解三角形中一个二级结论的应用

2023-10-19 09:49商文广

商文广

(辽宁省朝阳市建平县第二高级中学)

中学数学教材中的例题或习题经常出现一些二级结论,虽然这些结论不是教材指定的定理或性质,但对我们启迪思维大有帮助,尤其是在解答选择题或填空题时能帮助我们大大提高解题效率.本文列举解三角形中的一个二级结论加以说明.

结论在斜△ABC中,求证:

该结论告诉我们,在斜三角形中,三个内角的正切值之和与正切值之积是相等的,这个结论对我们解相关的题目有很大的帮助.

1 判断三角形的形状

在三角形中最多有1 个钝角,于是根据tanA•tanBtanC的正负,可以判断该三角形是锐角三角形还是钝角三角形.

例1 (多选题)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则下列结论正确的是( ).

A.若sinA＞sinB,则A＞B

B.若△ABC为锐角三角形,则sinA＞cosB

C.若acosB－bcosA＝c,则△ABC一定为直角三角形

D.若tanA＋tanB＋tanC＞0,则△ABC可以是钝角三角形

对于A,因为sinA＞sinB,所以由正弦定理可知a＞b,又在三角形中大角对大边,所以A＞B,故A 正确.

对于B,因为△ABC为锐角三角形,所以A＋

对于D,由二级结论可知tanA＋tanB＋tanC＝tanAtanBtanC＞0,又因为最多只有1个角为钝角,所以tanA＞0,tanB＞0,tanC＞0,即3个角都为锐角,从而△ABC为锐角三角形,故D 错误.

综上,选ABC.

由二级结论tanA＋tanB＋tanC＝tanA•tanBtanC,可知当tanA＋tanB＋tanC的值为正时,△ABC为锐角三角形;当tanA＋tanB＋tanC的值为负时,△ABC为钝角三角形.

当题目中出现与二级结论相似的等式时,只需与这个二级结论对照,就可求出相应的角.

例2 (1)在△ABC中,tanA＋tanB＋tanC＝tanBtanC,则

(2)在△ABC中,三个内角A,B,C满足A＞B＞C,且tanA,tanB,tanC的数值都是整数,则tanA＝_________.

(2)当A＜90°时,由A＞B＞C,可得tanA＞tanB＞tanC＞0,所以

即tanBtanC＜3.因为tanB,tanC的值都是整数,所以tanB＝2,tanC＝1,则tanA＝3.当A＞90°时,由

可得1－tanBtanC＞0,即tanBtanC＜1.因为tanB,tanC的值都是整数,此时无解,则tanA＝3.

在斜△ABC中,tanA＋tanB＋tanC＝tanAtanBtanC是个恒等式,在求三角形内角的正切值时,通常可以把它当成一个“隐形”的方程,求解相关问题时,可采依据已知条件,利用方程思想求出有关的角.

因为二级结论tanA＋tanB＋tanC＝tanA•tanBtanC中出现tanAtanBtanC,tanA＋tanB＋tanC,所以这个结论可以起到消元或整体代换的作用.

例3 在锐角△ABC中,若sinA＝2sinBsinC.

(2)求tanAtanBtanC的最小值.

(1)在△ABC中,有sinA＝sin[π－(B＋

C)]＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosB•sinC,于是由sinA＝2sinBsinC,可得

又△ABC是锐角三角形,所以cosC＞0,cosB＞0.在①两边同时除以cosCcosB,可得

所以tanAtanBtanC≥8,当且仅当tanA＝2tanB•tanC时,等号成立,故tanAtanBtanC的最小值为8.

本例属于解答题,所以二级结论不可以直接应用,需加以证明,否则考试时会扣分.

例4 在锐角△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若c＝3bsinA,则tanA＋tanB＋tanC的最小值是_________.本题考查正弦定理、两角和差正切公式、基本不等式的应用,解题关键是能够将所求式子利用两角和差正切公式进行化简,进而采用换元法将原问题转化为函数的最值问题.

综上所述,二级结论在数学解题中应用广泛.因此,在数学学习中,我们应该意识到知识在于积累,只有具备充裕的知识储备,才能让知识融会贯通,才能让二级结论发挥作用.

(完)