重构单元框架 深化整体教学——以《多边形面积》单元整体教学为例

文| 丁 伟

一、研究起源

《义务教育数学课程标准（2022 年版）》首次提出并强调对数学内容进行结构化整合以解决碎片化学习问题。数学内容整合的内在逻辑是什么？具体该怎么整合？整合之后的教学路径又是怎样的？基于对这些问题的思考，本文以《多边形面积》单元为研究载体，通过对学科逻辑和学生学情的深度思考，整体重构单元框架，系统实施教学路径，促进度量思想的立体建构，优化面积度量的结构化教学策略，力图让学生在多边形面积度量这一领域形成结构化思维。

二、追本溯源——整体重构单元框架

人教版五年级上册第六单元《多边形面积》的编排顺序依次是：平行四边形面积、三角形面积、梯形面积、组合图形面积、不规则图形面积。在此之前学生已经学过长方形面积，在长方形中，长表示每行面积单位的个数，宽表示有这样的几行，因此可以得到长方形面积＝长×宽。长方形的面积是基础，体现出度量思想最本源的意义，其他图形的面积公式都是转化成长方形进行推导的。

面对平行四边形时，不能像长方形那样直接确定度量单位的个数，而是需要将不完整的面积单位转化成完整的面积单位，本质上也是确定面积单位的个数。利用方格纸作为度量工具，为思维发展提供有效支撑，形成由零碎归整到整体再归整到抽象的转化过程。

而到了三角形和梯形时，教材完全脱离了方格纸，三角形面积、梯形面积是通过割补法、倍积变换，通过计算转化后图形的面积推导原图形的面积公式。

基于这三种图形面积学习路径的相似性，将这三种图形面积教学有效整合，用度量的思想建构新知，无疑会大大增加整体认知。

对单元内容进行整合如下表：

整合前 课时 整合后 课时 类型平行四边形面积 2 用平移解决问题 1 教结构三角形面积 2平行四边形面积三角形面积梯形面积1 用结构梯形面积 2 面积公式的应用与练习 2 用结构组合图形面积 1 组合图形面积 1 用结构不规则图形面积 1 不规则图形面积 1 拓展结构

单元重构的思路：以度量思想为主线贯穿，以方格纸为度量工具，在运用转化方法的过程中理解知识本质，不断深化度量思想，理法相容、螺旋上升。

三、基于结构系统实施——立体建构度量思想

（一）教结构——助力度量思想萌芽

【教学片断】

1.任务驱动

你有办法知道下面这个图形的面积吗？

2.交流反馈

3.对比质疑

（1）第三种方法转化成什么图形？怎样转化的？

（2）转化前后两个图形面积大小变了吗？周长有没有变呢？

（3）为什么转化前后两个图形面积大小不变而周长却变了呢？

从本质上讲，平面图形面积的度量是通过转化实现的，而“转化”是因为二维空间度量中出现的问题，也就是被测图形与度量单位不能吻合，转化的目的是为了更好地度量，所以归根结底是度量思想的孕育与落实，而转化是实现度量思想的一种具体策略与方法。因此，本单元的起始课笔者将四年级下册用平移解决问题迁移至本单元设计了上述教学路径：本节课定位于教结构——将学生置于具体的操作活动中感悟转化策略的价值，着力渗透度量思想。上述三种反馈具有典型性和代表性，第一幅图是面积度量最本源的意义，反馈层次的递进实质上也是度量方法不断优化的过程，其中蕴含着度量的三要素：度量对象（不规则图形）、度量途径（平移）、度量目标（长方形），度量思想在学生具体的操作中无形渗透，度量意识在学生心中萌芽。

（二）用结构——助力度量思想生长

【教学片断】

1.自主探究

你有什么办法知道下面图形的面积吗？

2.交流反馈

（1）数方格度量

（2）等积变换度量

（3）翻倍度量

3.厘清内涵

师：不管度量的方式是数方格还是等积变换或者翻倍度量，你发现相同的地方是什么？

生：都是在计算度量单位的个数。

师：这些方法分别怎样计算度量单位的个数？

在学习了平移解决问题后，学生进一步明确度量的本质是计算面积单位的个数，其中方格纸发挥了将图形分割后不完整的面积单位转化为完整面积单位的作用。教材的编排不仅一个图形一课时，而且在编排三角形和梯形面积时舍弃了方格纸，目的是培养学生的空间观念，而实际教学却出现学生转化方法单一，思维被整齐划一地切割。基于学生前面学习了平移解决问题，以方格纸为工具，可以将三节课整合教学以更高效地构建学生的认知结构。通过课堂实践反映出来的学生作品表明，研究三角形会主动与长方形、平行四边形建立联系，研究梯形会主动与三角形、平行四边形、长方形建立联系。在这些图形转化后，引导学生再次意识到三种不同图形转化都是还原完整的面积单位，为了方便计算面积单位的个数。整个研究过程，学生借助方格纸将三角形、梯形转化成其他图形，这样结构化的整体性教学，将学生置于更大的认知背景下深入感悟度量价值，培养度量思想。

（三）拓展结构——助力度量思想发散

面对规则图形，学生找到了使用方格纸的巧妙方法，而不规则图形的面积只能估算出它的面积，估算最重要的是为估算的事物找到一个合适的测量标准，然后利用这个测量标准进行估计。而学生在面对不规则图形面积时，具体表现出两种度量形式：一是借助方格纸直接数；二是创设更小的度量单位。学生在研究中体会不同面积单位的产生源于测量不同大小图形面积的实际需要，度量单位之所以发生变化，是因为度量对象的变化。进一步梳通知识内在结构，度量时间、重量、长度、面积，之所以度量单位不同，就是因为度量对象的变化，不仅让知识更好地融会贯通，度量思想也通过具体的知识建构得到进一步发散，后续的度量教学才能顺利得以发展高阶思维。

四、深化结构教学——知识系统化走向思维结构化

通过结构化教学，帮助学生建立清晰的知识结构及获得知识的方法结构，发展具有系统性、本质性、迁移性的思维，最终实现由知识系统化走向思维结构化。

（一）知识系统化——结构化教学内容载体

数学知识具有很强的内在逻辑，是有整体、系统、结构性的。教材的分册编写和教学的分课时推进在一定程度上让整体性变得“断裂”和“隐蔽”，导致学生的理解“散点化”与“割裂化”。因此，在教学中需要帮助学生梳理知识体系，揭示内在的逻辑与关联，真正建立整体性的概念体系。

面积度量领域教材的编排是按照逻辑结构，在学生认识面积概念后学习长、正方形面积，然后依次是平行四边形面积、三角形面积、梯形面积、圆的面积。但仅仅看到这样线性单向的逻辑结构是不够的，而需要从更为广泛的角度解释概念之间的相互联系，在多向的视角下形成网状的知识结构，从而真正建立起整体性的概念体系。

（二）教学结构化——结构化思维建构路径

1.整体呈现——培养系统性思维

整体性呈现问题，将问题置于比较情境之中，学生对数学问题主动辨析、比较，体会知识之间的联系，从而将相关知识点能动地纳入原有的认知结构中。但整体性呈现问题时，需要教师从知识整体上把握各个知识点，熟悉知识点的源与流。如在学习长、正方形面积后，我们需要将面积计算与周长计算整体性呈现问题：（1）为什么两个长度相乘，会得出面积？（2）通过计算长方形的面积与周长，你发现了什么？第一个问题看上去是由一维的长度跨越到二维的面积，而实际上是对度量本质的叩问，明白面积并不是两个长度相乘，而是度量单位个数的累加。有了这样的认识后，将周长与面积进行全面对比，引导学生认识到不管周长的度量还是面积的度量，其实质是度量单位个数的累加，而乘法计算只是对算法的优化。虽然度量的对象由长度过渡到面积，但度量的本质是一脉相承的，有助于学生形成整体性思维。

2.追本求源——深化本质性思维

数学结构化教学不仅要遵循数学知识本身的逻辑，而且要顺应学生的认知规律，引导学生对知识点追本溯源，对知识点之间的关系有本质性的理解，对知识点的动态发生、发展、融合有所领悟。例如在教学平行四边形面积、三角形面积、梯形面积后,可以将这些面积的度量与长方形面积度量建立联系，通过追问长方形、平行四边形、三角形、梯形面积计算公式是怎么计数面积单位的？引导学生明白长方形的度量是体现度量的本源意义，而其他这些图形都是通过转化策略进行度量，虽然转化的方式方法不尽相同，但是转化的目的都是将不完整的面积单位进行归整的过程，归根究底多边形面积度量体现的是度量思想，转化是实现度量思想的具体策略与方法，只有理清了知识的本源，才能真正帮助学生形成本质性思维。

3.类比推理——发展迁移性思维

结构化不仅表现在对数学知识本质的理解，而且体现在能够主动运用类比的方法进行逻辑推理，即需要具有迁移性思维。就“度量领域”的教学中，长度单位是学生最早接触的，也是最基本的，具有种子特质，而其他的度量（重量、时间、角度、面积、体积）的内在原理与长度是一致的，都是满足度量的两个基本属性：“度”——度量单位，“量”——度量单位的个数。这是从计量的角度思考的，那么计数与计量在本质上是否一脉相承，助力学生迁移性思维的发展呢？在数领域教学中，整数、小数、分数三种数可以通过计数单位的联结，使小数、分数概念纳入到原有整数认知体系。虽然计数与计量的对象不同，但是本质上都是用计量标准去度量出结果，所以计数与计量在本源上是一脉相承的，从而将计数与计量纳入到度量这个大观念，形成一个更完整的知识结构全景图，助力学生迁移性思维的发展。

结构化教学要求教师基于整体、系统、全局的视野将相关知识串起来，努力突破课时、单元、年级的逻辑束缚，将每堂课的知识置于整体知识的体系中，通过结构化的长程设计：教结构—孕育思想、用结构—发展思维、拓展结构—发散思维。只有这样对结构化教学内容的深度解读与处理，才能实现结构化教学的价值追求，真正将结构化思维的培养落到实处，最终由知识系统化向思维结构化迈进。