基于“U型学习”方式的高三数学复习课教学设计

【摘 要】新高考以“价值引领、素养导向、能力为重、知识为基”为命题理念，在高三数学复习课中，教师精心设计数学探究活动，开展探究式教学，可以有效提升学生的“四基”“四能”.基于“U型学习”方式，对一道“分层随机抽样样本方差”试题的求解公式作探究式教学设计，揭示了高三数学复习课的有效路径和复习范式.

【关键词】“U型学习”；高三数学；复习范式；探究式教学

新高考以“价值引领、素养导向、能力为重、知识为基”为命题理念，通过设置促使考生进行探究活动的“复杂的生活情境或学习探索情境”［1］的试题，反映其必备知识、迁移能力、思维品质和学科素养.因此，在高三数学复习课中，教师要精心设计数学探究活动，开展探究式教学，倡导通过独立思考、自主学习、阅读自学、操作实践、问题探究、合作交流等多种学习方式，以达到提升学生“四基”（基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验）“四能”（发现、提出、分析、解决问题的能力）的目的.深度教学“U型學习”理念为实现这一目标提供了坚实理论基础，其主张学生学习过程经历“还原—理解—探究—体验—反思”的深度学习曲线［2］.凸显在教师的引领下、在挑战性的进阶学习任务（活动）中学生的主体地位，强调理解、高阶学习，注重探索性、自主性及教育的育人价值.笔者以2022年12月19日“2023届广州市高三年级调研测试”中一道“分层随机抽样样本方差”试题的解法推广探究教学为例，以发展和提升学生“四基”“四能”为目标，基于深度教学“U型学习”方式设计了试题探究的教学方案，供同行讨论.

1 教学立意与探究问题

基于深度教学“U型学习”方式的教学立意，教学过程大致经历“下沉—探底—上浮”三个阶段，对应的教学环节分别是“情境与问题—探究与合作—应用与迁移—总结与反思”.其中，“下沉”亦即“还原阶段”：将新授知识还原到学生的认知起点，与实际生活或学生实际建立联系，促进理解；“探底”亦即“探究阶段”：包含问题探究与应用迁移；“上浮”亦即“反思阶段”：即强化学习的反思、感悟，进行提炼总结，形成能力，发展素养.

探究式教学，教师首先要为学生确定“依标靠本”、导向正确的探究问题.探究问题要以课标要求、链接现行教材为基本原则，要有问题解决的迫切性和挑战性，大小适度；能为学生提供自由表达、质疑探究、讨论问题的机会，让学生通过个人、小组、集体等多种解难释疑的尝试活动来解决实际问题，从而提升能力，发展学科素养［3］.

本节课探究问题为如下考题：考题 （“2023届广州市高三年级调研测试”第6题）

为调查某地区中学生每天睡眠时间，采用样本量比例分配的分层随机抽样，现抽取初中生800人，其每天睡眠时间均值为9小时，方差为1，抽取高中生1200人，其每天睡眠时间均值为8小时，方差为0.5，则估计该地区中学生每天睡眠时间的方差为（ ）. A.0.96 B.0.94 C.0.79 D.0.75

试题分析 本题主要考查数据统计中均值、方差的概念以及分层随机抽样中各层方差与样本方差之间的关系；运算求解能力、推理论证能力以及数据分析、数学运算、逻辑推理、数学抽象等数学核心素养.属中档题，用方差定义求解，计算量较大；若基于方差定义的理解，先对“分层随机抽样中总样本方差的计算公式”作简要推理、推广（较易），再代值求解，计算量较小；其探究过程可积累更多优质解题思路和基本活动经验，进一步提升“四基”“四能”.

2 考情分析与学习目标

2.1 研究课标，掌握考情

《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》（下简称《课程标准》）对上述知识点的要求是“掌握分层随机抽样的样本均值和样本方差”［4］.从近几年高考和模考选填题分析，主要侧重对其“双基”（概念、公式的理解及基本应用）的考查，属中偏下难度题型.2.2 明确目标，突出能力从知识层面上，通过本课学习学生熟练理解、掌握“分层随机抽样的样本均值和样本方差”；从发展能力的角度上，依托“2023届广州市高三年级调研测试”题第6题提供的素材，通过循序渐进的问题驱动，培养观察分析、拓展延伸、发现新结论与新方法的能力，培养抽象概括、转化与化归以及应用数学知识解决问题的能力.

3 教学设计与深度学习环节1 情境呈现，激发冲突

例题：（见“考题”，略）.

问题1 此题不难，但考场中很多人难以顺利、快速得分.你能分享自己的求解过程吗？

师生活动 学生积极展示、分享解答过程；教师引而不发，侧重引导，比较分析解题思路、计算量以及考场应试情境下的作答状况.多数学生基于“方差”的定义，有下列求解方式：

追问1 此问题属于“分层随机抽样样本方差问题”.考场上，按上述思路求解将导致“会而不对”“对而费时”等.其主要原因在于我们平时对其学习缺少充分和深入探究、提炼并总结.“分层随机抽样样本方差问题”有没有求解公式，只需简单代入数值求解？

设计意图 此为“U型学习”的“下沉”，亦即“情境与问题”的“还原起始阶段”.创设问题探究情境，激发认知冲突；帮助学生自主梳理和熟悉样本均值、方差等“双基”；同时为探究、提炼“分层随机抽样样本方差”公式做准备，激发探究意识.环节2 自主研学，温故知新

问题2 本题是根据人教版《普通高中教科书·数学》必修二（2019年版新教材A版）第212页“例6”改编而来.请自主阅读、研究教科书第212页“例6”（与“考题”同类同质，题略）相关内容，并完成以下任务：

追问3 “第11题（2）”中，若记f1，f2，f3分别为各层数据个数占比，则其结论又是什么形式？（答案：s2=f1［s21+（－w）2］+f2［s22+（－w）2］+

设计意图 此为“U型学习”的“下沉”，亦即“情境与问题”的“还原阶段”，将问题与学生的认知起点建立联系，促进理解，形成问题探究的基本活动经验.“例6”是基于具体的、“分2层随机抽样样本方差”问题，学生通过自学其详解，可以温故、理解而迁移求解“考题”；“第11题”是基于抽象的、“分3层随机抽样样本方差”问题，学生经历从具体到抽象、从“2层”到“3层”的进阶学习，为其后进阶到“分t层随机抽样样本方差”的问题探究自然过渡.任务驱动：引导学生明确高三复习充分关注、回归、链接教材的重要性，培养其阅读教科书的习惯；发展学生“四基”，培养学生自主构建基本知识、思想方法、研究过程框架的能力.环节3 互动探究，动态生成

问题3 根据上述对教材指定内容的阅读、研学、感悟，请尝试探究：

在总体划分为t层的分层抽样过程中：记第k（k=1，2，…，t）层内样本数据的均值为wk（层均值），方差为s2k（层方差），数据个数占比为fk（层加权系数）；样本数据均值为w（样本均值），其方差s2（样本方差）.那么： .

设计意图 此为“U型学习”的“探底”，亦即“探究与合作”阶段.通过之前的自主构建基本知识、思想方法、研究过程框架的初步铺垫和系列设问对探究过程难点问题的引导解决，形成探究过程的初步理论成果；提升学生“四能”、理性思维水平，发展学生逻辑推理、数学抽象、数学建模、创新能力等.

问题4 你能类比“定理1”的探究过程，探究“分层随机抽样中样本均值的计算公式”（可记为“定理2”）吗？（答案：w=∑t/k=1［fk·wk］）.

追问5 对公式基于理解性记忆，将记得更牢固.你从哪方面理解公式？能描述“定理1”“定理2”两个公式结构上的相似之处吗？

（参考答案：从公式的推导过程理解，其结构都是各层“对应式子”的加权平均数形式；基于上述定理的证明过程的理解，比纯机械记忆更重要.）

追问6 为针对当下新冠疫情“阳性”感染问题作数据调查.某市连续几天收集数据，得到了每天数据的样本均值和方差，大数据时代：应当如何得到这几天所有数据的样本均值和方差？

（参考答案：首先计算“这几天”的数据总个数，从而求“每天”数据占比，即上述各定理中的“权比”；利用定理2即可求得“这几天”所有数据的“样本均值”；由“每天”数据的“样本均值”、“这几天”所有数据的“样本均值”、各天“权比”及其“方差”，利用“定理1”即可求得“这几天”所有数据的方差.）

师生活动 学生基于类比“环节2”中“任务2（1）”的论证求解，以及“定理1”的探究过程基本框架，先独立完成；之后，小组合作完善，得出结论；教师引导、组织.

设计意图 此为“U型学习”的“探底”中“应用与迁移”阶段.首先，通过类比探究，深化探究成果，也是对基本思想、基本活动经验的应用迁移；其次，“追问5”强化定理基于理解和公式特征的记忆，“追问6”是源自《课程标准》的“案例13”，对定理的应用与迁移，也是对此两个定理的探究必要性的回应.强化学以致用的应用意识和创新意识，培养学生发现新结论与新方法的能力；激发学生学习兴趣、调动学习主动性、提高数学思维的参与度；强化基本活动经验和基本思想，以达到触类旁通的效果.环节4 梳理整合，构建体系

问题5 本节课，我们得到了什么理论成果？研究过程中，采用了什么方法？

追问7 这些理论成果之间有怎样的关系？

追问8 你能用思维导图梳理表示这些理论成果、研究路径或方法吗？

师生活动 问题驱动，学生回顾、梳理知识成果、研究路径及方法，制作思维导图，展示、分享.

经完善，本节课研究成果、研究路径等如下：（如图1）

定理 （分层随机抽样的样本均值与方差）在总体划分为t层的分层抽样过程中：记第k（k=1，2，…，t）层内样本数据的均值为wk（层均值），方差为s2k（层方差），数据个数占比为fk（层加权系数）；样本数据均值为w（样本均值），其方差s2（样本方差）.那么：

（1）层均值对样本均值差的平方与层方差的和的加权平均数，即为样本方差的值，

（2）分层随机抽样中样本均值的计算公式为w=∑t/k=1（fk·wk）.

设计意图 此为“U型学习”的“上浮阶段”，构建本课整体的探究体系，归纳研究思路、研究方法，形成基本的活动经验，提高“四能”.

环节5 布置作业，应用迁移 （略.）4 教学设计的几点思考

4.1 开展探究式教学，是揭示数学本质、完善认知结构、深化解题认知的可靠保障

探究式教学的探究对象是基于学生的认知实际水平、学用结合中问题解决的冲突矛盾等视域下产生的，具有较强的价值、目的导向；探究式教学充分关注知识的来龙去脉、形成过程.探究式教学更能激发学生学习的兴趣，更有助于学生挖掘知识之间的内在联系从而促进知识的同化和迁移，能使学生在探究过程中完善知识和思维系统，促进学生积极合作、交流.

4.2 构建“U型学习”方式下的自主型复习课范式，是提升数学复习课质量的有效路径

“U型学习”方式的三个主要阶段（“下沉—探底—上浮”）分别强调基于联系理解知识、基于主动探究提升能力、基于反思学习感悟内化.因此，学生自主型复习课比传统型复习课更能发展学生的“四基”“四能”.高三数学自主型复习课堂与传统型复习课堂主要流程分别为“自主研学，温故知新→互动探究，动态生成→梳理整合，构建体系→问题解决，反思升华→目标检测，检验效果→布置作业，应用迁移”等、“知识梳理，构建网络→典例精讲，变式训练→方法提炼，归纳总结→当堂检测，巩固拓展”等.前者相较于后者，主要突显从“知识立意→能力素养立意”“模仿重复→探究发现”的转变，更体现教师主导和学生主体、自主构建以及强化感悟.

总之，我们认为基于深度教学“U型学习”方式的高三数学复习课教学设计，强调探究式教学；特别关注“四基”“四能”：培养学生的知识整合能力和迁移能力，立足于培养学生“四能”的发现问题、提出问题的能力以及创新思维能力，“学生自行思考，像一名数学家那样去思考数学，……，投入到获得知识的过程中去”（布鲁纳），使课堂效率和效益实现最大化.高三数学复习课，教师若更多地把视点放在通过学生对知识的发现、提炼、领悟和基于联系的自主建构上来达到知识的回顾、巩固、再学习、再认识的动态过程上，多在学习策略、思考方法和探索途径上下功夫，那么高三數学复习才会有“跳出题海”的希望，进而达到培养学生能力、提高学生数学素质的目的［5］.

参考文献

［1］教育部考试中心.中国高考评价体系说明［M］. 北京：人民教育出版社，2019.

［2］郭元祥.深度教学：促进学生素养发育的教学变革［M］.福州：福建教育出版社，2021：274.

［3］陶惠民.对探究式教学的理解与实践［J］.数学通报，2004，（09）：39.

［4］中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）［M］.北京：人民教育出版社，2020.

［5］吴锷.基于“四基”的高三数学复习课教学设计［J］.中学数学月刊，2015（12）：47.

作者简介

吴光潮（1979—），男，湖北安陆人，中学高级教师;广州市黄埔区教育研究院中学数学教研员，广州市第十六届中学数学教学研究会常务理事，华南师范大学教育学部兼职研究员；主要从事中学数学教育教学研究；获高中数学优质课竞赛（讲课）国家二等奖1次，省部级一等奖2次、三等奖1次，市级一等奖多次；发表专业论文20余篇（人大复印资料转载多篇）；主持省级课题多项.

基金项目 广东省2022年度教育科学规划课题（教育综合改革专项）“基于深度学习的初中数学课堂作业设计研究”（2022JKZG087）.