限元解与试验值接近，保证了ANSYS模型分析程序与试验梁在力学规律上的一致性。本文修正解与有限元解的吻合程度最好，最大偏差值为2.0%，未修正解的偏差率为（-4.3～-9.3）%之间，值偏小。初等梁理论解的偏差率为（-7.4～-14.5）%之间，偏差较大。以上结果表明该组合箱梁挠度除了受剪切变形影响外，组合截面的有效面积变小，及材料模量差异对主梁力学性能的影响不容忽视。

通过对比表中挠度计算结果可知，本文理论与有限元值和试验值吻合程度更好。在考虑了几何特性、材料模量差异、波形腹板褶皱效应等因素对翘曲位移进行修正后，本文修正解的解析结果准确度明显提高。

3 结论

1）以余弦函数作为翘曲位移基本函数，考虑了钢底板替换混凝土板后组合截面几何特征的变化，以及钢-混截面材料模量差异性，推导出了钢底板-波形钢腹板组合箱梁的挠度计算公式，并通过对比ANSYS有限元模拟、缩尺比例模型试验、未修正余弦函数法以及初等梁理论值，验证了本文理论的精确度和可靠性。为同类型结构剪力滞效应分析提供了参考。

2）根据本文理论通过推导出的最大转角差函数公式对比各理论的挠度解，由此得出：修正解≥有限元解≥试验值≥未修正解≥初等梁理论解。本文修正解与实测值、有限元解在各工况下沿主梁的竖向挠度变化趋势一致。与有限元解对比，本文修正解的偏差率在（1.2～1.5）%，比较吻合。未修正解偏差率为（-4.3～-9.3）%，初等梁理论解偏差率为（-7.4～-14.5）%。计算结果表明，以薄钢板替换混凝土底板后，除了剪滞及剪切效应外，有效面积减小以及钢、混材料模量差异对主梁挠度均有影响。

3）本文推导过程假定波纹钢腹板的变形完全符合基本梁理论，腹板在中性层不发生变形，对主梁纵向变形的影响可以忽略，未考虑横隔板及加劲肋等箱梁内部构造对主梁部分截面的强化作用。