和差化积公式与积化和差公式的运用

杜海洋

(成都经济技术开发区实验中学校)

在2019年版的高中数学教材修订中,重新增加了“积化和差”与“和差化积”公式.例如,在人教B 版必修第一册第8.2.4节“三角恒等变换的运用”中,明确给出了上述公式.人教A 版必修第一册第5.5.2节给出部分的推导过程,其后在练习给出证明.本文初步运用公式进行和、积互化,应用公式对三角函数的求值、化简、证明进行探讨.

1 公式的证明

证明 由sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβ,可得

同理,利用cos(α±β)＝cosαcosβ∓sinαsinβ依次类推,可得

2 公式的运用

2.1 求值

例1 (1)求cos15°cos75°的值;

(2)求sin20°sin40°sin80°的值.

(1)由积化和差公式得

(2)由积化和差公式得

例2 (2019年普通高中教科书A 版数学必修第一册220 页练习第3 题第(6)小题) 求sin20°cos110°＋cos160°sin70°的值.

方法1 由诱导公式和积化和差公式得

方法2 原式等价于

cos110°sin20°＋cos160°sin70°＝

2.2 化简

例3 化简:

cos2(x＋y)＋cos2(x－y)－cos2xcos2y.

对原式等价变形可得

例4 (2019年普通高中教科书A 版数学必修第一册229页第6题第(6)小题)化简:

对原式等价变形可得

2.3 证明

例5 在△ABC中,求证:

证明 因为A＋B＋C＝180°,所以C＝180°－(A＋B),即

例6 (2019年普通高中教科书A 版数学必修第一册255页第16题第(3)小题)证明:

2.4 求最值

例7 在△ABC中,求sinAsinBsinC的最大值.

3 小结

以上公式的运用体现了教材中的例题或习题是编写者精心设计的典范.为充分发挥教材中例题、习题的作用,学生平时在学习过程中要善于抓住题目的特征,对教材中的例题、习题进行适当的取舍、变式与拓展.这样不仅能沟通知识间的内在联系,使解题的思维活动始终处于一种由浅入深、由表及里的“动态”进程之中,还能充分调动学习的积极性与主动性,培养思维的灵活性与广阔性,从而有效地提高解题效率.

(完)