高中数学竞赛中递推数列问题的求解策略

宁夏银川一中(750000) 潘长江

数列是高中数学竞赛的必考内容,考题通常以递推公式的形式出现,考查数列的通项、前n项和及涉及到的数列不等式等问题,体现了转化与化归的数学思想方法,落实直观想象、逻辑推理、数学运算的核心素养. 解题的关键是如何将递推关系转化为通项,本文通过典型示例归纳总结这类问题的求解策略.

1. 次数不同,两边取对数

例1 (2021 浙江金华高中竞赛) 设a1= 1,a2= 2,

分析题目所给的递推式不含项数n,且an,an-1,an-2的次数不同,通过取对数将其转化为相同次数的项,然后求解.

解析由已知an >0,所以

点评解答本题的关键是给已知递推式取对数转化为再通过换元转化为线性递推关系从而求得bn,然后再求an. 一般地,当所给递推关系不含项数n,项之间是通过乘除、乘方、开方(不含加减)运算连接,且各项的次数不同,可采用两边取对数,将项的次数化相同,再利用线性递推式来求解.

2. 隔项递推,分奇偶讨论

例2(2021 全国高中竞赛) 设数列{an}的首项

分析本例所给的递推关系是隔项递推,是奇偶项数列,因而对项数n分奇、偶项讨论.

解析当n为偶数时,令n=2m(m ∈N∗),则当n为奇数时,令n=2m-1(m ∈N∗),则

点评本题解答的关键是令n= 2m(m ∈N∗),n=2m -1(m ∈N∗), 分别将奇、偶项数列转化为a2m+1=再利用待定系数法构造成等比数列. 一般地,隔项递推关系分奇、偶项讨论,通过迭代运算分别转化为奇数项与偶数项各自所成的数列,然后求解.

3. 线性递推,待定系数法

例3 (2021 全国竞赛)数列{an}满足a1= 0,a2= 1,

分析题目所给的递推关系是关于an+1,an,an-1,连续三项的线性递推式,可以采用待定系数法求解.

点评对形如an+1=pan -qan-1的递推数列,可设an+1-λan=µ(an-λan-1), 则有于是λ,µ为方程x2-px+q=0 的两根. 当∆>0 时,λ /=µ,则an=c1λn+c2µn,再利用a1,a2求出c1,c2代入an;当∆= 0 时,λ=µ,则an= (c1+c2n)λn-1,再利用a1,a2求出c1,c2代入an;当∆<0 时,考虑{an}是周期数列.

4. 混合递推,两边同除法

例4(2021 浙 江 高 中 竞 赛) 设a0,a1,··· ,an满 足则数列{an}的通项an=____.

分析题目所给的递推关系中含有混合项anan-2与an-1an-2,可以给等式两边同除以转化为线性递推关系,然后求解.检验得知: 当n=1 时,也成立.

点评本题解答的关键是给递推关系式两边同时除以混合项最终将其转化为线性递推关系bn-2 = 3bn-1,再用待定系数法确定bn,最后求出an. 一般地,如遇递推式中含有混合项,采用两边同除的方法,再结合换元最终转化为线性递推关系求解.

5.“六”型分式,两边取倒数

例5 (2016 内蒙古高中竞赛) 已知数列{an}满足求数列{an}的通项公式.

分析观察题目所给的递推关系式,其结构类似于“六”型分式,只要稍做变形,再取倒数,便可求解.

解析将递推关系变形得,

两边取倒数得,

点评对于结构类似于“六”型分式的递推关系,化归为“六”型分式结构,通过两边取倒数,然后变形可转化为熟悉的递推关系,再利用熟知的方法策略转化求得数列的通项.

6. 对称结构,构造常数列

例6(2021 全国高中竞赛) 已知正项数列{an}满足记数列{an}的前n项和为Sn,求的值.

分析题目所给的递推式结构具有对称性. 通过观察发现,只要适当的变形,可构造常数列.

解析由递推关系得,

点评构造常数列是数列求通项的一种方法,一般形式为an+1=an(n ∈N∗). 结合所给数列递推公式的特征,如果所给的递推式结构对称, 做适当的变形可转化为常数列,进而求出通项公式解决问题.

7. 对n 倍关系式,构造同型表达式

例7(2021 全国高中竞赛)已知数列{an}满足a1=1,且nan+1=(n+2)an+1,则an=____.

分析题目所给的递推关系nan+1= (n+2)an+1中,项an,an+1含有项数n的倍数关系,只要给两边同除以n(n+1)(n+2),转化为同型式.

解析将等式nan+1=(n+2)an+1 的两边同除以n(n+1)(n+2)得,

点评本例解答的关键是将递推关系nan+1=(n+2)an+1,转化为同型式

一般地, 数列递推式中如果出现数列项an,an+1的n倍关系,通过变形转化为同型式,再利用累加法或累乘法等求出通项.

由此可见,数学竞赛中递推数列问题,通常是通过化归与转化,最终化为等差数列、等比数列、简单的线性递推关系,只需用通项公式法、累加法、累乘法、迭代法、待定系数法求解. 因此,在平时的学习中要注重基础,才能发展能力,从而提升数学素养.