六相永磁同步电机驱动系统直流环节电容器电流RMS 值估计

张志刚，常加冕，张鹏程

（1. 湖南工业大学 电气与信息工程学院，湖南 株洲 412007；2. 长沙学院 电子信息与电气工程学院，湖南 长沙 410000）

0 引言

目前，多相电机由于其转矩脉动小、功率器件容量要求低和控制容错率高等优点在各种特殊场所得到了广泛的运用［1］。采用六相永磁同步电机的变流器驱动系统的可靠性受到各种元件的影响，如开关元件、电感器、电容器、连接器、电阻器和门极驱动器。其中，电容器是决定整个变流器驱动系统可靠性的主要因素之一，并且其故障率在驱动系统中占比约40%。故监测电容器的使用寿命对提高整个驱动系统的可靠性具有重要意义［2］。

在直流环节电容器的使用寿命监测过程中，电容纹波电流均方根（root mean square， RMS）值计算的准确性是影响电容器选型和寿命监测的重要因素［3］。实际上，逆变器采用不同的控制策略，直流电容器承受的谐波电流也不同［4］。电容器电流RMS值的计算方法已有较多文献报道，可分为时域分析和谐波谱分析。在时域分析方法中，调制深度、电流幅值、相位角3 个参数共同决定电流均方根值。文献［5］中电流RMS 值采用简单的解析表达式计算，与实际值相比可能存在5%左右的偏差。在频域分析方法中，文献［6］根据直流环节电容电流的谐波频率分析计算电容器的电流RMS值，其中谐波分量是通过双重傅里叶积分得到，此方法步骤简单，易于实现。文献［7］和文献［8］详细分析了不同调制方式对电流RMS值的影响，并对分析结果进行了验证。现有文献的计算方法精度低、过程复杂。为此，本文提出了一种直流环节电容电流RMS 值的计算方法。其首先分析了变流器调制对直流电容电流的影响；其次，通过对电容电流的频谱分析，得到了双重傅里叶积分的电流RMS 值计算式；同时，为了减少积分计算过程、提高计算精度，提出了一种改进的多项式插值求积法Cotes；最后，通过搭建二电平六相永磁同步电机驱动系统模型，采用空间矢量脉宽调制（SVPWM）算法，验证了所提方法的有效性和优越性。

1 六相永磁同步电机驱动系统拓扑及数学模型

1.1 六相永磁同步电机驱动系统拓扑结构

本文基于六相永磁同步电机驱动系统的拓扑结构建立电容器电流谐波分析模型。六相永磁同步电机驱动系统结构由不控三相整流器（UBR）和并联在直流环节上的2个逆变器组成，如图1所示。假定六相永磁同步电机处于稳态工作状态，且逆变器采用规则对称的SVPWM控制策略［5］。

图1 六相永磁同步电机驱动系统拓扑结构Fig. 1 Topology of S-PMSM drive system

1.2 直流环节电容器电流谐波分析数学模型

二极管整流桥为自然换相整流，在一个开关周期中，同一上下桥臂交替导电，各相导电角度差为120°。因此，输出电流irec由直流分量Ir，dc和各次谐波分量irn的和组成，如式（1）所示。

直流电容器仅导通交流分量，因此电容器电流的RMS值ic，rms主要由整流输出的谐波分量组成。直流环节电流谐波是由变流器在PWM信号的驱使下进行高频率开关而产生的。直流链路电流iinv由2个逆变器的输入电流组成，包含交流分量iinv，ac和直流分量iinv，dc，如式（2）所示。

流入直流环节电容器的谐波电流与逆变器开关函数有密切关系。在时域中，各相的开关电流可用交流相电流与开关函数T（t）相乘表示，因此，iinv，ac可表示为

式中：i(u，v，w)(t)——上逆变器各相电流的瞬时值；i(r，s，t)(t)——下逆变器各相电流的瞬时值。

根据逆变器的开关特性，三相交流电流可以用基频分量表示为

式中：I(U，V，W)、I(R，S，T)——各自相位中的电流幅值；ω1、ω2——上、下逆变器的角速度，ω1= 2πf1，ω2= 2πf2，其中f1和f2分别为上、下逆变器的角速度对应的基本频率；φ1、φ2——上、下逆变器相位角；τ——变量，取值为0、1和2，主要是为了区分U，V，W或R，S，T三相，使之互差120°。

如果开关函数T(t)归一化为开关周期，基于SVPWM（空间矢量脉宽调制）开关状态的时间定义如式（5）所示，其中，α1表示第一扇区或第二扇区中的时间函数［9-13］。

式中：ω——基频角频率；M——调制系数其中Uref为参考电压矢量，Udc为直流母线电压。

房丙午 男，1974年生于安徽枞阳.现为南京航空航天大学计算机科学与技术学院博士研究生，副教授.主要研究方向软件工程、软件系统安全性分析.

2 基于频域分析的直流环节电容器电流RMS值计算

根据Parseval 定理，时间信号的能量可以等于其频谱的能量。因此，时间信号iinv，up，rms可以用上逆变器电流频谱iinv，up(f)表示［13］。iinv，up(f)由式（4）中的3个相电流频谱之和得到，如式（6）所示。

式中：IU（f）、IV（f）、IW（f）——各相位电流的频谱幅值。

2.1 直流环节电容器电流RMS值双重傅里叶分析

不同于对开关电流的频域分析，开关电流的频谱可以用双重傅里叶积分表示。使用这种方法，逆变器开关电流的频谱如式（7）所示。

式中：Uk、Vk、Wk—— 上逆变器的U 相、V 相和W 相相电压；yu（r）、yd（r） —— 外积分的积分极限；xu（r）、xd（r）——内积分的积分极限；m——载波指数变量，m∈N；n——频谱边带指数变量，n∈N；y1=ω1t；x1=ωsw1t，其中，ωsw1为上逆变器的开关频率；f——该频域与上逆变器基频、开关频率之间的关系

开关电流的双重傅里叶积分的上下限如表1所示。

表1 开关电流的双重傅里叶积分的积分极限Tab.1 Integration limits for the double-Fourier integral of switch current

与iinv，up(f)的表示类似，下逆变器iinv，low(f′)的频谱可由式（7）导出，结果如式（8）所示。

式中：Rk、Sk、Tk—— 下逆变器的R 相，S 相和T 相相电压；y2=ω2t；x2=ωsw2t，其中ωsw2是下逆变器的开关频率；f′——频域与下逆变器基频、开关频率之间的关系

2.2 基于插值求积的电流RMS值计算

上述推导所得式（7）和式（8）为双重傅里叶积分，计算量巨大且繁琐，涉及许多未解积分。为了得到简化的计算表达式，对式（7） 和式（8）进行插值求积。牛顿3/8法（即辛普森3/8法则）是近似确定函数不定积分的数值求积方法。在所考虑的区域内，所需采样点的位置在等距离间隔内。然后对推导出的函数积分生成近似解。采用所提出的插值求积方法可以省去大量的积分计算过程，同时具有较高的计算精度。

应用插值求积规则的结果如式（10）所示。

式中：C（y）——近似于原函数的函数；Qk——权重系数；sk——插值系数，sk描述了步长的位置，如式（11）所示。

式中：Zk——固定采样点。

2.3 采用改进插值求积Cotes方法的电流RMS值计算

插值求积方法会根据采样点的数量和权重系数的不同产生不同的效果。综合考虑计算精度和计算复杂程度，本文提出了Cotes 方法，采取5 个采样点。基于Cotes方法的权重系数和采样点结果如表2所示。

表2 Cotes 方法的采样点和权重系数Tab. 2 Sampling points and weight coefficients of Cotes

3 系统仿真验证

通过实验和仿真验证本文所提出方法的有效性。所有实验数据均通过Matlab/Simulink 仿真平台获取，根据图1系统拓扑结构搭建的六相永磁同步电机驱动系统具体参数如表3所示。

表3 六相永磁同步电机驱动系统参数Tab. 3 Parameters of S-PMSM drive system

逆变器控制开关频率为4 kHz。将相电流视为理想余弦函数。输入三相电压幅值为326 V，基频50 Hz。在上述建立的系统模型中，通过对比普通双重傅里叶积分计算方式和牛顿3/8 法验证所提出Cotes 方法的计算精度和计算速度。

3.1 Cotes方法的计算精度验证

为了验证所提出的Cotes方法的准确性，使用了3种不同的方法（牛顿 3/8 法， Matlab FFT 分析和Cotes方法）来计算直流环节电容电流的RMS 值。图2 示出在1 到6 倍开关频率下直流环节电容电流iinv，rms的RMS 值跟随调制指数M的变化情况。对比3 种方法，通过图2可以看出，在1到6倍开关频率下，Cotes方法比牛顿 3/8 法具有更高的计算精度，其计算精度能提高约5%。

图2 Cotes 方法的近似精度Fig. 2 The approximate accuracy of Cotes method

3.2 Cotes方法的计算速度验证

为了验证Cotes方法的计算简化效果，进行了计算速度的对比实验。采用Cotes 方法和Matlab 双重傅里叶计算方法分别对式（7）和式（8）进行实时计算。两种计算方法的程序由DSP控制器（TMS320F2812）执行，并通过插入断点记录执行时间。Cotes方法的程序执行时间约为4 ms， Matlab FFT方法的程序执行时间约为8.3 ms。可以看出，Cotes方法计算速度要快50%左右。因此，所提出的Cotes方法更加简化。

4 结束语

针对六相永磁同步电机驱动系统，为解决传统的直流环节电容电流RMS值计算繁琐、涉及许多未解积分等问题，本文在直流环节电容器寿命的预测和在电容器体积选型设计过程中提供了更优化的电流RMS值计算方案。该方案在所考虑的区域中，等距离步长中分布5个采样点，然后对推导出的函数积分，生成近似解。仿真结果表明，通过采用所提出的Cotes方法可以省去约50%的积分计算过程，计算精度提高约5%。同时，该方法可侧面提高驱动系统的稳定性。但是高阶时Cotes方法可能会出现数值的不稳定，未来可着重研究Cotes 方法的误差分析，进一步提升该方法的计算精度。