对解析几何中韦达化以及非对称韦达化处理的策略分析*

四川省成都市第七中学(610041) 罗文力

四川省成都市西北中学(610021) 周祝光 成都市教育科学研究院(610014) 黄祥勇

解析几何基本思想是用代数的方法处理几何问题. 其基本的解决问题策略是先用几何的眼光观察分析问题,再用代数的方法进行运算. 数学运算本质上也是一种思维模式. 这种思维模式的过程包括:理解运算对象→掌握运算法则→探求运算思路→选择运算方法→设计运算程序→求得运算结果. 在具体解决问题的过程中,当探求了运算思路后,如何选择合理的运算方法和处理策略对求得运算结果显得尤为重要. 解析几何中常见的运算处理思路是将直线与曲线方程联立后,用方程根的性质来进行化简完善. 考虑到中学阶段的圆锥曲线以二次曲线为主,与直线方程联立后获得一元二次方程,一元二次方程中韦达定理的使用是一种常见策略.对于非对称的韦达化结构,文[1-4]等均有研究,但此类研究主要停留在具体问题或者具体结构,对于非对称韦达化与韦达化之间的关联转化分析不够全面. 故此,本文从韦达视角探析对代数式的运算处理策略.

一. 韦达化处理

核心条件坐标化后,并不全是直接韦达化的形式. 对于坐标化后的表达式不是韦达形式的, 还需进行韦达化处理.韦达化主要有两个路径:代换和配凑.

(一)韦达化处理一: 代换——在x,y 二者中消去其一

由于我们联立后的方程式关于x或y的二次方程,韦达定理中的两根之和与两根之积只是单独的x或y的形式,而此时坐标表达式并非是直接的韦达形式,因此需进行代换.

案例1直线l与抛物线y2= 2x交于A,B两点,且满足OA⊥OB,证明: 直线l过定点.

部分解析由题意, 直线l不与x轴平行, 故设l:x=ty+m,其中m /= 0,设点A(x1,y1),B(x2,y2),联立l有抛物线的方程消x得:y2-2ty-2m=0,∆>0,则

y1+y2=2t, y1y2=-2m,

因为OA⊥OB,则即x1x2+y1y2=0.

余下的求解过程有两个思考方向:

方向一(直线代换) 由于从而,x1x2=t2y1y2+tm(y1+y2)+m2,代入得:

即m2-2m=0,解得m=0(舍)或m=2,即直线l过定点(2,0).

注通常情况下,我们在解答题以直线代换居多,这里不再赘述. 但需要注意一点,一般而言,如果选择代换消去y,则正设直线;如果选择代换消去y,则反设直线.

方向二(曲线代换)由于代入得=m2-2m= 0,解得m=0(舍)或m=2,即直线l过定点(2,0).

注对于核心信息表达式中的一次项,一般以直线代换为主. 而曲线如果为抛物线,也可以用抛物线代换,如例题中抛物线为y2=2x,因此对于x的一次式可以用曲线代换. 反之,如果抛物线为x2= 2py(p >0)则可用曲线对y进行代换,由于我们要代换的是y,因此联立后的方程保留为关于x的二次方程,同时直线的假设则以正设为主.

案例2在平面直角坐标系xOy中,椭圆Ω:的上顶点为A,点B,C是Ω 上不同于A的两点,且点B,C关于原点对称. 记直线AC,AB的斜率分别为k1、k2, 求证:k1·k2为定值.

分析此题中核心信息即直线AC,AB的斜率. 由题易知点A(0,1),要表示AC,AB的斜率,还需要引入参数,因为B,C关于原点对称,故不妨设B(x1,y1),C(-x1,-y1),那么是否需要引入直线方程呢? 对此略作分析如下:

接下来需要考虑代换问题,观察到目标信息是二次形式,代换中我们提到,对于单元二次形式的,可采用曲线代换,由于此时还未引入直线方程,看来也是不需要了. 由点B,C在曲线上,故有代入目标信息中可得k1·k2=为定值.

解析依题意, 设点B(x1,y1),C(-x1,-y1), 则k1=又点B椭圆上,故有代入可得故原命题成立.

(二)韦达化处理二: 配凑

即x1+x2-4 =-k(y1+y2),其中k为直线AB斜率;对y1+y2再用直线代换,即y1+y2=kx1+m+kx2+m=k(x1+x2)+2m,得x1+x2-4=-k[k(x1+x2)+2m].

此处y1y2考虑直线代换,

y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+mk(x1+x2)+m2,

再代入上式可得(k2+1)x1x2+(mk-2)(x1+x2)+m2+4=0,

而y1y2=k2x1x2+mk(x1+x2)+m2,整理得(2k+1)x1x2-(2k-m+2)(x1+x2)-4(m-1)=0.

二. 非对称韦达形式的处理

我们明明求了韦达定理却无法代入,这时我们就需要通过所求得的韦达定理找到x1+x2和x1·x2之间的关系,将

其中一个替换,常用手段是把乘法的替换成加法.

案例3已知点F为椭圆E:的右焦点,A,B分别为其左、右顶点,过F作直线l与椭圆交于M,N两点(不与A,B重合), 记直线AM与BN的斜率分别为k1,k2,证明为定值.

此题条件为直线AM与BN的斜率k1,k2,显然要设点,不妨设M(x1,y1),N(x2,y2),而由题可知A(-2,0),B(2,0),因此k1=从而目标信息要证明其值为定值. 从目标信息的形式来看,用x或y表示并无差异,考虑到直线不与x轴重合,故采用反设直线要方便些,因此设l:x=ty+1.

通过直线替换后可得

出现了韦达定理结构之外的形式,即落单的y1和3y2,像此类结构,一般被称为“非对称韦达”,下面我们介绍几种常见的处理策略,为此,先联立l:x=ty+1 与消x得(4+3t2)y2+6ty-9=0,易知∆>0,则

策略一: 和积转换——找出两根之和与两根之积的关系

若看不出两根之和与两根之积的关系怎么办呢? 我们不妨用待定一下系数,设y1y2=λ(y1+y2)+µ,则

易得

注上面使用的是纵坐标的和积关系,若正设直线,这需直线的斜率存在;同理,借助横坐标的和积关系也可证明,或用于验证斜率不存在时的情形. 考虑到本例中反设直线,两根的和积关系显而易见,而对于一般的和积关系式,二者的关联可能不是那么明显,如此例中正设直线,具体可参看策略三中的解析.

策略二: 配凑半代换——局部作韦达代换,余部作配凑

得证.

分母可作类似处理,得

上面使用的是纵坐标的配凑半代换,借助横坐标的配凑半代换亦可证明,可自行尝试.

策略三: 先猜后证

可以先找一个特殊情况先得到该定值, 进而再证明其他情形也为该值. 显然先考虑直线l斜率不存在时的情形, 此时对应为此时均有, 为定值. 当直线l斜率存在时, 不妨就正设直线l:y=k(x-1), 将其与椭圆方程联立消y得(3+4k2)x2-8k2y+4(k2-3)=0,易知∆>0,则

上述先猜后证采用的是正设直线. 当然,正设直线的方法,也适用于和积关系和配凑半代换的处理策略. 再次以例3为例. 目标信息直线代换后得

若采用和积关系处理策略,观察韦达不难发现,此时和积关系没有反设直线那么直观,那么我们该如何寻找其关系呢?

一方面,可以采用待定系数,设x1x2=λ(x1+x2)+µ,求解λ,µ得出和积关系. 如此处设x1x2=λ(x1+x2)+µ,即

得证.得证.

注通过上述例题易知: 对于非韦达问题,我们可以有5 中解题方法: 和积转换(正设直线,反设直线)、配凑半代换(正设直线,反设直线)、先猜后证. 不同的方法和直线的设定,对后续的计算处理将产生不同的影响,计算量也存在较大差异.

和积转换及配凑半代换方法是处理“非对称韦达问题”的通法,而猜证结合也探究类题型的有效处理手段. 除此之外,对于不同的结构和形式,还有一些其它处理技法,考虑到通用性,这里只讨论如上三种策略.

案例4点A,B是椭圆E:的左右顶点若直线l:y=k(x-1)与椭圆E交于M,N两点,求证:直线AM与直线BN交点在一条定直线上.

解析联立l与椭圆的方程并化简得(3 + 4k2)x2-8k2x+4k2-12=0,∆>0,

这是非对称韦达形式,怎么处理呢?

解法1(策略一: 配凑半代换)

故直线AM与直线BN交点在定直线x=4 上.

解法2(策略二: 和积转换)分离常数得:

点评本题若采用反设直线x=ty+1,计算量可能会更小一些,能够比较轻松看出y1+y2和y1y2之间的关系,从而进行代入消元,求得定值,此处不再赘述.