利用 Dandelin 双球探究椭圆的性质

芮强 张萍

摘 要： 利用 Dandelin 双球探究椭圆的性质，如离心率、短轴、准线，让学生感受到这个模型解决问题的巧妙，以此培养学生的数学核心素养.

关键词：  Dandelin 双球；椭圆性质；解决问题

1 引言

人教 A 版《数学（选择性必修第一册）》中的第三章《圆锥曲线的方程》给出了“用一个不垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，当圆锥的轴与截面所成的角不同时，可以得到不同的截口曲线，它们分别是椭圆、抛物线和双曲线.”［1］苏教版《数学（选择2 1）》2.1节圆锥曲线也提出了“用平面截圆锥面还能得到哪些曲线？ 这些曲线具有哪些几何特征？”［2］ 历史上， Dandelin， G. P 出生于法国巴黎，是比利时科学院院士，他于1822年首次提出并证明了上述命题. ［3］   Dandelin 利用同时和圆锥侧面和截面都相切的两个球来推导出椭圆、双曲线、抛物线的定义，这两个球就称为“ Dandelin 双球”.

《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》提出“整体把握教学内容，促进数学学科核心素养连续性和阶段性发展”的教学建议［4］，提倡“大单元教学”.很多《圆锥曲线》的大单元教学设计都是以平面截圆锥为背景引出圆锥曲线，利用 Dandelin 双球得到椭圆的定义，但往往止步于此.

笔者借助于 Geogebra 软件，利用 Dandelin 双球研究了椭圆的相关性质，比如离心率、短轴、准线，而双曲线和抛物线的性质可以通过类比得到，本文不再赘述.

2 利用 Dandelin 双球探究椭圆的性质

2.1 离心率

探究1.1：   如图1.1.1所示，圆锥的轴截面的半顶角

（即圆锥的母线与轴的形成的角）为α 0＜α＜  π  2   ， 在圆锥内放半径分别为r、R（R＞r）的两个球与圆锥的侧面、截面相切，两个球分别与截面相切于点F 1，F 2，则求所得的截口曲线（截面与圆锥侧面的交线）的离心率.

解析 ：在截口曲线上任取一点P，过P作圆锥的母线，分别与两个球相切于点E、F，由相切的几何性质可知，PE=PF 1，PF=PF 2，PE+PF=PF 1+PF 2=EF，为椭圆的定义. 如图1.2，设两球的球心分别为O 1、O 2，圆锥顶点为A，取两球与圆锥同一母线上的切点B、C，连接O 1B、O 2C、O 1F 1、O 2F 2，连接O 2A交F 1F 2于M，设∠CAO 2=α，两个球的半径分别为r、R.

由题意可知， tan  α= r AB = R AC ，BC=AC-AB= R-r  tan  α ，

sin  α= r AO 1 = R AO 2 ，O 1O 2=AO 2-AO 1= R-r  sin  α ，

又  r R = O 1M O 2M ，

O 1M+O 2M=O 1O 2， 解得 O 1M= r  sin  α · R-r R+r ，

O 2M= R  sin  α · R-r R+r ，

在直角△O 1F 1M和△O 2F 2M中，

MF 2= O 2M2-R2 =   R  sin  α · R-r R+r  2-R2 = R  sin  α    R-r R+r  2- sin 2 α ，MF 1= r  sin  α    R-r R+r  2- sin 2 α  ，

则MF 1+MF 2= 1  sin  α  （R-r）2-（R+r）2 sin 2 α ，

故該椭圆的离心率e= c a = MF 1+MF 2 BC = 1  cos  α · 1- sin 2 α  R+r R-r  2 .（1）

探究1.2：  如图1.2所示，圆锥的轴截面的半顶角为α 0＜α＜  π  2  ，截面与圆锥的轴形成的角为β 0＜β＜  π  2  ，求截口曲线的离心率.

解： 不妨设β＞α，在直角△O 2F 2M中，∠F 2MO 2=β，

tan  β= R MF 2 = R  R  sin  α    R-r R+r  2- sin 2 α  ，

化简，得  R-r R+r  2= sin 2 α+  sin 2 α  tan 2 β =  sin 2 α  sin 2 β  ，代入上式（1），

所以离心率e= 1  cos  α · 1- sin 2 α  R+r R-r  2 = 1  cos  α · 1- sin 2 α  sin 2 β  sin 2 α  =  cos  β  cos  α .

由此可以得到：当β＞α ，截口曲线为椭圆；当β=α，截口曲线线为抛物线；当β＜α，截口曲线为双曲线.

探究1.3：  如图1.3.1所示，圆柱的半径为r ，截面与圆柱的轴形成的角为β 0＜β＜  π  2  ，在圆柱内放半径为r的两个球与圆柱的侧面、截面相切，两个球分别与截面相切于点F 1，F 2，求截口曲线的离心率.

解析： 在截面曲线上任取一点P，过P作圆柱的母线，分别与两个球相切于点B、F，由相切的几何性质可知，PB=PF 1，PF=PF 2，PB+PF=PF 1+PF 2=EF，为椭圆的定义 .设两球的球心分别为O 1、O 2，取两球与圆柱同一母线上的切点B、E，连接O 1F 1、O 2F 2，连接O 1O 2交F 1F 2于M，连接F 1F 2交椭圆于C、D，连接BE交椭圆于点P，可知∠O 1MF 1=β，两个球的半径为r. 由题意可知PB=PF 1，PE=PF 2，PB+PE=PF 1+PF 2=BE=O 1O 2=2a=CD，可知 Rt △O 1MF 1≌ Rt △O 2MF 2，则 MO 1=MO 2，a= 1 2 O 1O 2=MO 1 ，c=MF 1=MO 1· cos  β=a· cos  β ，所以该椭圆的离心率是e= cos  β .又MO 12-MF2  1=a2-c2=r2=b2，该椭圆的半短轴长为球的半径.

2.2 短轴

探究2：  如图2.1所示，在圆锥内放半径分别为r、R（R＞r）的两个球与圆锥的侧面、截面相切，两个球分别与截面相切于点F 1，F 2，则求截口曲线为椭圆的半短轴长.

解析 ：由题可知EO 1，EO 2 分别是∠BEF，∠CEF的角平分线，则∠O 1EF+∠O 2EF=  π  2 ，所以 Rt △EF 2O 2∽ Rt △O 1F 1E，则 EF 1 O 2F 2 = O 1F 1 EF 2 ，设椭圆长半轴为a，半焦距长为c，则 a+c R = r a-c ，即Rr=a2-c2=b2，即椭圆的半短轴长为两个球的半径的等比中项.

2.3 准线

探究3：  如图3.1所示，圆锥的轴截面的半顶角（即圆锥的母线与轴的形成的角）为α 0＜α＜  π  2  ，截面与圆锥的轴形成的角为β 0＜β＜  π  2  ，求截口曲线为椭圆的准线.

解析 ：如图3.1，设上面的 Dandelin 球与圆锥的交线为圆S，记圆S所在的平面 π 为与截面 π ′的交线为l.在椭圆上任取一点P，连接PF 1.在截面 π ′中过点P做l的垂线，垂足为B.过P平面 π 的垂线，垂足为D，连接BD，则BD是PB在平面 π 上的投影.

易证∠PBD是平面 π 为与截面 π ′所成的二面角的平面角，且∠PBD=β，在 Rt △PBD中，PD=PB· cos  β.（2）

过P的母线与圆S交于点C，

则在 Rt △PCD中，∠CPD=α，PD=PC· cos  α=PF 1· cos  α，（3）

所以PD=PB· cos  β=PF 1· cos  α， PF 1 PB =  cos  β  cos  α ，

由探究1.2可知， PF 1 PB =  cos  β  cos  α =e，即l为椭圆的准线.

4 应用

4.1  一个半径为r的球放在桌面上，有一个点光源A，点光源形成的圆锥的轴截面的半顶角为α 0＜α＜  π  2  ，点光源A与球心的连线与桌面的夹角为β 0＜β＜  π  2  ，则球在桌面上的投影是什么形状？离心率是多少？

解析 ：由探究1.2可知，球在桌面上的投影是椭圆，离心率为e=  cos  β  cos  α .

4.2  一个半径为r的球放在桌面上，一束平行光线与桌面成β 0＜β＜  π  2  ，则球在桌面上的投影是什么形状？离心率是多少？

解析 ：由探究1.3可知，投影是椭圆，离心率是e= cos  β，可见离心率与球的半径无关.

3 结束语

利用 Dandelin 双球探究椭圆的性质，这就是一个“好的问题”. 一方面让学生感受到利用 Dandelin 双球这个数学模型解决问题的巧妙和简洁，另一方面也让学生感受到数学发现的不易.正如数学课程标准（2017年版2020年修订）所提倡的“数学学科核心素养是在数学学习和应用的过程中逐步形成和发展的”，我们要用好的问题“引導学生感悟数学的科学价值、应用价值、文化价值和审美价值.”［5］

参考文献：

［1］ 人民教育出版社课程教材研究所.普通高中教科书A版数学选择性必修第一册［M］.北京：人民教育出版社，2020.

［2］ 单墫.普通高中课程标准实验教科书数学选修2 1［M］. 南京：江苏凤凰教育出版社，2012.

［3］ 《数学辞海》编辑委员会．数学辞海（第六卷）［M］.太原：山西教育出版社，2002.

［4］［5］ 中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）［M］.北京：人民教育出版社，2020.

［6］ 昌明.Dandelin双球之问［J］.数学通报，2018，57（2）.