三直线斜率之商为定值的本质与推广*

广东省东莞市第四高级中学(523220) 谢忠忠

一、试题呈现

题目(2024 届广东省四高三第一次联考)已知过原点O的直线交椭圆E:于A,B两点,R(2,0),∆ABR面积的最大值为

(1)求椭圆E的方程;

(2)连AR交椭圆于另一个交点C,又分别记PA,PR,PC的斜率为k1,k2,k3,求的值.

答案: (1)E:

二、推广探究

结论1已知过原点O的直线交椭圆1(a > b >0)于A,B两点,R(n,0),连AR交椭圆于另一个交点C,取点分别记PA,PR,PC的斜率为k1,k2,k3,则为定值

证明设A(x1,y1),C(x2,y2),AC的方程为x=ty+n,将其与椭圆方程联立得到

将结论1 中的椭圆换成双曲线与抛物线,可以得到相应的结论2 和3.

结论2已知过原点O的直线交双曲线E:1(a >0,b >0)于A,B两点,R(n,0),连AR交双曲线于另一个交点C, 取点分别记PA,PR,PC的斜率为k1,k2,k3,则为定值

结论3已知过原点O的直线交抛物线E:y2=2px(p>0)于A,B两点,R(n,0),连AR交抛物线于另一个交点C,取点P(-n,m)(m /= 0),分别记PA,PR,PC的斜率为k1,k2,k3,则为定值

结论2 和3 的证明与结论1 类似,不再赘述.

进一步,可否将过原点的直线推广为过任意一点的直线呢? 通过GeoGebra 验证发现结论也成立,故将其进行推广得到:

结论4已知过点Q(p,q)的直线交椭圆E:1(a > b >0)于A,B两点,R(n,0),连AR交椭圆于另一个交点C,取点分别记PA,PR,PC的斜率为k1,k2,k3,则为定值

结论5已知过点Q(p,q) 的直线交双曲线E:于A,B两点,R(n,0), 连AR交双曲线于另一个交点C,取点,m)(m /= 0),分别记PA,PR,PC的斜率为k1,k2,k3,则为定值

结论6已知过点Q(p,q) 的直线交抛物线E:y2=2px(p>0)于A,B两点,R(n,0),连AR交抛物线于另一个交点C,取点P(-n,m)(m /= 0),分别记PA,PR,PC的斜率为k1,k2,k3,则为定值

结论4,5 和6 的证明与结论1 类似,不再赘述.