一种基于叠加权重ICP 的快速钢轨廓形匹配算法

左 伟，李剑锋，罗梓河

（株洲时代电子技术有限公司，湖南 株洲 412007）

0 引言

钢轨因直接支撑列车，随着车辆通过频次和轴重的增加，其健康度变得越来越重要。钢轨的轨头因为与车轮直接接触，易出现变形、劣化，主要表现为钢轨轨头区域的顶磨、侧磨、擦伤掉块等。钢轨横截面廓形的变化，使得列车运行的噪声增大、平稳性下降；列车平稳性下降带来的横/纵向冲击反过来加速钢轨和车轮的劣化，从而加速钢轨使用寿命的缩短。因此，保持正确的钢轨轨头廓形至关重要。

目前，针对钢轨轨头劣化变形问题，主要的维修方法是使用钢轨打磨机械将已经劣化的钢轨进行打磨修复，使之恢复到标准的钢轨廓形［1］。在进行钢轨打磨之前，首先需要快速、精确地测量出钢轨横截面各个方向的变形量，再使用专用打磨设备对钢轨进行打磨，使之恢复到标准廓形。可见，钢轨廓形测量作为钢轨打磨作业的第一步，具有重要的研究意义。当前常用的钢轨廓形测量有接触式测量和非接触式测量两类。其中接触式测量以MiniProf设备为主［1］，采用滚轮直接接触来测量钢轨横截面的方式精度高但效率较低。非接触式测量则以其测量精度高、速度快等优点而迅速发展［2］，有多种非接触钢轨廓形测量技术被提出，其中最常用的是基于结构光和图像技术的钢轨磨耗测量技术［3-5］。其测量过程分两个步骤：第一步是基于激光三角测距原理测量钢轨的实际廓形；第二步是将测得的实际廓形与钢轨标准廓形进行叠加匹配，得出钢轨的磨耗量。实际应用时，钢轨廓形多变且测量的精度要求高达±0.2 mm，匹配算法不仅要能适应各种异常的钢轨廓形，而且要求在匹配时不能因异形的轨廓而降低匹配精度。

本文提出一种改进的两步法钢轨匹配算法。其首先利用钢轨廓形的几何特征将实测轨廓和标准轨廓进行快速粗匹配；然后利用改进的叠加权重的ICP算法，快速、准确地将实测钢轨廓形点云数据与标准轨廓点云数据进行叠加配准，从而计算钢轨的磨耗数据。

1 系统测量原理

钢轨磨耗的计算有钢轨横截面数据采集、点云匹配和磨耗值计算3 个步骤，即通过钢轨廓形结构光视觉测量系统获取钢轨廓形三维坐标点云，并与标准的钢轨廓形进行匹配，再计算出当前钢轨的磨耗数值。

1.1 钢轨廓形数据的精确采集

钢轨廓形结构光视觉测量系统主要包括线激光器、高速相机、高速视觉图像专用硬件处理系统、软件及机械结构件［6］等，如图1 所示。

图1 钢轨廓形结构光视觉测量系统Fig.1 Visual measurement system for structural light of rail profile

相机和线激光器组成结构光传感器，其一般被安装于检测列车转向架附近。 线激光器垂直于钢轨方向投射出激光平面，在钢轨表面形成激光光条，位于同一侧的相机拍摄光条图像，经图像处理和视觉测量模型的计算得到钢轨轮廓的三维坐标数据点； 然后，利用钢轨廓形匹配算法确定实测轨廓到标准轨廓的坐标转换，实现钢轨头部测量轮廓与标准设计轮廓的匹配对齐，求得磨耗值。

1.2 钢轨廓形获取的数学原理

钢轨廓形结构光视觉测量系统的坐标系［7］如图2所示。

图2 钢轨廓形结构光视觉测量系统坐标系Fig.2 Coordinate system of visual measurement system for structural light of rail profile

在图2 中，在世界坐标系Ow-XwYwZw中，激光线投射出来的面为激光平面P1，该激光平面为空间中的一个三维平面，标定出该平面在空间的方程：

式中：A、B和C——空间平面方程的参数；Xw、Yw和Zw——世界坐标系的坐标。

激光面投射到目标物体上的线激光光条为L，记线激光光条中某一点在相机图像坐标系中的坐标为（u，v），则根据针孔摄像机成像原理，有

式中：s——比例因子；Ac——摄像机的内参矩阵；R1——世界坐标系到摄像机坐标系的转换矩阵；t1——世界坐标系到摄像机坐标系的平移向量。

式（2）中，（u，v）在提取激光线条的中心坐标时得到，Ac和（R1，t1）在相机内参标定［7］时得到，以上参数在本文中均作为已知条件参与计算。因此，Ac［R1，t1］是一个3×4的矩阵，设为

把式（3）代入式（2）并展开，得到如下方程组：

将式（4）和式（1）联立，即得到关于Xw、Yw、Zw的三元一次方程组，从而可解算出世界坐标点（Xw，Yw，Zw），完成由摄像机像素坐标系(u，v)到世界坐标系（Xw，Yw，Zw）的转换。将一条激光线上的像素都转换到世界坐标系，即可得到钢轨廓形的点云坐标。

2 钢轨廓形匹配算法

钢轨廓形匹配的目的是将两片包含有公共部分的钢轨廓形点云经过刚性变换或仿射变换后叠加配准，使得匹配后的公共部分点云满足最小二乘误差或其他指标。当前最常用的点云匹配算法为经典迭代最近点算法（iterative closest point，ICP）算法。经典ICP算法对初始输入状态较为敏感，当初始输入条件不佳时，既可能出现迭代不收敛情况，也可能陷入局部最优解［9］。本文针对经典ICP算法进行改进，形成两步法匹配算法，以规避其缺点。

2.1 经典ICP算法

经典ICP算法是将两片具有公共区域的点云进行配准的常用算法，其由Besl 等人于1992 年提出［9］。该算法的步骤如下：

1） 对于待匹配的两组点集P0和P1，首先利用距离作为度量找到P0、P1两个点集中距离最近的点作为对应点集。

2） 利用找到的对应点集，结合四元数法或奇异值分解法（SVD），可以求解出对应旋转矩阵R和平移向量T。

3） 利用R和T将待匹配点集P1进行变换得到点集P2。

4） 重复步骤1）至步骤3），找到点集P0和P2的对应点集，计算对应的变换矩阵。如此重复迭代，直到最终的基于距离差值的评价函数取得最小值，迭代终止，完成匹配。

2.2 两步法匹配算法

为了避免经典ICP算法在迭代时的低鲁棒性和陷入局部最优解问题，本文算法结合钢轨廓形的固有几何特征，采用“先粗后精”的两步法匹配策略：第一步，基于钢轨廓形的几何特征快速完成粗匹配，经过粗匹配实现实测廓形和标准廓形大致配准，为ICP 算法提供一个优质的初始输入，极大地提高ICP 算法的迭代效率和鲁棒性，以防止ICP算法陷入局部最优解；第二步，利用改进的叠加了基于距离权重的ICP 算法实现轨廓的精匹配。

2.2.1 钢轨粗匹配算法

点云匹配的本质是刚性变换。对于两个点集S1和S2（S1和S2存在公共点），若点集S2经过刚性变换后与点集S1重合，那么刚性变化过程可表示为

从式（5）可知，对于两组钢轨廓形点集的匹配，只需计算出两组点集对应的R和T，就可将其中一个钢轨廓形经过坐标变换后与另外一个廓形重合。由于钢轨廓形点云是由线激光器测量得到的，因此，钢轨廓形的点云实质上是一系列的二维坐标。二维坐标下的旋转矩阵R可以表示为。

由式（6）可知，矩阵R由旋转角度θ确定。平移向量T=［Tx，Ty］T，其由x轴的平移量Tx和y轴的平移量Ty确定。因此，要想解决钢轨廓形粗匹配的问题，只需要求解出θ、Tx和Ty这3个未知变量。 根据坐标变换的原理可知，针对二维平面内的钢轨廓形，在找到两组对应特征点的情况下，即可以求解出上述3个未知变量。

本算法基于钢轨廓形的固有几何特征，寻找稳定的两组对应特征点来进行粗匹配。文献［10］也利用了钢轨的几何特征，但计算量大且计算结果不稳定。图3为标准的钢轨廓形［11］结构示意，图中点A～E为钢轨廓形的特征点。钢轨轮廓可以分为3个部分，分别为轨头、轨腰和轨底。在这3个部位中存在一些几何特征点，这些特征点都是由直线段或者曲线段交叉形成的交点。图3中A点为轨顶点，其不易被遮挡和被泥土黏附，但因与车轮直接接触而容易被磨损；B点处于轨颚，因而不易被磨损、被遮挡和被泥土黏附，且可以被线激光扫描系统稳定地测量到，因此属于可稳定使用的点；C点不容易被破坏，但受制于采集系统的安装方式而被轨头遮挡，无法进行测量；D、E处在钢轨的底部，易被道砟、油泥和冰雪等遮挡。可见，A、C、D、E点均属于不可稳定使用的点，只有B点可以作为稳定的特征点使用。

图3 标准钢轨廓形结构示意图Fig.3 Standard rail profile data

通过以上分析可知，轨颚处B点是可以被稳定使用的点，因此还需要找到另一组特征点。在物体进行刚性变换时，物体内两点之间的距离值不会随着坐标变换而改变。在本方法中，利用这个特性来寻找另一个点。

图4为采用结构光测量系统测量得到的钢轨廓形示意，图中点A´～E´为钢轨廓形的特征点。可以看出，由于轨头的遮挡，测量的廓形中将存在一个中断区间L，区间L的两个端点分别为轨颚处B´和C´点，C´点的实际坐标位置会随着车体的振动而变化，这也就将导致区间L的长度发生变化。对比A´、C´、E´ 3个端点，可以发现，C´点最合适作为除轨颚B´点以外的另一个特征点。其原因在于：A´点位于轨头上方，容易受波磨等损伤影响；E´点位于下端，同样存在被遮挡的问题；C´点的高度适中，受到的干扰较少。

图4 实际测量钢轨廓形结构示意图Fig.4 The measured rail profile data

本文所使用的基于C´点作为特征点的粗匹配算法流程如图5所示。其步骤包括：

图5 粗匹配过程流程Fig.5 Roughly match flowchart

1） 首先对实际测量得到的钢轨廓形数据采用基于距离的离群点移除算法进行去噪处理。去噪过程通过统计某点一定距离范围内邻域点的个数来判断该点是不是离群点。当邻域内点数量大于一定阈值时，则不是离群点；反之，则是离群点。

2） 完成数据去噪之后，对实测轨廓中的数据进行差分。即后一个数据点与前一个数据点进行差分，差值最大的位置即发生突变的位置，对应实测轨廓的B´和C´点。

3） 得到实测廓形中的B´和C´点数据后，计算出两点间的距离d。

4） 在标准廓形中，轨颚B点可以作为已知条件，在长度d确定的情况下，通过遍历的方法搜索出标准廓形中的C点，满足|BC| =d要求。

5） 利用（B´，C´）和（B，C）两对特征点的坐标，计算出对应的转换矩阵R和平移向量T。

求解出R和T后，应用式（5）即可完成标准轨廓与实测轨廓的粗略匹配。

2.2.2 精匹配算法

精匹配一般采用ICP算法完成。但是在将经典ICP应用到钢轨匹配使用时，因实测的钢轨廓形存在较大的劣化变形，会得到较低的磨耗计算精度（虽然该匹配结果已是算法的最优解，但是并不符合钢轨磨耗的计算要求）。这是因为钢轨轨头在与车轮的长时间接触摩擦以后会发生一些变形，比如钢轨肥边、磨耗或者压溃等，使得钢轨的实际廓形与标准廓形相差较大，实际的匹配效果如图6所示。

图6 基于经典ICP 算法的钢轨匹配效果Fig. 6 Rail matching based on classical ICP algorithm

图6 （a）蓝色曲线为实测的带有磨损变形的钢轨廓形，绿色曲线为标准的钢轨廓形，经典ICP算法匹配的结果如图6（b）所示。如图6（c）所示，由于实际轨廓的劣化变形，经典ICP 算法匹配结果并没有真实地反映钢轨的磨耗。

为了降低实际轨廓点云中劣化变形部分对经典ICP 算法的影响，本算法引入权重因子，旨在最大化地降低劣化部分点云对匹配精度的影响。带权重的ICP 算法可以提高经典ICP 算法收敛速度，且可以有效避免外点（劣化部分的点云）的影响，具有高鲁棒性。

带权重的ICP算法涉及的基本函数包括优化函数和权值函数，其优化函数的公式为

其中：

式中：R＊，T＊——每次迭代得到的转换矩阵和平移向量；pi——第i个点；wi——第i个点对应的权重系数，它的取值由与对应点间距离相关的权值函数确定。

权值函数应根据实际需求进行设计，本文采用了基于Lhu(r)函数的权值函数。Lhu(r)函数对应的公式为

式中：r——钢轨廓形中某一点的邻域中任一点到该点的距离；khu——权重常数。

为了使点pi的权重与r值相关，且距离越大，权重越小（即r值越大权重越小），将权值函数w（r）设计为Lhu(r)函数的导数与r的比值，可表示为

进一步地，对Lhu(r)求导后代入式（10）可以得到

式中，khu的取值可以根据实际的应用效果进行调整。在本文中，khu=2时试验效果较好。从式（11）可以看出，距离r的绝对值越大，对应的权重值越小。这个特性正好可以有效地消除外点的影响，且可以提高算法的收敛速度。

基于式（7）～式（11）对经典ICP 算法进行相应调整，可以完成本方法中的带权重ICP算法，实现轨廓的精细匹配。

3 多种劣化钢轨廓形的匹配试验

本文将首先通过添加人工模拟伤损的钢轨廓形的匹配试验来说明经典ICP算法和叠加权重ICP算法的差异；然后，通过实测劣化钢轨廓形的对比匹配试验来说明经典ICP算法和叠加权重的ICP算法在实际使用中的优劣。

3.1 随机噪声叠加人工伤损的廓形数据的匹配试验

图7为随机噪声叠加人工伤损的廓形数据的匹配试验结果。为了达到模拟磨耗的效果，人为地在标准钢轨廓形点云的轨距角区域中加入了模拟噪点，以检查匹配算法对于磨损钢轨的抗干扰性。图7（a）为采用叠加权重ICP算法匹配后的效果，可以看到，算法并没有受到人为添加噪点的影响，权重的添加很好地消除了噪点的影响；图7（b）示出经典ICP算法匹配效果，其顶部和底部有明显的空隙。经过测量，叠加权重的ICP算法在轨顶处的磨耗为0.08 mm，而经典ICP算法在轨顶处的磨耗为1.23 mm。由于是通过在标准钢轨廓形的轨距角处添加模拟噪点，经过匹配计算后的磨耗值在轨顶处应为0 mm，因此本文提出的算法更符合实际情况。

图7 随机噪声叠加人工伤损的廓形数据匹配试验Fig.7 Matching experiment of profile data with random noise and artificial damage

3.2 轨廓磨损情况匹配试验

图8 （a）中右边点云为实际测量得到的钢轨廓形，实测轨廓在轨距角部位有较为明显的磨损，左边绿色点云为标准钢轨廓形。图8（b）显示，尽管钢轨顶部轨距角部位已经被严重磨损，但是由于权重的分配，外点被赋予较小的权重而使得整体的匹配效果并没有受到影响，匹配精度仍然较高。图8（c）为使用经典ICP算法进行匹配的效果，轨顶区域明显往下移而使得匹配效果较差。经过测量，叠加权重的ICP算法在轨顶处的磨耗为0.1 mm，而经典ICP算法在轨顶处的磨耗为0.82 mm。仔细观察会发现，实测轨廓仅在轨距角部位有较为明显的磨损，经过匹配计算后的磨耗值在轨顶处应为0，因此本论文提出的算法更符合实际情况。

图8 轨廓磨损情况下钢轨匹配试验结果Fig.8 Test results of the rail matching under rail profile wear

3.3 钢轨肥边模拟匹配试验

钢轨肥边是常见的钢轨廓形劣化病害，通常发生在小半径、重载等线路上。由于车辆的频繁摩擦和重压，在钢轨侧面易形成肥边，即钢轨侧面出现溢出现象。图9（a）中右边点云为人工模拟的有肥边的钢轨廓形，在轨距角部位有较为明显的廓形劣化；左边点云为标准钢轨廓形。图9（b）为采用叠加权重的ICP 匹配算法进行叠加配准后的点云，可以看到，尽管实际的钢轨顶部已经变形劣化严重，但是通过算法将外点赋予较小的权重而使得整体的匹配精度仍然保持较高水准，经过测量，轨顶处的磨耗值为0.12 mm。图9（c）为使用经典ICP算法进行匹配的效果，经过测量，轨顶处的磨耗值为0.54 mm。经过对比发现，添加了权重的ICP 匹配算法效果明显优于经典ICP算法。

图9 钢轨肥边模拟匹配试验结果Fig.9 Simulated matching test results of steel rail fat edges

经过以上3次试验，应用本文提出的算法计算得到的轨顶处磨耗值分别为：0.08 mm，0.1 mm，0.12 mm，经典ICP 算法得到的轨顶处磨耗值分别为：1.23 mm，0.82 mm，0.54 mm。假设标准磨耗为0，本算法的3次平均误差比经典ICP算法的降低了约0.763 mm。

4 结束语

针对经典ICP 算法对初始输入数据要求高、易陷入局部最优解、易受到噪声点干扰而出现匹配误差较大等问题，根据钢轨廓形磨耗测量的实际情况，本文提出一种分两步来进行钢轨廓形匹配的算法。其首先基于钢轨廓形的固有几何特征提出快速粗匹配算法，为ICP算法提供一个较优的初始输入，避免ICP算法陷入局部最优解；然后通过添加与距离相关的权重，解决了ICP 算法易受噪点、劣化点等外点干扰而影响匹配质量的问题。通过仿真和实测的点云进行匹配试验，结果显示，本算法针对劣化的钢轨廓形具有较好的匹配效果，可以用于钢轨磨耗的计算，具有推广价值。

本文暂时只考虑了3种较为常见的钢轨廓形劣化情况下的钢轨廓形匹配，而现实情况下会有更多种廓形劣化发生，因此该匹配算法的适用性还需要进行更加广泛的测试。另外，由于匹配的残余误差未反馈到迭代算法中，后续的工作中可以将残差作为反馈函数加入权重函数中，以进一步提高本算法的匹配精度和速度。