和矩阵Drazin逆的新表示及其应用

杨晓英

(四川信息职业技术学院人文学院,四川 广元 628017)

0 引 言

Ml+1N=Ml,NMN=N,NM=MN,

则称N为M的Drazin逆,记作N=MD,称l为M的指数,记作ind(M)=l,这里l是使得rank(Ml)=rank(Ml+1)成立的最小正整数l.另记Mπ=I-MMD.矩阵的Drazin逆是矩阵广义逆的一种类型,矩阵的Drazin逆存在且唯一.

矩阵的Drazin逆在许多领域有广泛应用,其中,最简单的应用是求解奇异线性方程组问题,研究线性方程组的系数矩阵是解决问题的关键,而矩阵的广义逆理论推动了这一问题的研究.1920年E H Moore在美国数学会上首先提出了广义逆矩阵[2],1955年R Penrose发表了和E H Moore等价的广义逆矩阵理论文章[3],同年Rao提出了更一般的广义逆矩阵的概念[4],1958年Drazin引入了Drazin逆的概念[5].

1 预备知识

近些年关于Drazin逆的研究是许多学者关注的热点问题,国内外学者在不同条件下运用不同的方法得出了矩阵和的Drazin逆表达式,罗列如下:

1)PQ=0;(2001年,HARTWIG R E[11])

2)P2Q=0,Q2=0;(2009年,MARTLNEZ-SERRANO M F[12])

3)P2Q=0,Q2P=0;(2012年,卜长江[13])

4)(P+Q)P(P+Q)P=0,(P+Q)P(P+Q)Q(P+Q)=0,QPQ3=0;(2016年,VISNJIC J[9])

5)Q(P+Q)P(P+Q)=0,P(P+Q)P(P+Q)=0,QPQ2=0.(2019年,刘新[10])

首先给出几个重要的引理.

引理1[1]设A∈m×n,B∈n×m,则(AB)D=A((BA)D)2B.

引理3[15]设P∈m×n,Q∈n×m,如果PQP=0,Q2=0,则

(P+Q)D=PD+Q(PD)2+(PD)2Q+Q(PD)3Q.

引理4[15]设P、Q∈n×n,ind(P)=r,ind(Q)=s.如果PQP=0,PQ2=0,则

(P+Q)D=γ1+γ2+(γ1(PD)2+(QD)2γ2-QD(PD)2-(QD)2PD)PQ,

引理5[11]设P、Q∈n×n,ind(P)=r,ind(Q)=s.如果PQ=0,则

2 矩阵和的Drazin逆

本节给出在条件(P(P+Q))3=0,QPQ3=0,Q(P+Q)P(P+Q)Q(P+Q)=0和P(P+Q)P(P+Q)Q(P+Q)=0下两矩阵和Drazin逆的表示,推广了文献[9]中的条件(P+Q)P(P+Q)P=0,QPQ3=0,(P+Q)P(P+Q)Q(P+Q)=0和文献[10]中的条件QPQ2=0,Q(P+Q)P(P+Q)=0,P(P+Q)P(P+Q)=0.

定理1设P、Q∈n×n,ind(QP)=r,ind(Q2)=s.如果P(P+Q)P(P+Q)Q(P+Q)=0,Q(P+Q)P(P+Q)Q(P+Q)=0,(P(P+Q))3=0和QPQ3=0,则

(P+Q)D= (Q2+QP)DQ+(Q2+QP)DX(PQ+P2)Q+(PQ+P2)((Q2+QP)D)2Q

+(PQ+P2)((Q2+QP)D)2X(PQ+P2)Q+XP+(PQ+P2)(Q2+QP)DXP,

其中

X=(Q2+QP)D+((Q2+QP)D)2(PQ+P2)+((Q2+QP)D)3(PQ+P2)2,

(Q2+QP)D=φ1+φ2+(φ1((QP)D)2+(QD)4φ2-(QD)2((QP)D)2-(QD)4(QP)D)QPQ2,

证明:由Drazin 逆的定义和引理1,得

(1)

由P(P+Q)P(P+Q)Q(P+Q)=0,Q(P+Q)P(P+Q)Q(P+Q)=0,有GHG=0,H2=0.由引理3得

MD=GD+H(GD)2+(GD)2H+H(GD)3H,

(2)

由引理2可知

其中X=(Q2+QP)D+((Q2+QP)D)2(PQ+P2)+((Q2+QP)D)3(PQ+P2)2.因为 (P(P+Q))3=0,得(P(P+Q))D=0,(P(P+Q))π=I,所以

(3)

再由QPQ3=0和引理4,可得

(Q2+QP)D=φ1+φ2+(φ1((QP)D)2+(QD)4φ2-(QD)2((QP)D)2-(QD)4(QP)D)QPQ2,

(4)

将式(3)和式(2)代入式(1),结合式(4),结论得证.证毕.

注1定理1的条件比文献[9]中的条件(P+Q)P(P+Q)P=0,(P+Q)P(P+Q)Q(P+Q)=0,QPQ3=0和文献[10]中的条件Q(P+Q)P(P+Q)=0,P(P+Q)P(P+Q)=0,QPQ2=0更弱.如下面的两个例子.

P(P+Q)P(P+Q)Q(P+Q)=0,Q(P+Q)P(P+Q)Q(P+Q)=0,

(P(P+Q))3=0,QPQ3=0,

因此,矩阵P、Q满足本文定理1的条件.

但是

所以矩阵P、Q不满足文献[9]中的条件.

利用本文定理1的结论可得

P(P+Q)P(P+Q)Q(P+Q)=0,Q(P+Q)P(P+Q)Q(P+Q)=0,

(P(P+Q))3=0,QPQ3=0,

因此,矩阵P、Q满足本文定理1的条件.

但是

故矩阵P、Q不满足文献[10]中的条件.

应用本文定理1的结论可得

应用定理1,我们可以得出文献[9]和文献[10]的结论.

推论1[9]设P、Q∈n×n,ind(QP)=r,ind(Q2)=s.如果

(P+Q)P(P+Q)Q(P+Q)=0, ((P+Q)P)2=0,QPQ3=0,

则

(P+Q)D=(P+Q)2((Q2+QP)D)3(P+Q)3,

其中 (Q2+QP)D同定理1.

推论2[10]设P、Q∈n×n,ind(QP)=r,ind(Q2)=s.如果Q(P+Q)P(P+Q)=0,(P(P+Q))2=0,QPQ2=0,则

(P+Q)D=(P+Q)2((Q2+QP)D)2(P+Q),

其中 (Q2+QP)D同定理1.

下面给出定理1的对称形式,证明过程同定理1.

定理2设P、Q∈n×n,ind(QP)=r2,ind(P2)=s2.如果(P+Q)P(P+Q)Q(P+Q)P=0,(P+Q)P(P+Q)Q(P+Q)Q=0,((P+Q)Q)3=0和QP3=0,则

(P+Q)D=P(P2+QP)D+QK+P(PQ+Q2)K((P2+QP)D)2(PQ+Q2)

+P((P2+QP)D)2(PQ+Q2)+QK(P2+QP)D(PQ+Q2)

+P(PQ+Q2)K(P2+QP)D,

其中

K=(P2+QP)D+(PQ+Q2)((P2+QP)D)2+(PQ+Q2)2((P2+QP)D)3,

推论3设P、Q∈n×n,ind(QP)=r2,ind(P2)=s2.如果P(P+Q)Q(P+Q)=0,((P+Q)Q)2=0和QP3=0,则

(P+Q)D=(P+Q)3((P2+QP)D)3(P+Q)2,

其中 (P2+QP)D同定理2.

3 分块矩阵的Drazin逆的表示

下面利用推论3的结果给出分块矩阵Drazin逆的表示.

设矩阵

(5)

其中A、D是方阵,S=D-CADB表示分块矩阵Z的广义Schur补.

定理3设Z是形如式(5)的矩阵,且S=0.如果AπBCA2=0,BCAπA=0,BCAπB=0,则

其中

W=AAD+ADBCAD.

由引理3可得

ZD=(H+G)D=HD+G(HD)2+(HD)2G+G(HD)3G.

(6)

HD=(P+Q)D=(P+Q)3((P2+QP)D)3(P+Q)2.

(7)

又由于(QP3=0,(QP)D=0,可以得到

(P2+QP)D=(PD)2, ((P2+QP)D)n=(PD)2n,n≥1.

将P拆分为如下形式

显然P1P2=0,P2是l-幂零矩阵,通过计算,易得

(8)

将式(7)和式(8)代入式(6),结论易得.证毕.

4 数值算例

下面给出一个数值例子来验证定理3的正确性.

通过计算

S=D-CADB=0,满足定理3中的条件AπBCA2=0,BCAπA=0,BCAπB=0,因此由定理3可得