一道西藏初中数学学考几何综合问题的解法探究——兼议几何画板实现高效教学的价值思考

高八民 西藏山南市乃东区中学

几何综合问题是初中数学中覆盖面广、综合性强的一类问题，在西藏初中学业水平考试中也是重要的必考内容，是数学素养考查区分度的核心体现。从初中数学的教学理念来看，《义务教育数学课程标准（2022年）》明确提出“三会”的核心素养内容，更加注重对几何直观、空间观念、推理能力、模型观念、创新意识等素养的培养，而这些数学核心素养的培养、考查与评价都将以数学综合题型作为载体。在西藏初中阶段，几何综合问题一直以来不仅仅是学生数学学习的薄弱环节，同时也是初中数学教师在课堂教学中难以高效处理的困惑所在。几何画板是数学教学中应用最为广泛的专业教学工具，在教育信息化时代,利用几何画板有层次地实现几何综合问题的有序梳理和分析对于几何以及代数综合问题的突破教学来说无疑是高效的。下面以2021年西藏初中数学学业水平考试第26题（2）为例展开多路径的解题分析，谈谈笔者利用几何画板解决几何综合问题的探索与思考。

一、原题呈现

如图，AB是⊙O的直径，OC是半径，延长OC至点D.连接AD，AC，BC.使∠CAD＝∠B．

（1）求证：AD是⊙O的切线；

（2）若AD＝4，，求BC的长．

这是一道考查勾股定理、三角形相似判定和性质、解直角三角形以及辅助作图等知识点的几何综合题型。第（1）问主要是对学生掌握“直径所对的圆周角是90° ”这一知识点和“等量代换”思想的考查，第（2）问则需要整合已知条件在充分体会考查数学知识和思想方法的基础之上，通过辅助作图创造性地构造相似模型，结合勾股定理、相似和直角三角函数实现问题的解决。下面主要通过几何画板软件呈现解题的图形演示步骤展开一题多解的解法探究并思考总结几何画板软件在解决这类问题和教学中的价值。

二、几何画板软件呈现例题多元解题思路探究

（一）思路一：三角形内作已知线段上的高构建相似三角形

解法：过点C作CE⊥AD于点E，则AB‖CE.

在RtΔACE中，设CE=x，∵，∴AE=2x，，DE=4-2x.

在Rt△ACB中，∵∠B=∠CAD，∴,AB=5x，.

由AB‖CE得△CED～△OAD，有：，，解得.

图1 几何画板呈现在三角形内作已知线段高的解题逻辑

评析：从几何画板对于这一解题过程的逻辑呈现可以看出，这一解题思路的特点在于通过辅助作图构建的“A”型相似三角形极为直观，同时能够紧扣已知条件，构造直角三角形对题目中“三角函数”这一已知条件加以直接利用，进而表示出各线段之间的关系，再利用相似三角形列出比例方程解决问题。根据教学经验，教师不难发现这一思路正是大多数学生的一贯做法，而学生面临的困难则在于解题过程中的“已知线段”不能直接运用于计算，学生即使能够较为直观地观察到相似三角形的存在，但需要通过参数表示的线段数量较多，容易给学生构建相似比带来判断上的误导。教师教学难点则在于需要分析的三角形多而杂，难以聚焦，几何画板软件通过对三角形不同的着色和对相关三角形有顺序的隐藏与显示，能够起到很好的聚焦作用，也能够更好厘清解决问题的逻辑。

（二）思路二：延长BC 与已知线段相交构建相似三角形

解法：延长BC交AD 于点E，则△ACE为Rt△.

在Rt△ACE中，设CE=x，∵，∴AC=2x，，.

由∠B=∠CAD，∠B=∠OCB，∠OCB=∠ECD可得∠ECD=∠CAD，

又∵∠EDC=∠CDA，∴△CED～ACD，有：,

解得DC=2,.∴.

在Rt△ACB中，∵∠B=∠CAD，∴.

图2 几何画板呈现延长BC与已知线段相交的解题逻辑

评析：从这一解题思路的逻辑呈现可以直观地感知，在构建直角三角形的过程中，题目中“三角函数”这一已知条件得到了直接运用，但相比“思路一”，要找出有用的相似三角形来构建相似比解决问题并不十分容易。进一步对运用“思路二”解题的学生进行追踪，能够发现考虑以同样方式进行辅助作图的学生其实不在少数，但在之后的推理探究中，学生往往是因为复杂的线段表示和难以发现的相似三角形而放弃了这一思路。学生能够产生这一解题思路的前提首先是要能够初步判断出这一辅助作图所分割出的小三角形和原来大三角形之间存在着“母子”型相似关系。因此，教师在教学过程中能倚重的正是几何画板带来的角与角之间直观化的等量代换，从而为三角形的相似提供依据，当然也可以通过翻转动画的形式使得两个相似三角形的呈现更加地清晰和直观。

（三）思路三：作关联线段的垂线构建直角三角形

解法：过点D作DE⊥AC交AC延长线于点E.

在Rt△ADE中 ，设DE=x，∵AD=4，，∴x2+4x2=16，.

又∵∠3+∠CAD=90°，∠2+∠4=90°，∴∠CAD=∠4，

在Rt△ACB中，∵∠B=∠CAD，

图3 几何画板呈现作中间关联线段垂线的解题逻辑

评析：对于基础略薄弱的学生来说，较难想到以这种方式进行辅助作图。与“思路一”“思路二”不同的是，它构建的是一种“射影”型相似或者说是“母子”型相似。从几何画板呈现的解题逻辑不难看出，这一解题思路的优势在于能够直接对题目中“已知线段”加以利用，简化了“设参数表示相关线段”的复杂步骤。另外，这一思路的关键在于要让学生在分析问题的过程中抓住影响问题解决的潜在关键性因素——中间关联线段，这正是数学中的转化思想在解题中的充分体现。在转化思想的引领下，无论是选择三角形相似、勾股定理，还是选择解直角三角形就仅仅是计算过程中具体的实现方式。教师使用几何画板展开教学时，也可以在两个方面发挥软件的优势：一是针对性地对相关角进行标识，把角与角之间的关系直观化，让学生得出结论更为容易和确定；二是通过几何直观清晰地建立起已知条件和中间线段、中间线段和所求线段之间的联系，使得解题思路更为清晰顺畅。

（四）思路四：作已知线段垂线与中间关联线段相交构建直角三角形

解法：过点D作DE⊥AD交AC延长线于点E.

在Rt△ADE中，∵AD=4 ，，∴DE=2，.

设AC=x.则.

在Rt△ACB中，∵∠B=∠CAD，∴BC=2AC=2x，.

由 ∠1=∠2，∠3=∠4可 得△CED～△CAO，∴，即：.解得：，x2=0（舍）.∴.

图4 几何画板呈现作已知线段垂线交中间关联线段的解题逻辑

评析：从几何画板所呈现的解题逻辑来看，“思路四”与“思路三”相同的是能够把“已知线段”通过辅助作图直接加以利用，使得“设参表示线段”变得容易，在相似三角形的构建上引入的“8”型相似也是十分常见的相似模型。但从学生的解题实践来看，这一思路极少为学生运用，可能的原因是学生水平上受到作辅助线的思维局限。对比这四种解题思路，可以发现对于几何综合问题来说考查的核心知识是不会变的，正如本题中对于“相似”的考查，但在具体的推理过程中不同的辅助作图方法可以提供不同的解决问题的思路。此外，就几何画板对例题本身的逻辑呈现来说，也能够让学生加深对“A”型相似、反“A”型相似、“8”型相似、反“8”型相似、“母子”型相似以及“旋转”型相似等常用相似模型的认识和理解。教师只有合理运用教学辅助手段多角度的引导学生思考，才可能引发学生思想方法上质的飞跃，从而优化自身解题思路，提升自身解题技巧。

三、几何画板软件实现几何综合问题高效教学的价值思考

《义务教育数学课程标准（2022年版）》强调，学业水平考试应“明确试卷和每道试题所要考查的数学知识和核心素养的相应表现”，学考中几何综合题目的考查往往聚焦于学生几何直观、空间观念、模型观念和推理能力等核心素养，其考查目的就在于引导学生广开思路，因此解题路径往往是多元的，就例题本身的解题路径，除以上四种解题思路外肯定还会有其他的方法和路径，且由老师们在此基础上继续挖掘。值得思考的是，从教学的视角出发，几何综合问题多元解题思路的教学是需要花时间的，没有好的教学设计和优化教学设计软件的支持很难启发学生的多元思维，一节课时间的传统课堂很难对这类问题展开全方位、多角度的分析，同时图形的复杂性也一定程度上加大了分析问题的难度，其他数学教学软件尽管也可以实现一些快速的构图等，但在角的符号标记、动画以及图形的层次性等方面很难实现直观化和特殊化处理，这正是运用几何画板软件进行构图和逻辑推理教学的价值所在。

（一）优化了教学时间管理，提高了几何课堂教学效率

在几何综合问题的课堂教学中，教师能带给学生的绝不仅仅是问题的答案和解法，既要有解题方法和技巧的引导探究，同时还要渗透方程、建模、化归等数学思想。如果仅仅停留在传统的教学上，利用一节课的时间去落实单一的解法都会表现得非常吃力，学生也很难从老师涂鸦般的图形中清楚领会每一个步骤。相比之下，几何画板软件可以在备课过程中预先将图形的每一个变化、解题的每一个环节均进行分步骤处理，对每一个关键的线段和角赋以特殊强调，在课堂教学时则可以把重点放在解决问题的逻辑梳理上，既节省了构图时间，也通过问题串和图形组的结合教学使得对每一个关键点的分析更加聚焦。此外，关于例题的多解题路径的几何画板呈现也充分说明几何画板软件可以实现解决几何综合问题过程中的多重方法之间的比较，方便学生在学习过程中对某一知识点的归纳和总结，建立知识体系，提升课堂教学效率。

（二）提升了几何学习趣味，增强几何教学直观和针对

数学课程标准提倡教师加强信息技术和数学教学的融合，鼓励教师利用数学专用软件等教学工具开展数学实验、丰富教学场景、激发学生学习数学的兴趣和探索新知的欲望。对于西藏初中学生来说，数学是相对薄弱的学科，其中几何部分更是薄弱学科中的薄弱部分。过去传统数学课堂教学给学生的学习体验往往是一种晦涩难懂的感受，这也是导致学生对抽象的数学无法实现直观学习、建立不了学好数学自信心的主要原因。几何画板作为一种具有动态变化功能的几何专用教学工具，一方面它能够通过创设多彩的模型情境，将抽象的几何问题直观化，让学生能够在课堂几何的学习过程中看得明白、听得懂、理解得深刻，建立学习自信，激发参与课堂学习的兴趣。一方面，它进一步丰富了数学教师开展几何教学的教学场景，提供给数学教师更多的教学方式的选择，使得教学设计、教学情境服务于不同学生群体的几何教学本身更加具有针对性。

（三）强化了推理能力培养，聚焦核心素养和必备品格

新一轮课程标准的编制明确了“坚持核心素养，体现育人为本”的导向和原则，因此，对于几何综合问题的教学，首先要弄清楚“为什么教”、“为谁教”和“怎么教”三个基本问题，教师需要自省所教的学生是怎样一个群体，学生是否乐于并能够接受新的教学形式，新的教学形式是否达到了预期目标。对于开展几何综合问题教学的评价，也不应仅仅是“会做题”，还应该关注学生发现、提出、思考和解决问题这一具体的学习过程。通过对上述例题多元解题思路的简单呈现可以看出，几何画板所能够带给学生和老师的不仅仅是几张简单的几何图片，还包括由一张张图片串联在一起表达出的有条理的逻辑推理，通过图形把学生解题的逻辑直观化、具体化，学生在“过关斩将”完成每一个环节的过程中老师所设定的知识目标和素养目标充分达成，这种与几何画板的整合教学有助于学生把握问题的本质，明晰思维的路径，也有助于养成讲逻辑、有条理的思维习惯。

美国著名数学家波利亚曾说：“没有任何问题是可以彻底解决的，总剩下些工作要做。”尽管通过几何画板对于例题多元解决思路所呈现出的逻辑过程，可以看到几何画板在解决几何综合问题是具备一定优势的，也能够激发出数学教师对于应用几何画板专业软件进一步优化几何课堂教学设计的思考，但遗憾的是目前这一专业软件在西藏当前的教学实践中还没有被广泛使用，如何在数学教学中尤其是在解决几何综合问题的过程中充分发挥几何画板软件的强大功能，促进几何教学直观化，激发学生学习兴趣，提升数学教学质量，还需要老师们进一步加强这一专业软件的学习和培训，也需要老师们进一步基于案例分析和实践教学展开更加深入的学习和研究。同时，老师们也应积极对学考中经常出现的几何综合问题开展基于解决问题本身的多元解题思路的分析和研究，突破薄弱提升质量，努力达到数学课程学业质量标准的具体要求。