三角形面积公式的向量形式及其应用

张 平 冀文娟

(广东省珠海市实验中学)

三角形是最简单的几何图形之一,以它为背景命制的考试题在各类考试中屡见不鲜,其中与三角形面积相关的考查更是重点.三角形面积公式的表示形式多样,本文结合平面向量知识给出三角形面积公式的向量形式,并结合具体题目加以应用,以飨读者.

1 三角形面积公式的向量形式及坐标表示

1.1 三角形面积公式的向量形式

已知△ABC,则

1.2 三角形面积公式向量形式的坐标表示

2 应用举例

2.1 在解三角形中的应用

例1与例2是向量运算与三角形面积公式的简单应用,例1利用向量与坐标两种方法求解三角形的面积比,是公式的正向应用;例2则通过对已知条件的挖掘,找出三角形隐藏的面积关系,借助于坐标表示完成求解,属于公式的逆向应用.

例3与例4均是解三角形中面积最值问题的基本类型,但由于已知条件的呈现方式具有一定的“非常规性”,学生解题时可能会出现思维受堵,甚至无从下手的情况.因此结合三角形面积公式的向量形式能很好地帮助学生寻找解题方向,启迪学生思维.

2.2 在解析几何中的应用

例8 (2019年全国Ⅱ卷理21)已知点A(－2,0),B(2,0),动点M(x,y)满足直线AM与BM的斜率之积为,记M的轨迹为曲线C.

(1)求C的方程并说明C是什么曲线.

(2)过坐标原点的直线交C于P,Q两点,点P在第一象限,PE⊥x轴,垂足为E,连接QE并延长交C于点G.

(ⅰ)证明:△PQG是直角三角形;

(ⅱ)求△PQG面积的最大值.

(1)C的方程为(求解过程略).

(2)(ⅰ)证明过程略.

例9 (2021年全国乙卷理21)已知抛物线C:x2＝2py(p＞0)的焦点为F,且F与圆M:x2＋(y＋4)2＝1上点的距离的最小值为4.

(1)求p;

(2)若点P在M上,PA,PB是C的两条切线,A,B是切点,求△PAB面积的最大值.

(1)p＝2(求解过程略).

(2)抛物线C的方程为x2＝4y,即对该函数求导得

从例5～例9可以看出:三角形面积问题是解析几何命题的热点.从解题过程可以看出求解时先将面积表达式转化为坐标运算,最后通过直线方程或根与系数的关系完成面积表示,避免了求弦长、距离等繁杂的运算,大大简化了运算的过程.

求解面积的最值的方法很多,如基本不等式法、换元法、单调性法、导数法等.因此,学生在解题时要做到目标明确,有的放矢,因题而异,因题制宜,丰富解题途径与策略,灵活选择方法.

(完)