情境—问题—抽象：初中生数感培养的路径*——以“一次函数的图象”教学为例

王国强|江苏省盐城亭湖新区初级中学

数学核心素养的根本指向是数学思维的发展，而数学思维的进阶又依赖于数感能力的提升.《义务教育数学课程标准（2022 年版）》（以下简称“《课程标准》”）指出，数感是关于数与数量、数量关系及运算结果的直观感悟.因此培养数感，有助于学生形成数学抽象能力，发展数学运算和推理能力，提升建模能力和空间观念.那么，如何培养数感呢？笔者认为需要基于真实的情境，引导学生在深度思考问题的过程中，完成对“数与量的关系理解”和“数与运算结果的直接感悟”的抽象与建构，提高数感、量感、符号意识，进而能够用数学的方式观察、思考和表达现实世界.下面以一次市级优质课比赛中的“一次函数的图象”一课的教学为例，谈谈初中生数感培养的路径.

一、教学内容分析

（一）教材分析

函数图象是直观呈现现实生活中变量关系的数学模型，一次函数的图象是直观呈现生活现实、生活经验、生活体验等变量关系最基本的数学模型，是联系生活和数学的桥梁和纽带，是中考数学的重要考查内容之一.建立一次函数图象模型，有助于学生深度体会一次函数，从而全方位、立体化、多维度地整体结构化理解一次函数，并在生活线、知识线、数学线中融合共生数感能力.这节课属于一次函数图象模型建构活动课，它既是进一步学习数与量、数与式、数与形关系的需要，也是后续学习一元二次方程、反比例函数和二次函数的基础.

（二）学情分析

八年级学生在小学阶段已经对生活中的数量关系和变量关系有了初步了解，在初中阶段又进一步学习了函数、方程、不等式等知识，积累了一些数与量、数与式、数与形关系的基本经验，能从生活情境中抽象提炼数量关系和变量关系并建构一次函数模型.基于此，引领学生对生活中的变量关系进行数学化、符号化、结构化思辨，既可为其在进一步学习函数知识做准备，也可为其在高中阶段深入学习函数、方程、不等式等知识打基础.

（三）教学目标

其一，通过对生活情境中的数量关系和变量关系的感觉、感受、感悟，了解一次函数图象的意义、内涵、价值，初步体会一次函数图象是直观呈现生活情境中数量关系和变量关系的有效模型.

其二，经历“生活—实验—猜想—抽象—推理—建模”的学思融通，对一次函数的图象进行数学化、结构化、模型化建构，在对比与类比中爱学、学会、会学.

其三，从不同维度、方位、层面提出、分析和解决问题，在发现、思考、抽象、反思中形成数感、发展思维，进而提升问题意识、抽象关联、数学建模等素养.

（四）教学重难点

重点：理解一次函数图象的本质，依托数形结合，探索建构数学模型.

难点：从生活情境体验中抽象一次函数的图象模型，学会用数学建模表征一次函数图象.

二、教学过程

（一）数学实验，生本活动

情境1：同时点燃高度为16 cm的五支香，每隔5分钟熄灭一支，测量并记录香的长度.

情境2：观察实验微视频现象，你有哪些发现？（播放课前录制好的微视频）

设计意图：问题情境的设计需要在遵循教材编写意图和学情的基础上进行.该环节通过数学实验的情境活动体验，唤醒学生基于自我理解的知识基础和方法经验，回归数学知识的源头.引导学生在“做”中动手、动口、动脑，使其在观察燃香高度数字的变化中，感悟随着5分钟时间间隔的变化规律，发现一次函数图象的雏形，进而思考如何用数学的方法描述这一规律，如何用数学的语言表达这一现象.如此，可借助情境思考引发学生的问题意识，激发其学习动力和兴趣点，使其在数感体验和情境抽象中发展思维能力.

（二）回归课本，让学引思

师：前几节课已经学过函数、一次函数方面的哪些知识呢？

生1：在某一变化过程中，数值保持不变的量叫作常量，可以取不同数值的量叫作变量.

生2：一般地，如果在一个变化过程中有两个变量x和y，并且对于变量x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，那么我们称y 是x 的函数，x是自变量.

生3：像这样，在平面直角坐标系中，把以函数的自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标的点所组成的图形叫作这个函数的图象.

生4：一般地，形如y=kx+b（k，b 为常数，且k≠0）的函数叫作一次函数，其中x是自变量，y是x的函数.特别地，当b=0时，y=kx（k为常数，且k≠0），y叫作x的正比例函数.

师：函数是研究变量之间的对应关系，那函数关系又是如何表示的呢？

生1：可以借助表格，列举出函数中的自变量与函数值的对应关系.

生2：可以运用解析式，表述出函数中的自变量与函数值的对应关系.

生3：可以通过画直线或曲线图，呈现出函数中的自变量与函数值的对应关系.

设计意图：从本质上来说，学习的过程就是学生基于自我理解主动建构知识的过程，学生往往带着自身原有的知识背景、活动经验和思维方式走进学习过程，通过思考、交流和反思的过程，建构对数学的理解［1］.因此，让学生回归课本、学材和体验，可唤醒学生的相关记忆，为进一步探究一次函数的图象作铺垫.依托函数图象的形象直观特征，类比生成一次函数图象的概念表达，可让学生明白为什么要学习一次函数的图象，以及学习一次函数图象的必要性和重要性.

（三）回归实验，学思融通

1.列表法

可将香的长度与燃烧时间对应，每隔5分钟记录一次香的长度（如表1所示）.

表1 香的长度与燃烧时间的关系

2.函数表达式法

问题：如果设香的长度为y(cm)，燃烧时间为x(min)，你能写出y 与x 之间的函数表达式吗？

追问：依次连接香的顶端，你有什么发现？

3.图象法

［生本活动］以x 轴表示点燃时间，y 轴表示香的长度，建立直角坐标系，分别描出点A（0，16），B（5，12），C（10，8），D（15，4），E（20，0）.

变式思考：点A（0，16），B（5，12），C（10，8），D（15，4），E（20，0）在一次函数y=-0.8x+16的图象上，你能画出该一次函数的图象吗？

设计意图：学习是具有情境性、问题性、抽象性的思维活动，数学学习是在情境问题引领下，通过系列活动的开展，引导学生实现从“合法的边缘性参与”到“充分的主动性参与”的转变［2］，进而在实践与思考中完成知识的理解、方法的掌握和思想的领悟.因此，该环节设计了具有内部逻辑关联的系列活动，先通过解读实验中相关数据的因果关联，从数据处理的视角展开探索，从一一对应的横、纵坐标数据变化趋势中提高学生的数感能力，提升学生的抽象能力，再引领学生从函数的三种表现形式入手，对数据进行处理并尝试建构模型，初步感受列表、描点、连线的作图过程.如此，依托问题驱动、操作驱动、建模驱动深入培养学生数感，可为其理解一次函数图象本质（即由无数个点组成的一条直线）打基础.

（四）建构模型，探寻本质

【学思融通，经验化归】

（1）画一次函数图象的一般步骤：列表、描点、连线.

（2）一次函数的图象是一条直线.

［学本活动一］请同学们根据刚才获得的经验，在平面直角坐标系中尝试画一画函数y=x，y=2x，y=2x+1的图象．

变式训练一：你能说明点A（-1，3），B（1，3），C（-2，-3）中有哪些点在一次函数y=2x+1的图象上吗？

变式训练二：请在同一平面直角坐标系中，画出函数y=-x，y=-3x，y=-3x+3的图象．

［学本活动二］你能用简捷的方法画出一次函数y=2x+1，y=-3x+3的图象吗？

变式训练三：你能用简捷的方法画出正比例函数y=x，y=-x的图象吗？

问题：你能用数学语言总结你发现的活动规律吗？

设计意图：数学的教学是思维的教学，学生的思维发展需要在系列问题的深度思考中实现.该环节经历两次操作活动和三次变式训练，让学生在动手、动口、动脑画一次函数图象的亲身经历中体验图象本质（即一条直线），在对一次函数模型“y=x，y=2x，y=2x+1”和“y=-x，y=-3x，y=-3x+3”系列问题的探究中生成体悟，从“数”到“形”培养学生的数感.系列问题的探索遵循从特殊到一般的思维发展路径，要求学生结合对变量关系的感性呈现和数形关系的抽象思考，发现一次函数图象的本质规律，并在用自己的语言进行表达的过程中，明晰思维过程的路径逻辑.这可使学生进一步梳理、优化对知识的理解，体现知识的价值旨归.

（五）学习反思，融会贯通

【学思活动，体会知识】

这节课你学到了哪些新的数学知识，从中理解了哪些数学思想和方法呢？

【生思活动，体悟哲理】

著名数学家华罗庚说：“数缺形时少直观，形少数时难入微.数形结合百般好，隔离分家万事休.”［3］

【学思融通，迁移应用】

生活中处处有常量、变量.

设计意图：数学学习是在情境问题的深度思考中，经过知识的理解、迁移和创新，不断回顾反思和自我调节的过程.在回归生活、回归课本、回归课堂的梳理、归因、反思和建构中，用数学的语言观察、思考和表达现实世界，可提升学生的数学抽象、推理和建模等素养，发展学生的情境认知和数感素养.

学习一个数学模型，需要掌握模型的本质属性及内在关联，再经历它的应用反思.简单地说，就是要从“名称、定义、性质、应用、反思”五个要素上理解概念.学生思考归纳，教师帮助其梳理：一条直线（一次函数的图象），两种思想（数形结合，特殊到一般），三种形式（列表法，函数表达式法，图象法）.这充分体现了通过问题情境、数学抽象和数学建模来培养学生数感素养的思维逻辑.

三、教学反思

（一）真回归：体现思维生活化

章建跃老师说：“数学教学一定要在理解数学、理解学生、理解教学的基础上，回归生活的本质，注重数学的整体性，提升系统思维水平.”［4］回归生活本质，能让学生在理性思维、感性认知和知识关联中生成对数学学习的经验突破.一次函数的图象是生活数学与生活图形知识的高度融合，这节课基于学情，准确定位学生的最近发展区，精心设计“真、趣、美、简”兼备的数学情境，让学生在思考中引发认知冲突，形成数学问题，引领探究活动.依托燃香识变化等生活原型场景思考，让学生在课前建构中通过“观、做、思”等具身认知，在操作体验、数学实验、综合实践等活动中培养数感.经历“体验—操作—试错—析错—释错”思维活动后，学生对一次函数的图象学习所关联的数与量、数与形等知识的本质有了深度理解，从而在“做数学”中增强了数感、量感、空间感，为进一步突破为何学、学什么、怎么学打下基础.因此，在真情境中感知并思考问题本质，在真回归中充分体现数感思维的生活化、原型化、本质化，可有效提升学生的核心素养.

（二）真学思：凸显思维可视化

吴正宪老师说：“一节好的数学课，新在理念，巧在设计，赢在实践，成在后续.”［5］一个教师的成长就是实践加反思的过程，实践、交流、反思、汲取，如此循环.只有这样，才能使数学的种子在学生纯真的心田生根、发芽、开花、结果.这节课通过引领学生回归生活、回归学材、回归实验，依托数形结合从“数理解”到“形思考”，使学生的数据分析、几何直观、空间观念等思维能力得到有效提升；这节课还注重在列表、描点、连线的实验操作中，强调学生的结果呈现和思维表达，并结合两次操作活动和三次变式训练的过程，借助图示、表格、操作和表达，变抽象为直观、转内隐为外显、化结果为过程，在多元表征中达成隐形思维显性化、显性思维策略化、高效思维自动化［6］，从而使学生的数感思维、理性思维得以发展.通过系列活动、思考和交流，学生生成了一次函数图象是一条直线的本质理解，悟化了一次函数图象的价值旨归，教师则建构了生本课堂和学本课堂，并从“生活线—知识线—数学线”的视角串联课堂，梯次拔节，生长思维，使学生在真学思中凸显思维的可视化，提升数学素养.

（三）真融通：彰显思维素养化

史宁中老师说：“数学教学的最终目标，是要让学习者会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界，会用数学的语言表达现实世界.”所谓数学的眼光，其本质就是抽象，数学的思维本质就是推理，数学的语言本质就是模型［7］.一次函数的图象是刻画现实生活中变量关系的数学模型，是学生学习其他相关知识的重要基础.这节课主要从生活事例出发，借助问题情境、数形结合、生活体验展开教学，突出三个方面的教学主旨，即体现学生主体意识，体现学生思维层次，渗透数形结合思想，进而发展学生的数感素养.这节课从分析知识到分析思维，从“数感”到“量感”，从概念演绎走向逻辑推理，让学生在“引悟—感悟—顿悟—慧悟”中生成一次函数的图象，洞察问题情境，体悟图象本质.这节课依托问题驱动、操作驱动、学思驱动，在显性资源、隐性资源的抽象提炼中凸显生活化、符号化、数学化，使得课堂更高效、更精彩、更灵动，在情境问题思考的学思融通中共生学本、生本、学力课堂，培养学生理解、建构一次函数图象思维模型的能力，从而发展学生的数学抽象素养.

（四）真跨界：体会数感抽象化

跨界教学是适应《课程标准》的一项针对学生综合发展、可持续发展的重要举措.基于数感主要是对数、数量、运算及估算结果的直观感悟，这节课通过一次函数图象的直线模型建构，从代数推理到几何说理，利用直线来拟合实验数据，从感觉、感知到感悟数据变化中的图形变化，使学生在直观感悟和深度思考中提升数感能力，发展数感思维，提高数感素养.通过列表法、函数表达式法、图象法，学生深度感悟一次函数图象的本质就是一条由无数个点构成的直线.这节课依托数学抽象、推理、模型，帮助学生在“数理解”与“形思考”的知识统整中进行思维拔节，发展与提升数感素养.在这种跨界融合中，学生逐步养成经验变通、知识贯通和学科打通的好习惯.而在显性学力和隐性学力的跨界融合中，通过数学抽象和建模实践引领学生解决问题，利用问题驱动、学思驱动、跨界驱动实现精准施策和精准施教，可实现基于情境问题的多维度和多层面的融合抽象，进而高效培养学生的数感.