夯实基础知识，落实立德树人

佟俊姬

摘 要： 2023年高考数学全国乙卷时代特色鲜明，体现了高考的继承与发展、稳定与创新、基础与思维、知识与能力等之间的密切关系.整套试题注重对数学基础本质的考查，综合中学数学的知识、思想、方法和能力的各项要求，有效贯彻了课标理念，积极平稳地推进了中学教学改革.

关键词： 高考；数学；基础知识；立德树人

2023年高考数学已经落下帷幕，乙卷数学命题全面贯彻党的教育方针，坚持“立德树人”，为华育人，突出数学学科智育属性，体现时代德育特征.该试卷是目前使用省份最多的一份试卷，主要包括河南、安徽、江西、山西、陕西、内蒙古、新疆、宁夏、吉林、黑龙江、青海、甘肃等12个省份，也是目前试卷考查与使用考生最多的数学试卷之一，影响力大.

2023年高考数学乙卷整套试卷的难度系数和数学思维量等方面，比起2022年高考数学乙卷有所变化，而且降低幅度很大，但依然突出数学核心素养和数学思想，体现出知识的基础性，思维的发散性，明确体现出分类讨论思想及数形结合思想等学生学科核心思想.

1 夯实基础能力，关注数学本质

2023年高考数学乙卷通篇难易安排分布合理，选择题前8题或者前9题，填空题前3道，解答题前2道，以及第19题，第20题，第21题的第一小问都是常规题目，难度上都进行了合理控制，体现了数学学科知识本质的基础性，其中高中数学知识的四条主线，特征鲜明，如解析几何模块知识的考查占32分，立体几何模块知识的考查占22分，函数与导数模块知识的考查占22分，数学建模+概率与统计模块知识的考查占17分等.而文、理科分别偏向于数列（文科）、解三角形（理科）等知识点的侧重考查与应用，体现文、理科之间的区别.

例1   （2023年高考数学全国乙卷文科·11） ：已知实数x，y满足x2+y2-4x-2y-4=0，则x-y的最大值是（  ）

A.  1+ 3 2  2

B.  4

C.  1+3 2

D.  7

分析：  以熟知的直线与圆的位置关系场景，改变创设形式，通过代数式的最值来合理设置，熟悉中带有“陌生”感，形成一个全新的场景设置.

解析：  由x2+y2-4x-2y-4=0配方可得（x-2）2+（y-1）2=9，

则圆心C（2，1），半径r=3，

设x-y=k，则圆心C（2，1）到直线x-y=k的距离d= |2-1-k|  1+1  = |1-k|  2  ≤r=3，

即|k-1|≤3 2 ，解得1-3 2 ≤k≤1+3 2 ，

所以x-y的最大值是1+3 2 ，故选择答案： C .

点评：  结合所求代数式的整体思维与应用，引入参数，将问题转化为直线与圆的位置关系问题，利用点到直线的距离公式构建相应的不等式来分析与求解.问题比较基础，考查了基础能力及其应用.当然还可以通过整体思维，借助方程的转化，利用判别式法来分析与求解；也可以通过三角换元，将问题转化为三角函数的图象与性质方面来处理，都可以很好实现目标.

2 试题命制创新，巧妙交汇融合

2023年高考数学乙卷整套试题虽说不是很难，但题目比较新颖创新，一部分题目的交汇融合性好，综合性很强，如第10题数列题是与函数相互综合，第12题可以是平面向量与平面几何或者平面解析几何的结合，体现跨章节整合能力和知识的应用能力；又如第22题中的导数及其应用第二小问，解答非常创新，需要观察函数的定义域进行探路后，再来分析与解决问题；又如第16题，考查对于导数及其应用的本质理解，需要对函数进行细致入微地分析，注重数学基础知识的本质，有一定的思维量.

例2   （2023年高考数学全国乙卷理科·10） ：已知等差数列{a n}的公差为 2 π  3 ，集合S={ cos  a n |n∈ N *}，若S={a，b}，则ab=（  ）

A.  -1

B.  - 1 2

C.  0

D.   1 2

分析：  以集合为问题背景，通过集合中元素的个数来求解两元素积的值.而此时巧妙渗透等差数列的概念与通项公式，三角函数的关系式与周期等相关的概念与基础知识，可以形成“不同知识点的交汇”.

解析：  依题知，a n=a 1+（n-1）· 2 π  3 ，則有 cos  a n= cos    2 π  3 n+a 1- 2 π  3  ，

则数列{ cos  a n}的周期为T= 2 π   2 π  3  =3，

而集合S={a，b}中仅含两个元素，则 cos  a 1， cos  a 2， cos  a 3中必有两个相等，

不失一般性，不妨设 cos  a 1= cos  a 2，则有 cos  a 1= cos   a 1+ 2 π  3  ，

可得a 1+ 2 π  3 =-a 1+2k π ，k∈ Z ，即a 1=-  π  3 +k π ，k∈ Z ，

取特殊值a 1=-  π  3 ，可得 cos  a 1= cos   -  π  3  = 1 2 ， cos  a 2= cos   -  π  3 + 2 π  3  = 1 2 ， cos  a 3= cos   -  π  3 + 2 π  3 ×2 =-1，此时S=  1 2 ，-1 ，

则知ab= 1 2 ×（-1）=- 1 2 ，故选择答案： B .

点评：  此题巧妙设置中等难度的题型，合理融合了集合、数列、三角函数等相关知识，设计非常创新新颖，通过创设不同知识点之间的“无缝”链接，实现不同知识点之间的交汇与融合，在同一个问题中实现不同基础知识点之间的碰撞，产生闪亮的火花，是创新应用与创新意识的一大体现.

3 注重核心思想，开拓数学思维

2023年高考数学乙卷对于核心思想考查依旧非常突出，如第8题考查空间想象能力，第11题与第12题都侧重于考查数形结合能力等，第16题考查化归与转化思想与能力，第17题考查建模与实际应用能力，第20题突出考查计算能力，第21题突出观察能力与分析能力等.因此想要取得好成绩，不仅仅只是埋头刷题，更要勤于反思，善于总结，长于观察，强于数学计算，这样才能更好把握数学基础知识的本质，全面开拓数学思维与技巧方法.

例3   （2023年高考数学全国乙卷理科·16） ：设a∈（0，1），若函数f（x）=ax+（1+a）x在（0，+∞）上单调递增，则a的取值范围是      .

分析：  通过设置含参的指数型函数，结合函数的单调性来确定对应参数的取值范围问题.破解问题的关键就是合理的化归与转化，将陌生的问题转化为熟知的模型来分析与处理，实现问题的破解.

解析：  依题意，函数f（x）=ax+（1+a）x在（0，+∞）上单调递增，

可得f ′（x）=ax ln  a+（1+a）x ln  （1+a）＞0（*）在（0，+∞）上恒成立，

令函数g（x）=ax ln  a+（1+a）x ln  （1+a），可得g′（x）=ax ln  2a+（1+a）x ln  2（1+a）＞0，

故导函数f ′（x）在（0，+∞）上单调递增，此时以上不等式（*）恒成立，

则f ′（0）= ln  a+ ln  （1+a）≥0，即 ln  ［a（1+a）］ ≥0，亦即a（1+a）≥1，

结合a∈（0，1），解得  5 -1 2 ≤a＜1，即a的取值范圍是   5 -1 2 ，1 ，故填答案：   5 -1 2 ，1 .

点评：  此题以指数型函数为问题背景，借助函数在给定区间的单调性来确定对应参数的取值范围问题.破解问题的关键就是借助导数及其应用，通过确定导函数在对应区间上不等式恒成立，引入构建新函数，结合新函数的单调性的化归与转化，并结合单调性与最值的确定来构建不等式，从而实现参数的取值范围的求解.化归与转化思想的应用是解决此类问题的关键.

4 加强教考衔接，增强导向作用

2023年高考数学乙卷试题按照高中课程标准命题，突出数学主干知识，层次上与课程标准一致，题目上追求新颖，稳中求变，反对死记硬背和机械刷题，反套路，注重数学基础知识本质和数学基础思想方法，启示教师提升数学课堂教学质量，引导学生全方位的动手动脑，让学生在课堂上有获得感和成就感，真正有效衔接起教学与改革的对接，增加教学与学习的导向作用.

例4   （2023年高考数学全国乙卷理科·4；文科·5） ：已知f（x）= xex eax-1 是偶函数，则a=（  ）

A.  -2

B.  -1

C.  1

D.  2

分析：  以基本的形式来设置函数的奇偶性，进而确定参数值问题.最基本的方法就是特殊值代入与验证，而定义法的应用是解决问题的最基本的技巧与方法.无论应用哪种方法，都应给考生更多的切入点与创设更多的机会.

解析：  依题知，f（x）是偶函数，根据偶函数的定义，

可知对任意的x≠0，都满足f（-x）=f（x），

则有f（-x）= -xe-x e-ax-1 = - x ex   1 eax -1 = -xeax-x 1-eax = xeax-x eax-1 =f（x），对比系数可知，a-1=1，

解得a=2，故选择答案： D .

点评：  抓住含参函数是偶函数的性质，借助偶函数的定义f（-x）=f（x），综合幂运算来转化与应用.而在具体解题时，还可以通过取特殊值来验证达到目的，如f（-1）=f（1），注意对所求解的参数值进行合理的取舍；还可以利用导数法来尝试与应用，通过研究f ′（x）是奇函数来达到目的.

2023年高考数学乙卷命题整体布局，坚持“立德树人”，坚持为华铸魂.习近平总书记多次在公开场合或会议上强调要加强基础性学科培养，如数学，物理，化学等基础学科，创新是一个民族的生命力，国家科技创新力的根本源泉在于人.

十年树木，百年树人.要把教育摆在更加重要位置，全面提高教育质量，特别注重培养学生创新意识和创新能力.而2023年高考数学乙卷试题则有着重要引领示范作用，整套试卷稳中求新，难易安排有度，让扎扎实实学过来的孩子有回报感，让有天赋的孩子也能够获得与别人对比的自豪感，反套路，反刷题，重在“四基”与核心素养的考查与应用.这也将对高中数学教学与学习起到非常积极的引导作用，发挥指挥棒的功能.

参考文献：

［1］ 刘海涛，万胜.探析高考真题，明晰备考方向——对2023年全国乙卷数学试题的评析［J］.高中数理化，2023（13）：7 10.

［2］ 教育部教育考试院.深入考查基础知识和能力助力人才选拔和“双减”落地——2023年高考数学全国卷试题评析［J］.中国考试，2023（7）：15 21.