数学思想在三角函数问题中的应用

田 鹏 熊亚莉

(重庆市长寿中学)

数学思想是解决数学问题的方向标,在数学思想的指引下,解题方向是明确的,需要建立的目标关系是确定的.高中数学中有很多数学思想,如数形结合思想、转化与化归思想、函数与方程思想以及分类讨论思想等.三角函数问题中蕴含的数学思想非常丰富,本文通过实例谈谈数学思想在三角函数问题中的应用.

1 数形结合思想

数形结合思想旨在借助图形的直观性解决问题,其既包含将代数问题转化为几何问题,又包含将几何问题转化为代数问题.应用数形结合思想能够达到“以形助数,以数解形”的目的.

1.1 绘制函数的图像解题

依据题意可判断出ω＞0,如若不然,设ω＜0,则函数离y轴的最近的一个极值点在y轴左侧,如果在(0,π)恰有三个极值点,则此时必有三个零点,与题设矛盾.根据五点画图法,绘制出函数f(x)的图像如图1所示.

图1

例2 (2014年全国Ⅱ卷理12)设函数f(x)＝,若存在f(x)的极值点x0满足＋[f(x0)]2＜m2,则m的取值范围是( ).

A.(－∞,－6)∪(6,＋∞)

B.(－∞,－4)∪(4,＋∞)

C.(－∞,－2)∪(2,＋∞)

D.(－∞,－1)∪(1,＋∞)

由于存在f(x)的极值点x0满足＋[f(x0)]2＜m2,故只需求解＋[f(x0)]2的最小值即可,此式还可以看成点(x0,f(x0))到坐标原点的距离.

由于函数f(x)为奇函数,因此只需对m＞0 时函数f(x)的图像进行分析.如图2所示,点A和B到坐标原点的距离相等,且是函数f(x)的所有极值点对应的点到坐标原点的距离最小值.不妨以点B为例,根据五点画图法可得),所以,解得m＜－2或m＞2,故选C.

图2

1.2 绘制单位圆解题

例3 (2023年新高考Ⅰ卷15)已知函数f(x)＝cosωx－1(ω＞0)在[0,2π]上有且仅有3个零点,则ω的取值范围是________.

设t＝ωx,则t∈[0,2ωπ],问题转化为方程cost＝1在[0,2ωπ]上有3个零点.

如图3 所示,设角t的终边与单位圆交于点P,根据题意,点P从点A开始逆时针旋转需要3 次经过点A,而旋转一次是2π,所以有4π≤2ωπ＜6π,解得2≤ω＜3,所以ω的取值范围为[2,3).

图3

求函数的零点就是求对应的方程的根,本解法巧妙地构造单位圆,将有3个零点转化为点P逆时针旋转时需要3 次经过点A,从而构建角t＝2ωπ所满足的不等关系.当然,本题也可以直接画出函数f(x)的图像或换元后再运用数形结合思想解决.若熟悉余弦函数的性质,则可以这样解:由cosωx＝1,可得ωx＝2kπ(k∈Z),即在[0,2π]上有3个解,可得,解得2≤ω＜3.

例4 (2018 年全国Ⅰ卷理16)已知函数f(x)＝2sinx＋sin2x,则f(x)的最小值是_______.

因为f(x)＝2sinx＋2sinxcosx,f(x)为奇函数且周期为π,所以不妨设A(cosx,sinx),其中,则点A在单位圆上运动,如图4所示.

图4

本题的解法较为新颖,根据三角函数的定义,可将函数f(x)表达式转化为关于点的坐标的表达式,进而应用数形结合思想将问题转化为一条曲线和单位圆的位置关系问题,显然当曲线与单位圆相切时取得最值.本题的解法很多,如导数法和不等式法,在此不再一一罗列,感兴趣的读者可自行求解.利用单位圆可以求解与三角函数有关的问题,如求函数f(x)＝3sinx＋4cosx的最值问题,只需要研究直线t＝4x＋3y与单位圆的位置关系问题,事实上有,解得－5≤t≤5,所以函数f(x)的最大值为5,最小值为－5.当然,运用单位圆还能解决运用导数不易求得的最值问题,如求函数f(x)＝sinx＋2cosx＋sin2x的最值.

2 齐次思想

如果一个代数式中的每一项字母的次数相等,则称此代数式为齐次式,如果一个分式的分子和分母中每一项的次数都相等,则称此分式为齐次分式.齐次思想指的是利用相应的关系将一个齐次的整式变成一个齐次分式,进而再转化为方程或函数问题求解.齐次思想也是将双变量问题转化为单变量问题的重要思想方法,在高中数学中有很多应用,如处理导数问题中的比值换元法、解析几何中的坐标平移法等.

由二倍角公式可知sin2θ＝2sinθcosθ,再由同角三角函数关系可知sin2θ＋cos2θ＝1,则

而

故选C.

由三角函数间的关系及tanθ＝－2可直接求解出sinθ和cosθ的值,进而再代入目标式子中求得答案,此种解法体现了从条件向问题的解题路径,另外该种解法中需要注意角的象限问题,也即由tanθ＝－2的值确定sinθ和cosθ的值并不唯一,但不影响最终的答案.实际上,若tanθ的值已知,形如f(sin2θ),f(sinθcosθ),f(cos2θ)的整式都可以通过除以cos2θ＋sin2θ变成一个齐次分式,转化为关于tanθ的代数式,进而求得答案.

3 转化与化归思想

转化与化归思想指的是将未知问题转化为已知问题,将不熟悉问题转化为熟悉问题,将复杂问题转化为简单问题.三角函数中的转化与化归思想重点考查利用三角函数间的各种变换关系,转化代数式中的角度、名称以及代数形式相关的问题.

3.1 转化角度

例7 (2020年全国Ⅰ卷理9)已知α∈(0,π),且3cos2α－8cosα＝5,则sinα＝( ).

故选A.

本题首先转化条件中的角度,利用二倍角公式实现从二倍角向单倍角的转化,同时在利用余弦的二倍角公式转化时要兼顾三角函数的类型.在转化角度之后,得到一个关于cosα的方程,求出其值,再利用同角关系求得sinα的值.一般地,在三角函数中转化角度主要运用三角函数的诱导公式、和差公式及倍角公式.值得注意的是在具体转化时要仔细观察式子的结构特征,选择合适的公式进行转化.

3.2 转化名称

根据题设,首先需要将正切转化为正弦和余弦,然后运用和差公式、诱导公式以及三角函数的单调性推得角度之间的数量关系.在解题时,尤其要关注角的象限对角的取舍问题.一般地,对于“知值求角”的问题,需要灵活地选择三角函数,再结合角所在的象限作出判断.

求解本题时,首先关注三角函数名称的差异,实施切化弦的思想,然后关注角度的关系,用二倍角公式统一角度.值得注意的是在选用余弦的二倍角公式时,要考虑到方程中还存在着其他的三角函数名称.当然对tan2α的处理也可采用正切的二倍角公式代入,然后再实施切化弦的思想.

3.3 转化形式

例11 (2016年全国Ⅱ卷文11)函数f(x)＝的最大值为( ).

A.4 B.5 C.6 D.7

由诱导公式和倍角公式得f(x)＝1－2sin2x＋6sinx,设t＝sinx,则t∈[－1,1],问题转化求函数y＝－2t2＋6t＋1在t∈[－1,1]上的最大值.

由于二次函数y＝－2t2＋6t＋1的对称轴为t＝且开口方向向下,则当t＝1时,函数y＝－2t2＋6t＋1取得最大值5,故选B.

要求函数f(x)的最大值,需要将函数f(x)的形式进行转化,转化为我们熟悉的函数.本题中运用诱导公式及倍角公式改变函数的形式,化为我们熟悉的二次函数问题,利用二次函数的图像求解问题.一般地,形如

等皆可以通过改变函数形式化为二次函数求解.

例12 (2021 年浙江卷理18)设函数f(x)＝sinx＋cosx(x∈R).

在本题中,无论是求函数的周期还是求函数的值域,改变函数的形式会使得问题更加简单.一般地,形如y＝asinx＋bcosx(ab≠0)都可以运用相应的三角函数公式变换成容易处理的代数形式.

4 小结

本文着重介绍了数形结合思想、齐次思想以及转化与化归思想在三角函数问题中的应用.当然,在解决三角函数问题时,往往同一个问题需要综合应用多种思想才能顺利解决,此外有很多三角函数问题能用多种方法或思想解决,具体情形留给读者探索.

链接练习

链接练习参考答案

1.B.2.C.3.D.4.1.5.A.

(本文系2022年重庆市教育科学“十四五”规划一般课题“大观念理念下主题学习的实践研究”(课题编号:K22YJ113524)的研究成果.)

(完)