基于MIMO 雷达降维酉求根MUSIC 算法角度估计∗

尹大雨 章 飞 姬传堂

（江苏科技大学电子信息学院 镇江 212100）

1 引言

多输入多输出（multiple-input-multiple-output MIMO）雷达［1~6］采用多个天线发射和接收相互正交的雷达信号，因此能够产生虚拟阵元，扩大阵列孔径，提高测量精度，从而引起了国内外学者的广泛关注。近些年来，MIMO 雷达波达方向［7~11］（Direction of Arrival，DOA）估计问题一直是个热点研究方向。文献［12］研究了基于均匀线阵与非均匀线阵MUSIC 的相关算法，但需要谱峰搜索，计算量较大。文献［13］提出了基于双基地MIMO 雷达的求根MUSIC 方法，通过传统求根MUSIC 算法分别估计出DOD 和DOA，虽避免了谱峰搜索，但当信噪比较低时，精度不高。文献［14］采用了降维求根MUSIC算法，该算法虽然降低了计算维度，但还需要进行复值协方差矩阵的特征值分解和计算。文献［15］通过酉求根MUSIC 算法，将协方差矩阵转化为实值协方差矩阵，在文献［13］的基础上降低了运算量，但当阵元数较多时，计算量依然比较可观。文献［16］提出了一种单基地MIMO 雷达降维酉ESPRIT 的方法，降低了传统ESPRIT 算法的计算量，但需要较多快拍数来提高角度估计精度。文献［17］提出了波束空间算法，以减轻角度估计算法的计算负担，且有着较好的效果。文献［18］提出一种降维变换，用于通过合并MIMO 雷达虚拟阵列中的重复元素来降低MIMO 雷达角度估计的复杂性。文献［19］提出了一种基于单基地MIMO 雷达波束空间降维MUSIC 空间谱的方法，该方法取得了较高的角度分辨率，但仍然需要进行谱峰搜索，计算量大。

针对均匀线阵MIMO 雷达MUSIC 算法存在谱峰搜索计算量大，本文提出了一种基于单基地MIMO 雷达均匀线阵的波束空间降维酉求根MUSIC算法。该算法在传统MUSIC 算法的基础上通过降维变换与波束空间方法对接收数据进行降维处理，接着酉变换构建实值协方差矩阵，然后进行实值特征值分解得到噪声子空间。通过构建多项式，用多项式求根的方法来代替传统MUSIC 算法中的谱峰搜索，多项式所得的根即是目标的DOA 估计。该方法不需要进行谱峰搜索，计算量大大减少。

2 单基地均匀线阵MIMO 雷达数据模型

考虑包含一个均匀线阵的单基地MIMO 雷达系统，如图1 所示。发射阵列和接收阵列均是为间距半波长的均匀线阵，其中发射阵列包含M 个阵元，接收阵列包含N 个阵元。假设存在K 个不相关的信号，则接收阵列匹配滤波器的输出信号为

图1 单基地MIMO雷达示意图

式中的θk为第K 个目标的角度估计A=[ar(θ1) ⊗at(θ1),…,ar(θk)⊗at(θk)]，ar(θk)和at(θk)分别是对应于θk的接收和发射导向矢量。ar(θk)⊗at(θk)表示Kronecker积；sk(t)=βkej2πfkt，fk是多普勒频率，βk表示幅度；n(t)表示零均值方差为σ2IMN的MN×1 维的复高斯白噪声向量。由L个快拍数构成的数据矩阵为

式中的矩阵X为X=[x(t1),x(t2),…,x(tL)]，S=[s(t1),s(t2),…,s(tL)]，N=[n(t1),n(t2),…,n(tL)]。

3 波束空间降维变换处理

接收-发射联合导向矢量ar(θk)⊗at(θk)可以表示为

其中：

则矩阵A可表示为A=GB。

根据式（4），定义W=GHG，同时可以表示为

对于接收信号x(t)使用降维变换得

因为降维变换矩阵是稀疏矩阵且降维变换没有引起色噪声，所以变换带来的计算复杂度很小。波束空间变换［20］也是降低计算复杂度的一种方法，将之用于式（6）。定义矩阵Q：

当θϵ[θleft,θrigℎt] ，假 设 波 束 形 成 矩 阵T∊C(M+N-1) ×F由对应于矩阵Q 的较大特征值F（F

其中V=W(-1/2)GHn(t)，根据文献［17］，式（9）中波束空间处理的波束形成增益定义为

式中A(θ)=ar(θ)⊗at(θ)，Z(t)∊CF×1，V'=THV，由于THT=IF，V'是一个F×1 的高斯白向量，均值为0，方差为σ2IF。对于信号模型（9）协方差矩阵RZ可由L个快排得到即

信号子空间是由×QS的K个最大特征值所对应的特征向量组成。在无噪声的情况下，信号子空间可以表示为QS=THBDS，其中DS为满秩矩阵。可见信号子空间是THB的线性组合。噪声子空间是由×Qn的F-K 个较小特征值所对应的特征向量所组成的，输入信号所对应的转向矢量位于信号子空间QS中，因此与噪声子空间QS正交。

由此可得波束空间低复杂度MUSIC 空间谱如下：

4 酉变换实值协方差矩阵

显然当RZ为中心厄密特矩阵时，具有RZ=这一性质。一般情况下，我们采用前后平均式的方法来改善角度估计可以得到：

其中JMN表示M×N维副对角线元素均为1，其余元素均为0的交换矩阵。对RQH进行酉变换处理

OMN为稀疏酉矩阵，其偶数维和奇数维分别为

由式（14）推导可知：

5 单基地均匀线阵MIMO 酉变换ROOT-MUSIC 算法

对实值协方差矩阵RU进行特征值分解：

式中US为P×P的对角矩阵，其对角元素包含P个较大的特征值；Un为对角元素较小的MN-P个特征值的对角矩阵；ES由P 个较大特征值对应的特征向量组成；En由余下的特征向量组成。由传统ROOT-MUSIC 算法的原理可以求到单基地MIMO雷达的空间波束降维酉求根多项式：

令f(z)=0，即只需求出式（19）的N 个接近于单位圆上的根即可，也就是对于等距均匀线阵有

由式（20）可以估计出第i 个目标的DOA。结合以上理论分析，本文的方法步骤可以总结如下：

Step 1：根据单基地MIMO雷达搭建数据模型。

Step 2：对接收信号进行降维变换，即y(t)=W(-1/2)GH x(t)。

Step 3：基于式（8）构建波束空间变换矩阵T，利用波束空间处理获得z（t）。

Step 4：对接收矩阵z（t）构造协方差矩阵RZ。

Step 5：对协方差矩阵进行酉变换处理。

Step 6：对实值协方差矩阵进行Root-MUSIC算法运算，估计出目标的DOA。

6 仿真实验

本论文采用Monte Carlo 实验来衡量算法的角度估计性能。定义均方根误差（Root Mean Square Error，RMSE）为

式中J=300表示Monte Carlo试验次数，表示第J次实验中θk的DOA估计值，θk为角度真实值。

本文采用的是均匀线阵的单基地MIMO 雷达，阵元间距为半波长，发射阵元数M=6，接收阵源数N=6，快拍数=300，存在3个信号目标其角度分别为θ1=10° ，θ2=30° ，θ3=45° 。实验一：在信噪比SNR=5 的情况下对本文角度估计算法进行100 次仿真实验，如图2 显示，可以看出本文算法能够同时对多个独立目标进行准确角度估计，且适用于低信噪比情况，无需进行谱峰搜索。

图2 本文算法在SNR=5的角度估计

实验二：3 个相互独立的目标，信噪比由-5dB到20dB，间隔为5dB。图3 中显示的是本文算法与MIMO MUSIC 算法，ESPRIT 算法，UESPRIT 算法随信噪比变动RMSE变化趋势。表1则给出具体对比数据，可以看出，随着信噪比的不断增大，四种算法的均方根误差都逐渐变小，且本文算法精度更高，更稳定。

表1 随信噪比变化RMSE对比

图3 角度估计精度与信噪比的变化趋势

实验三：3 个相互独立目标信噪比均为5dB，收发阵元数均为6，进行蒙特卡洛实验次数为300次，图4 显示了在各个算法下的角度估计均方根误差与快拍数之间的关系，表2 给出了具体对比数据，可以看出各个算法随着快拍数的增加均方根误差逐渐减小。本文算法精度最高，且在快拍数低的时候有比MUSIC 算法，ESPRIT 算法和UESPRIT 算法更高的精度。

表2 随快拍数变化RMSE对比

图4 角度估计精度与快拍数的变化关系

实验四：快拍数=50，信噪比=10dB，在阵元数分别为10、20、30、40的情况下进行300次蒙特卡洛实验。图5 显示了在不同阵元数的情形下角度估计精度的变化趋势，表3 给出了具体数据对比，可以看出，随着阵元数的增加，各算法精度都在逐渐提高。在低阵元数的情况下本文算法有着比MUSIC算法，ESPRIT算法和UESPRIT算法更高的精确度。

表3 随阵元数变化RMSE对比

图5 角度估计精度与阵元数的变化关系

7 结语

针对均匀线阵单基地MIMO 雷达的角度估计问题。提出了一种基于波束空间降维酉变换的实值求根MUSIC 算法，该算法通过降维变换与波束空间方法对接收数据进行降维处理，采用酉变换的方式将一般协方差矩阵转化为实值协方差矩阵，降低了特征值分解时计算的复杂度和运算量。仿真结果表明，在低信噪比，低快拍数的情况下，该算法有着比普通MUSIC 算法，ESPRIT 算法和UESPRIT算法更高的角度估计精度。