利用导数及其应用解决参数的取值范围问题

黄珍珍

(江西省赣州市信丰县第一中学)

不等式恒成立背景下的参数的取值范围问题,常以压轴题的形式出现在高考试卷中,此类问题的处理方法一般是直接构造函数或参变量分离,但是学生的解题得分率往往不高.究其原因,一方面,有的题目如果直接构造函数求导,导函数中会存在ex或xlnx等超越式,给问题的解决带来困难;另一方面,使用参变量分离后的导函数过于复杂,不好处理,或者会遇到的极限问题,而在高考数学中直接使用洛必达法则具有扣分风险.其实,处理不等式恒成立背景下的参数取值范围问题方法较多,本文归类总结一些常见的技巧和方法.

1 放缩法

大多数导数及其应用问题以一些常见的放缩作为背景来创设,求解的关键是熟练掌握并利用一些常见的重要不等式进行合理放缩与变形,如x－1≥lnx,当且仅当x＝1时,等号成立;ex≥x＋1,当且仅当x＝0时,等号成立;ex≥ex,当且仅当x＝1时,等号成立.

例1 若对任意m,n∈R,关于x的不等式mn≤(x－m)2＋ex－n－a恒成立,则实数a的最大值为_____.

由不等式m－n≤(x－m)2＋ex－n－a恒成立,分离参数可得不等式a≤(x－m)2－m＋ex－n＋n恒成立.

结合二次函数的图像与性质、重要不等式结论,可得

解题时根据题设条件合理分离参数,综合利用二次函数的图像与性质、重要不等式等相关知识对目标式子放缩处理,进而确定相关参数的取值范围问题.抓住二次式与指数式的结构特征,合理联想相应的二次函数的性质以及重要不等式的放缩是处理问题的关键所在.

2 先消后求法

在利用导数及其应用解题时,不是看到相应的函数就直接求导,常常需要先对函数关系式进行合理变形,消去参数后再对只含变量x的式子求导,或是对函数关系式进行因式分解等,这样处理后将大大减化数学运算过程,降低解题难度.

例2 已知函数f(x)＝(x2－x)ex.

(1)求曲线y＝f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;

(2)若不等式f(x)＞ax对任意实数x＞0恒成立,求a的取值范围.

(1)y＝ex－e(求解过程略).

(2)不等式f(x)＞ax对任意实数x＞0 恒成立,即(x2－x)ex＞ax对任意实数x＞0恒成立,等价于不等式a＜(x－1)ex对任意实数x＞0恒成立.

令函数g(x)＝(x－1)ex(x＞0),则g′(x)＝xex＞0,故函数g(x)在(0,＋∞)上单调递增,所以gmin(x)＞g(0)＝－1,则a≤－1,故实数a的取值范围为(－∞,－1].

在解决一些含参不等式恒成立问题时,常常需要合理地变形与转化.对不等式进行恒等变形与转化,有利于后续构建函数,从而用函数的性质解题.

3 端点效应法

在解决不等式恒成立背景下的参数取值范围问题时,利用函数取端点时的特殊值可以缩小参数的取值范围,即若不等式f(x)≥0在[a,＋∞)上恒成立,且f(a)＝0或f′(a)＝0,则f′(a)≥0.解题时,我们可以先写出使不等式无法恒成立的反面条件,这样能够排除参数的不合理范围,但要注意的是缩小后的参数的取值范围需要进一步分析与讨论.

例3 若关于x的不等式xlnx－alnx≤axa2(a∈R)对 于 任 意 实 数x∈[1,e]恒 成 立,则a＝_____.

依题意,对于任意实数x∈[1,e],对应不等式xlnx－alnx≤ax－a2(a∈R)恒成立,则当x＝1 时,原不等式即为0≤a－a2,解得0≤a≤1.

当x＝e时,原不等式即为e－a≤ae－a2,变形整理有(a－1)(a－e)≤0,解得1≤a≤e.

综上,a＝1.

在解决一些含参不等式恒成立问题时,可以借助一般到特殊的数学思想,若不等式在某确定的区间上恒成立,则该区间上的某些特殊点(这里包括端点)也满足该不等式,这就是端点效应法的本质.

4 必要性探路法

在解决不等式恒成立背景下的参数取值范围问题时,经常借助“必要性探路”,即先确定含参不等式恒成立时参数的取值范围,进而结合逻辑推理进行分析.特别地,在解答一些小题(选择题或填空题)中经常采用这种方法,当然这种方法也适用于解答题,但要注意解答与证明过程的严谨性.

(1)若a＝2,求f(x)的极值;

(2)若f(x)≥2a(1＋lna)恒成立,求实数a的取值范围.

(1)函数f(x)在x＝1处取得极小值1,无极大值(求解过程略).

(2)由于f(x)≥2a(1＋lna),则有

在解决此类问题时,往往可以考虑利用必要性探路法寻觅出对应参数的取值范围,这样可以节约时间.在利用必要性探路法处理问题时,经常借助一些不等式的结论来进行放缩处理.

利用导数及其应用求解不等式恒成立背景下的参数取值范围问题,有时可以借助以上技巧方法中的某一个来分析与处理,有时需综合采用多种方法.在解题过程中,学生需要具体问题具体分析,灵活选择合适的方法,从而提高自身数学思维能力,充分让逻辑推理这一数学核心素养在心中生根发芽.

链接练习

1.若对于任意的x1,x2∈[1,e],均有则m的取值范围是_________.

2.已知x≥y≥0,且x＋y＋x－y≤a(x＋y),则实数a的取值范围是_________.

3.对于任意的x∈[1,＋∞),若关于x的不等式(a∈R)恒成立,则实数a的取值范围是________.

链接练习参考答案

1.[1,＋∞).2.[2,＋∞).3.[1,＋∞).

(完)