经历一般化表达过程 驱动代数思维生长——《用字母表示数》教学（一）

文| 芮金芳

【教学内容】

苏教版五年级上册第99、100 页。

【教学过程】

一、激活经验，问题驱动

1.谈话引入

师：大家玩过扑克牌吗？这里J、Q、K 三张扑克牌分别表示什么？

生：J 表示11，Q 表示12，K表示13。

师：是的，扑克牌中的J、Q、K字母表示的都是确定的数。

2.生发问题

师：那字母还可以表示什么数？这节课我们一起来学习“用字母表示数”（板书课题），看到今天的课题你有什么问题吗？

生：为什么要用字母表示数？

生：怎样用字母表示数？

生：用字母表示什么数？

……

二、经历过程，感受一般化

1.操作思考

师：（边摆边提问）摆1 个三角形，要用几根小棒？

生：3 根小棒。

师：为了方便研究，我们可以用1×3 这样的式子表示。摆2 个三角形呢？

生：用6 根小棒，就是2×3 根。

师：如果继续摆下去，摆3 个、4 个，甚至更多三角形要用几根小棒？想一想，可以怎样表示三角形个数与小棒根数之间的关系呢？

2.方法交流

（教师收集、展示典型资源）

师：对这种表示有什么想说的？

生：我不赞同，它只表示摆1000 个三角形时的小棒根数，只能表示一种情况，没有把所有摆的情况都表示出来。

师：看来作品1 表示得不够全面，没有概括出所有的情况。

师：比较作品2 和作品3，它们有什么相同和不同的地方？

生：都用了“无数”这个词表示三角形个数。作品2 前后都用“无数”表示，看不出三角形个数和小棒根数之间的关系，而作品3用“无数×3”可以清楚地看出它们之间的关系。

师：这里的三角形个数和小棒根数之间究竟有怎样的关系？

生：小棒的根数等于三角形个数的3 倍。

师：你觉得用“无数×3”表示小棒根数有什么好处？

生：这样既能表示所用的小棒根数，还能表示摆的三角形个数和小棒根数之间的关系。

师：作品4 和作品5 都用字母来表示，作品4 你觉得可以用上面哪一种来解释？

生：它和作品2 的记录方式其实是一样的，一个用“无数”来表示，一个用字母来表示。

师：作品5 可以用上面哪一种来解释？

生：它和作品3 的记录方式是一样的，但比作品3 更简洁。

师：这两种都是用字母表示，你觉得哪一种更好？

生：作品5“n×3”表示得更好，不仅表示出小棒根数，还清楚看出它们之间的3 倍关系。

3.比较提升

师：回顾大家刚才表示的方法，有的用具体的数表示，有的用文字记录，有的用字母表示，你更欣赏哪一种？为什么？

生：我更喜欢n×3，既清楚又简洁，把所有情况都总结在里面了，很全面。

生：我认为作品3、作品5 是一样的，都概括出了三角形个数和小棒根数之间的关系，只是作品5 更简洁些。

师：说得真好！用简洁的n×3这个式子，既能表示小棒根数，又能表示三角形个数和小棒根数之间的数量关系，其中字母起了重要的作用。

4.建构意义

师：像这样含有字母、符号、数字的式子数学上称为 “含有字母的式子”。刚才小棒根数用“n×3”表示，这里的3 为什么不能用字母表示？

生：3 表示小棒根数总是三角形个数的3 倍，这个关系始终不变。

师：是的，摆的三角形个数不断变化，是不确定的，可以用字母来表示。而摆一个三角形要用3根小棒，这个量是固定不变的。

师：你觉得这里的n 可以表示哪些数？

生：n 可以表示1、2、3、4……这样任意的自然数。

师：那“n×3”可以表示什么？

生：n×3 可以表示1×3、2×3、3×3、4×3……所有情况。

师：像这样用字母或含有字母的式子表示，你觉得有什么好处？

生：用字母表示不仅简洁，还可以概括出所有的情况。

生：不仅能表示结果，还能清楚地表示数量之间的关系。

5.回顾反思

师：一起回顾刚才的学习过程，我们从用小棒摆三角形问题开始研究，为了清楚地表示三角形个数和小棒根数之间的关系，我们发现用字母表示数的方法能清楚简洁地概括出所有情况和它们之间的关系。一个神奇的字母帮助我们解决了一类问题。

三、变式拓展，丰富意义

1.情境启思

播放乔治喝牛奶动画视频。

师：乔治的一杯牛奶有250毫升，你知道乔治第一次喝掉多少毫升牛奶，还剩多少毫升吗？

生：不知道。

师：喝掉的和剩下的牛奶之间有什么关系？可以怎样表示呢？

（学生思考记录想法）

2.理解关系

作品：

师：观察这两位同学的表示方法，你更欣赏哪一种？为什么？

生：我赞同用“250－x”表示，它既可以表示剩下的结果，还能清楚地反映出喝掉的和剩下的牛奶之间的数量关系。

师：那喝掉的和剩下的牛奶之间有怎样的关系呢？

生：一共的毫升数－喝掉的毫升数=剩下的毫升数。

师：这里的x 可以表示哪些数？

生1：可以表示任意数。

生2：我觉得不能超过250，喝掉的不可能比总数还要多。

生3：x 表示0 和250 之间的任何数。

师：如果x=30，还剩多少毫升？

生：250－30，还剩220 毫升。

师：如果x=0，你想到什么？

生：表示乔治没有喝牛奶。

师：如果x=250 呢？

生：表示乔治把它喝完了。

师：看来用字母表示数，有时还有一定的范围。仔细观察，这里什么在变，什么不变？

生：喝掉的毫升数和剩下的毫升数都在变，但总量始终不变。

师：是的，这里喝掉的和剩下的两个量都在变，但它们数量之间的关系始终不变。只要确定了喝掉的x，那么剩下的250－x 也就确定了。

3.拓展延伸

师：乔治第二次喝了一大口，这次喝掉的可以怎样表示？

生：我用y 表示。这次喝掉的也不知道，所以用另一个字母表示。

师：分析得很有道理。在同一个问题中，出现两次不确定的量，应该用不同的字母来表示。

出示：250 毫升牛奶，乔治第一次喝掉x 毫升，第二次喝掉y毫升。一共喝掉（ ）毫升。还剩（ ）毫升。第一次比第二次少喝（ ）毫升。

师：你能解决这些问题吗？

生：一共喝掉x+y 毫升。还剩250－x－y 毫升。第一次比第二次少喝y－x 毫升。

师：为什么思考得这么快？

生：只要根据数量关系，用字母代替其中的数就能很快解决问题。

四、简化写法，深化理解

1.用字母表示计算公式

师：在以前的学习中，我们哪里用到过字母表示数的情况？

生：学习运算律时。

生：学习长正方形的周长、面积时用过。

师：填一填、想一想可以怎样表示正方形周长和面积的计算方法？

正方形边长/cm 1 2 3 4 5 ……正方形周长/cm正方形面积/cm2

师：用a 表示正方形的边长，C 表示周长，S 表示面积。你会用含有字母的式子表示正方形的周长和面积计算公式吗？

生：C=a×4，S=a×a。

师：与原来的文字公式相比，你有什么感受？

生：用字母公式表示更简洁。

2.自主学习简写规则

出示简写规则，学生自主阅读学习，并尝试化简。

简写规则 我会化简字母和字母相乘时乘号可以写作“·”，或者省略不写。如a×b=a·b=ab。两个相同字母相乘，比如a×a，可以写成a·a，也可写成a2，读作“a 的平方”。字母和数相乘时乘号可以写作“·”或者省略不写。在省略乘号的时候，数要写在字母的前面。如a×3=3·a=3a，4×x=4·x=4x。字母和1 相乘，1 可以省略，如：a×1=a。4×b（）x×5（）a×c（）1×x（）x×x（）x+x（）

师：根据这些简写规则，你是怎样化简的？它们分别符合哪条简写规则？

（学生交流辨析）

师：比较x2和2x 有什么不同？

生：x2表示两个x 相乘，而2x表示两个x 相加，它们表示的意义不同。

师：有了这些简写规则，回顾刚才我们发现的一些含有字母的式子，可以化简吗？

生：小棒的根数a×3 可以化简为3a。

生：正方形周长公式表示为C=4a，正方形面积公式表示为S=a2。

3.用字母表示运算律

师：说一说我们学过哪些运算律？再用含有字母的式子表示出来。

（学生独立思考尝试表示，集体交流）

师：这里的字母能表示哪些数？

生：可以表示整数、小数、分数。

师：你觉得用字母表示计算公式和运算律有什么好处？

生：更方便简洁，便于记忆。

五、拓展应用，完善结构

1.回顾提升

师：回顾整节课学习你有什么收获体会？

生：用字母表示数它不仅能表达数量，还能表达它们之间的数量关系。

生：用字母表示数可以把一类问题概括表示出来，很简洁。

……

2.建构模型

师：带着今天的学习收获，看这里的a 表示什么意思？5a 呢？

生：a 表示一本字典的价格，5a 表示5 本字典的总价。

师：现在的a 可以表示什么？5a 呢？

生：a 可以表示一本字典的页数，5a 就表示5 本字典的总页数。

生：a 可以表示一本字典的厚度，5a 就表示5 本字典的总厚度。

生：a 可以表示一本字典的重量，5a 就表示5 本字典的总重量。

……

师：现在你觉得a 可以表示什么？5a 呢？

（学生举例略）

师：根据大家刚才的介绍，你有什么发现？

生：只要这两个量之间有这样5 倍的关系，都可以用5a 来表示。

师：是的，以前我们研究的都是一个算式对应着一个具体的问题，而今天我们用含有字母的式子可以表示一组具有相同数量关系结构的一类问题，这是很大的变化，也给我们的数学学习带来了很大的便捷。

六、课外链接，文化浸润

师：今天我们共同学习了“用字母表示数”，用数学的眼光看这个课题，还能更简洁地概括吗？

生：字母换数。

生：字母代数。

师：概括得真好！从今天起我们开启了数学学习的一个全新领域——“代数”。我们一起来了解一下“代数”的历史发展历程。

（视频介绍，略）

师：听完这则资料介绍，你有什么感受？

生：代数的研究经历了漫长的历史过程。

生：数学家们真了不起！

……

师：最后把德国著名天文学家、物理学家、数学家开普勒的一句话送给大家：“数学是研究千变万化中不变的关系。”希望大家带着这样的数学眼光继续打开 “代数”学习的这扇知识大门。