谈谈求解椭圆焦半径问题的路径

余玉娇

焦半径是指圆锥曲线的焦点与曲线上一点的连线.椭圆的焦半径问题侧重于考查椭圆的定义、方程、几何性质，以及焦半径公式、弦长公式.解答这类问题，往往要用到数形结合思想、方程思想、函数思想.下面以一道题为例，来探讨一下如何求解椭圆的焦半径问题.

例题：已知点[F]是椭圆[x2a2+y2b2=1]的右焦点，过点[F]的直线交椭圆于[A，B]两点，试判断[1AF+1BF]是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.

可根据题意画出如图所示的图形，这样便能快速明确各个点、曲线、直线之间的位置关系，结合图形寻找到一些几何关系，据此建立关系式.主要有以下几种求解思路.

一、利用正余弦定理

在解答椭圆的焦半径问题时，可将焦点看作几何图形中有特殊意义的点，将焦半径看作三角形、梯形、平行四边形的一条边，根据几何图形的性质建立几何关系.然后构造三角形，利用正余弦定理、勾股定理、三角函数的定义建立关于线段、角之间的关系式，从而求得线段、焦半径的长.

以一条焦半径AF为边，构造[ΔAFF]，就能将问题转化为解三角形问题.然后根据椭圆的方程和第一定义，求得另一条焦半径[AF]和焦距[FF]的长，即可得到三角形三边的长，根据余弦定理建立关系式，就能顺利求得焦半徑AF、[AF]的表达式.

二、利用椭圆的第二定义

椭圆的第二定义，即为圆锥曲线的统一定义，是指平面内到焦点的距离与准线的距离之比为e的点的轨迹.其中平面内的点到焦点的距离，即为圆锥曲线上的点到焦点的距离，也就是焦半径.在解答椭圆的焦半径问题时，可先根据椭圆的方程求得准线的方程[x=±a2c]；然后根据椭圆的第二定义建立关于焦半径、准线的关系式，即可求得焦半径的值或者表达式.一般地，若椭圆的焦点为F1、F2，曲线上一点P（x0，y0），则焦半径为|PF1|＝a＋ex0，|PF2|＝a－ex0.

先根据椭圆的第二定义建立焦半径、离心率、准线之间的关系式；然后用直线AB的倾斜角表示出A、B的横坐标，即可通过三角恒等变换消去角[θ]，得到[1AF+1BF]的值.根据椭圆的第二定义建立等量关系式，可大大减少运算量.

三、利用参数方程

椭圆[x2a2+y2b2=1]的参数方程为：[x=acosθ，y=bsinθ，]其中[θ]为参数；过点M（x0，y0），倾斜角为α的直线l的参数方程为[x=x0+tcosx，y=y0+tsinx，]在求解椭圆的焦半径问题时，可根据椭圆（直线）的参数方程设出椭圆（直线）上的点的坐标，求得焦点的坐标，即可根据两点间的距离公式或参数的几何意义求得焦半径的表达式.最后通过三角恒等变换化简表达式，即可解题.

解答本题，需明确直线的参数方程中参数t的几何意义，并将AB所对应的参数t看作一元二次方程的两个根，根据韦达定理解题.

解答椭圆的焦半径问题，需注意：（1）明确焦半径与椭圆的位置关系；（2）根据椭圆的方程和定义建立关于焦半径的关系式，或用参数a、b、c表示出焦半径；（3）根据椭圆的几何性质，结合图形，建立关于焦半径的几何关系.