“积的乘方”课例教学设计与实践反思

曾万强

摘  要：“积的乘方”是人教版教材八年级上册第十四章“整式的乘法与因式分解”的第一节内容，学生在此前已有“整式的加减”作为知识支撑。该课时作为第一节的一个知识点，教师在教学上，习惯将该课时与“同底数幂的乘法”以及“幂的乘方”作为整式乘法的三大基础运算进行依次处理。作为“整式乘法”的最后一个运算法则，该课时在章节学习中起到了承上启下的作用，其重要性不言而喻。文章结合了“积的乘方”教学设计和实际的课堂反馈，以及相关文献，思考更适合发展学生素养的教学方案，以促进教育教学工作的共同进步。

关键词：“积的乘方”；公式逆用；数学核心素养

一、“积的乘方”教学方法分析

数学课堂教学十分强调“过程”二字，教师既要重视学生的参与过程，又要重视知识的再现过程。因此在教授本课时既要强调公式法则，还要关心学生对公式法则探究过程的理解。从长远来看，学生的探究过程可能比公式法则本身更重要。

教学是为了发展学生的核心素养，就核心素养目标的达成而言，课时教学是组成教学实施的基本单位，每一节课都应该为学生核心素养的形成和发展做出可能的贡献。

“积的乘方”作为整式乘法基础运算的三个课时之一，对学生数学运算的核心素养有一定的促进作用。本节教学既要考虑整体的统一，又要注意与其他课时的差异。从素养发展来看，需要学生在课堂和课后体验到获得感，以提升在后续运算时的信心和决心。

二、“积的乘方”学习目标

第一，经历、探索“积的乘方”的活动过程，理解“积的乘方”的意义，并能推导“积的乘方”公式，感受数学知识与数学逻辑的紧密结合。

第二，理解“积的乘方”的运算法则，能够准确选择法则的正用和逆用，能够利用法则，计算和解决一些实际问题。

三、“积的乘方”学习重难点

重点：“积的乘方”法则生成过程及其应用和逆用。

难点：“积的乘方”法则的逆用和灵活运用。

四、“积的乘方”教学过程

（一）情境引入

教师展示PPT，课件上会显示一个较大的an，教师提出问题：

情境一：教师提问：“同学们，看到屏幕，你们能想到什么？”

设计意图：本课时作为与幂相关的三大基础运算之一，需要学生对幂相当熟悉，包含幂的底数、指数和幂本身的意义等。通过此问题与PPT，教师依次呈现并引导学生说出幂的概念、幂的意义、同底数幂的乘法和幂的乘方运算法则，然后学生做一些简单的运算题。

情境二：试计算以下式子，并说明做法及依据：

（1）a5·a3=________    （2）（a5）3=________

（3）（5a）3=________=________=________

设计意图：通过类比发现矛盾的方法，设计了三个小题，前两个题，可以直接运用“同底数幂的乘法”“幂的乘方”运算法则算出；第三个题，既不是“同底数幂的乘法”，又不是“幂的乘方”，即题型由易到难，这样学生在学习的过程中，能够产生认知冲突，会进一步猜测，激发学生的求知欲。为避免学生答得不规范，教师在第三小题上设计了三个空，意在让学生运用乘方的定义、乘法交换律、结合律以及乘方概念分步完成。然后教师进一步提出下列问题：

“请问（5a）3与（a5）3的底数有何不同？可以叫作什么运算？”

（1）（a5）3的底数a5是幂，叫作_____。

（2）（5a）3的底数是因式5a和的积，可以叫作_____。

设计意图：前两个运算是让学生复习前两课时学过的“同底数幂乘法”和“幂的乘方运算”，后面是“积的乘方”运算，由此可见无论是名字还是形式，都显示出“积的乘方”和“幂的乘方”运算具有较强的相似性。为避免混淆，限定在（5a）3与（a5）3这两个运算中进行对比，旨在促进学生进行类比分析，得到“积的乘方”这个课题，并尽快进入本节概念和公式的推导。在学生回答出“积的乘方”时，教师同步将板书课题写在黑板上，以提醒本节课的课题。

（二）新知探究

情境三：计算并说明做法、依据：

（1）（ab）3=________    （2）（mn）5=________

设计意图：通过两个相似性极强的例子，引导学生用乘方的定义和乘法定律分别计算，设计时，教师有意将两个问题并排放在一起，PPT课件呈现时，将结果着重化，旨在学生在算出答案的同时，能依据上述两个答案联想并猜测到“积的乘方”的公式。为后面更直接地引出运算法则，教师提出以下问题：

“你能猜想、总结出一般结论吗？请尝试将其推导出来。”

一般结论：________________________________。

积的乘方法则：积的乘方，等于_______________。

设计意图：处理完情境三的例子后，学生会得出一般性结论：（ab）n=anbn（n是正整數）。关于法则的文字叙述，更大程度上是为了部分学生在无法理解并掌握知识的情况下，教师提供的帮助其理解和记忆的方式。在选择文字定义时，教师有意识地选择了更简洁、学生更易接受的北师大教材的文字定义：积的乘方，等于每个因式乘方的积。同时PPT上有意地突出了每个因式，用以强调这是本课时的易错点之一。然后教师引导提出以下问题：

“该公式对三个因式是否成立？请说明理由。”

这时，由学生推广并证明三个，以及三个以上式子的“积的乘方”法则：（abc…）n=anbncn…（n是正整数）。这表明学生已经考虑了证明方法，提出了整体思想。

情境四：口算下列各题

（1）（2x）2=________ （2）（-5b）3=________

（3）（2xyz）4=________ （4）（-xy2）2=________

（5）（x3y）n=________ （6）（-2x3）5=________

设计意图：教师共设计了六个口算题，分别包括含正负两个字母的偶数次方、含正负两个字母的奇数次方、含正负号多个字母的奇数和偶数次方等不同类型，题型由易到难，教师现场抽问，学生直接进行口算。学生可能存在问题的是含负号的第（2）（4）（6）小题，如果有学生算错，教师需要直接点明易错点；如果无学生出错，则进入后续的例题解析。在做题时，教师需要观察做错题目学生的情况，适时投屏展示并提醒，引导学生自主对易错点进行分析。

（三）例题探究（公式运用）

例1计算：

（1）（-2x2y3）4 （2）-（-3ma3bn）3

练习1计算：

（1）（2a2b3c4）3 （2）（-2xmyn）3

（3）［3（m+n）5］2 （4）

-x2nyn+1

设计意图：例1设计的两个小题均为含负号次数不全为1，且项数多于两项的“积的乘方”问题，学生相对易错。作为例题，教师需要重点进行板书书写和步骤示范。练习1由学生独立完成，然后教师邀请两位学生在黑板上展示。展示是为了呈现学生自主学习、与课本对话、合作学习的成果和困惑点，更重要的是，在对话、探究的基础上，教师通过追问，将学生的“困惑点”转化为数学的“探究点”，进而引导学生发现知识的易错点、能够进一步总结出以下注意事项：第一，负号一开始，就要确定好处理方式；第二，括号内每一个因式都要乘方（尤其是系数）；第三，计算“积的乘方”后，还要计算“幂的乘方”，结果化到最简。

例2计算：2（a2b2）3-（3a3b3）2

练习2计算：（2a5）2·a2-（-3a3）4+（4a6）2

设计意图：与例1本质相同，教师引入了整式的加减运算，该题综合性较强，这是为了避免学生在计算中忘记合并同类项、没有把整式化到最简。该过程注重在教师讲完知识点后，学生马上进行巩固。待这个例题和练习完成时，学生已经基本熟悉了公式法则，并能够相对熟练地应用。

（四）拓展探究（间接用公式和公式逆用）

例3已知xn=2，yn=3，求（x2y）n的值。

练习3已知x2n=2，求（3x3n）2的值。

设计意图：此例和对应练习，从所求结论来看，均是在考查“积的乘方”。然而，在计算的过程中，学生单纯地利用公式，将无法直接计算出结果，还需要根据已知条件调整化简的结果，属于间接求解问题。本题需用到“幂的乘方”运算法则的逆运算，也就是常说的公式逆用。教师设计此例的另一个用意，是希望引入下一个重要拓展——“积的乘方”公式逆用，以此进行衔接，具体如下：

例4计算：

（1）24×54    （2）（-2）6061×（0.125）2020

练习4计算：

（1）

-

×

（2）［8×（-0.5）］2021×41010×（-0.125）2020

设计意图：在前面的例题设计中，教师已经提出公式逆用这个基本思路，学生也进行了运用。作为对“积的乘方”运算法则的公式逆用［an·bn=（ab）n］的应用，其涉及了幂的运算的简便算法。在學习例题之后，学生能够知道，幂的运算需要满足的条件是——底数、指数相同，或者能够将底数、指数简化成一样，即学生能够对幂的运算问题有较系统的理解。在回答第一问时，学生都会认为较容易，但也存在个别学生直接硬算的现象。如果后续抽问中，还有学生直接硬算，教师无须点出，可以引导其计算第二问，这会引发学生的认知冲突，这样公式逆用会引入得更加自然且记忆深刻。如果一开始学生就回答得较好，教师只需要引导该生说出具体过程采用的思路即可。在这两问中，第一问较简单，第二问需要学生先用“幂的乘方”法则的公式逆用，将指数化为相同，在这里，教师可以适当发散学生的思维，着眼于学生解决问题的方式。第二问，教师让学生自主解决，可以由两个学生同时在黑板上书写，其他学生观察异同。

（五）课堂小结

1. 积的乘方法则：积的乘方，等于每个因数乘方的积。

其公式：（ab）n（n是正整数），推广：（abc）n=anbncn。

2. “积的乘方”法则公式逆用：anbn=（ab）n（n是正整数）。

推广：（abc…）n=anbncn…（n是正整数）。

3. 核心素养：数学运算、数据分析。

设计意图：本环节由学生自行回顾总结，这样做，一是有利于学生自主梳理出本节的知识——“积的乘方”法则对应公式及推广的正用和逆用；二是促进了学生在解决问题的过程中，分析出题目中的指数和底数。教师在引导学生总结的过程中，可以顺带引导、回顾本课时主要涉及的核心素养——数学运算和数据分析，并让学生实实在在地感受到这些要点。

五、教学反思

《义务教育数学课程标准（2022年版）》明确指出，学生是数学学习的主人，教师是数学学习的组织者、引导者与合作者。课堂设计的初衷，是让学生成为课堂的主人，让学生在课堂上，探究、思考、获得知识，并学会应用。结合初中生的心理状态，本堂课的脉络比较清晰，每个问题的后面，都设计了衔接练习。在几个不同的班级进行了实践后，上课效果与预期基本一致，整体很流畅，学生的课后作业完成得较好，整体掌握情况不错。由此可见，流畅的课堂设计、及时引导学生思考并解决问题，是一个很适合初中生的方式。

本节课的设计也存在一些不足：由于时间的限制，课堂上只是将几个基础的点让学生梳理清晰，并进一步强化，设计问题的高度可能不够；学生的基础有差异，在本节课中，基础较差的学生在完成相应练习和知识掌握上，可能感觉有点吃力，而基础较好的学生，又可能会认为课堂问题的难度不够。

在实际操作中，教师需要仔细分析学生的学业水平、学习能力、学习心理和认知特点等，针对不同的学生群体，找到不同的研究坡度、设计不同的问题，做到因材施教。在后续教学设计及课堂教学中，教师还可以针对性地进行更多的尝试，让学生在掌握基础知识的同时，又能够提升知识深度，给予学生发散思维的空间，引发学生更多的思考。

参考文献：

［1］黎栋材，王尚志. 平面向量基本定理教学设计［J］. 数学通报，2015，54（01）：29-31+37.

［2］渠东剑. 核心素养：教学的第三条主线［J］. 数学通报，2020，59（03）：20-24.

［3］何继刚. 谈促进学生深度学习的“四步循环”教学——平面向量基本定理的“四步循环”教学与反思［J］. 中学数学月刊，2013（09）：5-7+30.

（责任编辑：邹宇铭）