字母语言：数量关系表达的突破——《用字母表示数》教学（二）

文| 杨 晔

【教学内容】

苏教版五年级上册第99、100页及练习十八第1～3 题。

【教学过程】

一、知识链接，打开学习视窗

师：今天我们学习研究的是数学中的字母，为什么数学课中要研究字母呢？

生：我知道，和方程有关。

师：你的知识很丰富，我们一起来看一段介绍。

（学生根据视频聆听介绍）

师：在这段介绍中，你找到学习的原因了吗？

生：通过这段话我认识到字母可以表示数，字母对解决数学问题作用很大。

师：那现在你想通过今天的学习掌握哪些用字母表示数的知识？

生：字母可以表示哪些数？

生：怎样用字母表示数呢？

生：用字母表示数后能够解决哪些问题？

师：下面，我们就以当代韦达的身份，带着这些问题进入数学中的字母世界吧。

二、关系研究，感悟字母价值

1.差数关系

（1）哥哥与妹妹的年龄关系思辨

师：（出示 “哥哥比妹妹大4岁”）通过这句话，你想到什么？

生：妹妹比哥哥小4 岁。

生：无论过多少年，哥哥和妹妹都相差4 岁。

师：能通过一个式子表示哥哥和妹妹之间的年龄关系吗？

生：哥哥的年龄-4=妹妹的年龄。

生：也可以是妹妹的年龄+4=哥哥的年龄。

生：我觉得哥哥的年龄-妹妹的年龄=4 也可以。

师：用数量关系式表达哥哥和妹妹的年龄关系，简洁又清晰。我们也可以用表格将哥哥和妹妹的年龄情况表示出来。

?

师：当妹妹1 岁时，哥哥的年龄是？

生：5 岁。

师：这里既可以用5 表示，也可以突出哥哥比妹妹大4 岁的关系，用1+4 这个式子表示。

（根据学生的回答，将＋4 变为红色）

师：那当妹妹2 岁时呢？

生：哥哥是2＋4 岁。

师：那当妹妹是15 岁、20 岁、50 岁呢？像这样，还能写下去吗？

生：还能写下去，不过，妹妹的年龄也不能太大，写到90 岁差不多了。

师：同学们发现了关于哥哥与妹妹年龄的问题，这样的式子还有很多，但是人的寿命是有限的，不能无限地写下去。你能用自己的方式把妹妹、哥哥的年龄表示出来吗？

（学生独立完成表格，教师巡视。收集学生作品）

●作品1：妹妹的年龄用（ ）表示，哥哥的年龄用（ ）＋4 表示。

●作品2：妹妹的年龄用○表示，哥哥的年龄用○＋4 表示。

师：这两位同学为什么用符号表示，而不写具体的数呢？

生：用符号表示就可以代表很多的数。

师：如果妹妹的年龄用○表示，哥哥的年龄用△表示，这样可以吗？

生：我觉得不好，这样就不能看出哥哥比妹妹大4 岁了。

师：看来同学们对这个问题都想得很清楚明白。

●作品3：妹妹的年龄用字母a 表示，哥哥的年龄用a＋4 表示。

师：看得懂这种表示方法吗？

生：他的意思和上面是一样的，但是用字母a 来表示妹妹的年龄。

师：你们觉得哪种方法能突出今天的学习内容？

生：肯定是用字母表示的。用符号在有些问题里容易混淆，比如○和0 一样。

生：如果用（ ）看起来就和填空一样了，不方便也不美观。

师：大家都很有想法，在实际的运用中的确存在这些问题。我们看，妹妹的年龄用a 表示，哥哥的年龄就可以用a＋4 表示，如果哥哥的年龄用b 表示，那你觉得妹妹的年龄又该如何表示？

生：妹妹的年龄用b－4 表示。

师：刚才不都是用a 表示的吗？

生：如果用a 表示，就不能看出两个人年龄之间的关系。

师：就如同学们所说，如果妹妹的年龄用a 表示，那哥哥的年龄就可以根据妹妹的年龄，用a＋4表示；如果哥哥的年龄用b 表示，那妹妹的年龄就可以用b－4 表示。不同的字母表示不同的意思，但是它们表示的关系是不变的。

（2）妈妈与爸爸年龄的运用

师：妈妈比妹妹大30 岁，那妈妈年龄怎么表示呢？

生：妈妈的年龄是a＋30。

师：如果爸爸的年龄用b＋28表示，你知道了什么？

生：爸爸比哥哥大28 岁。

生：我还知道爸爸比妹妹大32 岁，比妈妈大2 岁。

生：爸爸的年龄还可以用a＋32 表示。

师：那当妹妹10 岁时，你知道家里其他三人的年龄吗？

生：哥哥14 岁，妈妈40 岁，爸爸42 岁。

师：当哥哥10 岁时呢？

生：妹妹6 岁，妈妈36 岁，爸爸38 岁。

（3）字母的取值范围

师：我们再来看看用字母和含有字母的式子表示的全家年龄，想想，这些字母可以是哪些数？

生：是自然数，不能是小数、负数。

生：我觉得有范围，人不可能活200 岁吧。

生：我觉得a 是大于0 小于150 的自然数，b 是大于4 小于154的自然数。因为人的寿命是有限的，我就定个150 吧，因为b－4 表示妹妹的年龄，所以b 要大于4。

师：看来用字母表示年龄，我们还要考虑范围才更加严谨。学到这，你有哪些新认识？

生：我知道字母可以表示数，而且有范围。

生：含有字母的式子可以看出年龄之间的关系。

生：用字母要比写文字的数量关系简洁多了。

2.倍数关系

师：来看看这个活动吧！

（出示摆小棒）

师：这里想表达什么？

生：摆1 个三角形用3 根小棒，摆2 个三角形用2×3 根小棒，摆3 个三角形用3×3 根小棒，摆4个三角形用4×3 根小棒。

生：可以看出三角形的个数×3 就等于小棒的根数。

生：反过来用小棒的根数÷3=三角形的个数。

师：就如这几位同学所说，这幅图蕴含着三角形个数和小棒根数之间的关系，记录下来就是这样的数量关系。现在，三角形的个数和小棒的根数之间的关系可以用字母来表示吗？想一想，在《作业单》中写一写。

师：（出示a×3 和b÷3）很多同学在表示三角形个数和小棒根数之间的关系时出现了这样的两种形式，你们看得懂吗？

生：我用的就是a×3 这种，a表示三角形的个数，小棒的根数就是a×3。

生：在b÷3 中，b 表示小棒的根数，三角形的个数就是b÷3。

师：为什么这个3 不用字母表示呢？

生：这个3 表示摆1 个三角形用3 根小棒，是确定的，不能用字母表示，字母表示的数是可以变化的。比如6 个三角形，小棒根数就是6×3=18 根。

生：就像哥哥和妹妹的年龄相差4 岁一样，不能用字母表示，不然就不知道小棒根数和三角形个数之间的关系了。

师：看来用字母表示数也不可以任意为之。想一想，这里的a和b 又可以是哪些数呢？

生：我觉得a 和b 只要是自然数就可以了。

生：我不同意，b 应该是3 的倍数。

师：谁听懂了？

生：在这个问题中，a 可以是任意的自然数，但b 一定是能除以3 除得尽的自然数。

师：你们同意吗？

生：同意。

3.关系对比

师：这是我们刚才学习的年龄问题和摆小棒问题，比一比，这两个问题有什么相同和不同之处。可以先小组里说一说。

生：年龄的问题和摆小棒的问题都可以用字母来表示，而且字母表示的都是变化的量，每个问题都有两种不同的表示方法，字母都是有范围的。

生：数量关系不同，但都可以用字母表示未知的数。可以是相差关系，也可以是倍数关系。

生：如果有无数种不同的结果，但数量关系是一样的，可以用字母的式子表示关系。

师：是的，用字母表示数可以使数量关系表达得更简洁、更概括。还有哪些情况也能用字母表示？

生：年龄问题就是相差多少的问题，比如我比他多带3 元这样的问题。摆三角形也可以摆正方形啊，这样就是新问题了。

师：把掌声送给他。

三、完善表达，体会严谨之美

1.问题中发现不足

出示问题：一本数学书x 元，2 本数学书多少元？

师：这个问题会解决吗？

生：用x×2，或者2×x。

生：也可以是x+x。

（教师根据学生的回答板书，特意将x 和×写得一样）

师：瞧，这个问题，不仅可以列成加法的式子，还可以列成乘法的式子。

生：老师，你将x 和×写一样了，看不清。

师：是吗？

生：在乘法里，如果是x×x，像你这样写，就变成三个×了，x 可以写得弯一点。

师：的确，在用字母表示数的过程中，就发生过这样的事，为了防止混淆，因而有了如下的规定。

师：发现这些规定中的共同点了吗？

生：我发现好像都只有乘法，没有加、减和除。

生：因为乘号和x 很像，所以只有乘法里有这个规定。

师：是的，规定都是在不断地总结中产生的。那看看黑板上，哪些可以根据规定进行化简？

生：2×x 和x×2 都要写成2x。

生：a×3 写成3a。

师：这两个为什么要写成2x和3a，而不写成x2 或a3？

生：我们可以根据第二条规定得到，数字要写在字母前。

2.公式中进行完善

（1）正方形的计算公式

（学生独立完成，教师巡视）

出示两份学生作品：C=a×4、S=a×a 和C=4a、S=a2。

师：我们来看这两位同学写的，你们有什么想说的吗？

生：我更赞同第二位同学的，根据刚才的规定，他进行了化简，第一位同学没有化简。

师：的确，我们再回顾一遍正方形的周长和面积公式吧！

（2）长方形的计算公式

师：长方形周长、面积公式可以化简吗？在《作业单》上写一写。

（学生写完后交流）

（3）其他公式规律的回忆

师：字母除了在长方形和正方形周长、面积公式中应用，还用在哪？

生：还在平行四边形、三角形、梯形的面积公式中用到了。平行四边形的面积是S=a×h，现在应该写成S=ah。

生：我们学习的运算律也用了，比如加法交换律是用字母表示的，a＋b=b＋a。

师：的确，字母简化了数学的表达。如路程=速度×时间（s=v×t），这些常见的数量关系也用字母表示。

3.运用中熟练内容

师：无论是公式还是规律，可以根据规定表达得更简洁。请大家简化一下这几道题吧！

4×b x×5 a×c

1×x x×x x+x

（学生完成后校对）

师：我们看后两道，x×x=x2，x＋x 可以写成2x，都有x 和2，表示的意思一样吗？

生：不一样，一个是乘，一个是加。

师：一语点破，所以大家在书写时，一定要注意数字的位置，在字母的前面和右上方表示的意思完全不同。

四、回顾反思，铺垫后续内容

1.知识回顾

师：同学们还记得关于韦达的一段文字介绍吗？现在再读一读，你有没有新的体会？

生：用字母表示数对数学学习很重要。

生：最后一句有了很多的数学发现，解决了很多数学问题，我也希望自己能解决很多问题。

师：文字表达是生硬的，但是感受才是真实的，老师为大家有新的感受而高兴。

2.知识铺垫

师：今天这节课我们一起研究了数学中的字母，感受到字母可以表示数，含有字母的式子可以表示数也可以表示数量关系，公式、规律中也有字母的身影。知识的学习就是从简单开始，明天我们将继续学习数学中的字母，不过会变得——

生：复杂。

出示问题：

师：敢接受挑战吗？同学们课后可以先进行研究，想一想如何用字母来表示。