例谈构造函数求解导数问题

谭光友

广东省龙门县龙门中学 (516800)

在众多函数问题的求解中,大家比较熟悉应用导数去解决,通过求导把函数转化为方程进而求解.但在具体的操作中,面对不同的函数,直接求导再作分析遇到很大困难,以至于求完导便不知所措,找不到解决问题的方向.本文借助一些例题,分析在解决函数问题中通过构造新的函数,对新函数进行分析达到求解目的.

一、取函数性质明显的部分构造新函数,柳暗花明

有些函数对整体进行分析,其特征并不明显,表面上看不出解决问题思路.但某部分特征明显,有显著的奇偶性,把奇偶性明显的这部分割裂开来构造新函数,对新函数进行分析,问题变会柳暗花明.

分析：由问题g(2x+a)+g(x2-1)>2和g(x)=ex-e-x+sinx+1可看出,直接代入g(x)的解析式来求解不等式,难度较大,困难重重.而根据问题g(2x+a)+g(x2-1)>2的提示,应该与单调性有关,但不等式右边不是常数0,可以考虑通过变化能否变化成h(2x+a)>h(x2-1)模型,结合条件也比较困难.但仔细观察函数g(x)=ex-e-x+sinx+1,虽然比较复杂,但g(x)中ex-e-x+sinx这部分性质明显,如果选取这部分构成一个新函数h(x),显然h(x)=ex-e-x+sinx是其定义域上的奇函数,所以g(x)=h(x)+1,g(2x+a)=h(2x+a)+1;g(x2-1)=h(x2-1)+1,故不等式g(2x+a)+g(x2-1)>2就等价于h(2x+a)+1+h(x2-1)+1>2,也即是h(2x+a)>-h(x2-1),因为h(x)=ex-e-x+sinx是其定义域上的奇函数,所以有-h(x2-1)=h(1-x2),即h(2x+a)>h(1-x2),要解不等式,只需要分析函数h(x)=ex-e-x+sinx的单调性即可.

事实上h′(x)=ex+e-x+cosx,因为ex+e-x≥2,-1≤cosx≤1,所以h′(x)>0,故h(x)=ex-e-x+sinx是R上的单调递增函数.原不等式等价于2x+a>1-x2在(-1,1]上恒成立.所以有a>1-x2-2x在(-1,1]上恒成立,故a>2.

二、由函数相同或相近部分构造新函数,绝处逢生

有些函数表面不容易观察出特征,直接求解也没有办法解决.但把函数进行适当变化,便会出现相同或相近的代数式,以此为基础构造出新函数,可以使问题绝处逢生,达到求解目的.

三、 根据条件式子的结构构造新函数,峰回路转

例3 已知可导函数f(x)的定义域为(-∞,0),其导函数f′(x)满足xf′(x)-2f(x)>0,求不等式f(2021+x)-(x+2021)2f(-1)>0的解集.

如下几道题都可以采用此方法构造函数使问题得解.

变式1 定义在[0,+∞)上的函数f(x)的导函数f′(x)满足(x+1)f′(x)ln(x+1)+f(x)<0,比较2f(3),0,f(1)的大小关系.

变式2 设定义域为R的函数f′(x)>f(x),求不等式ex-1f(x)

四、牵线搭桥使函数结合构造新函数,茅塞顿开

对于含ex的函数,在利用导数解决问题时,尽可能创造条件,使ex与其他函数结合,构造型如f(x)e±x±a的函数,解题思路茅塞顿开.

例4 (2018全国Ⅱ卷)已知函数f(x)=ex-ax2.若a=1,证明:当x≥0时,f(x)≥1.

五、棒打鸳鸯离间函数构造新函数,豁然开朗

对含f(x)lnx型函数,想办法使f(x)与lnx割裂开来,让lnx独立存在,再利用导数去分析新函数,这样解决问题的思路逐渐明晰,豁然开朗.

例5 已知函数f(x)=lnx+ax-1(a∈R).若函数f(x)的图像过(1,0),求证:e-x+xf(x)≥0.

六、改头换面构造新函数,迎刃而解

对含有f(x)ex+lnf(x)型函数,直接求导计算比较复杂,若将式子中的f(x)ex改变一下形状,有f(x)ex=elnf(x)+x,在此基础上构造新函数,使问题迎刃而解.

例6 (2020山东卷)已知函数f(x)=aex-1-lnx+lna.(1)当a=e时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))的切线与两坐标轴围成的三角形的面积;(2)若f(x)≥1,求a的取值范围.