引入参数角,巧解图形类最值问题

史宏亮

(兰州市第五十八中学)

求解以平面图形为载体的最值问题时往往需要先合理引入参数角,再灵活运用三角函数辅助解题.该解法充分体现了数形结合思想(侧重于由“形”到“数”)、转化与化归思想(侧重于将目标问题等价转化为与三角函数有关的最值问题)在解题中的综合运用.

1 求解平面图形边长乘积的最大值

例1 已知梯形ABCD是半径为2的圆的内接四边形,且,则该梯形的四条边长的乘积的最大值为_________

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图1

等腰梯形ABCD的四条边长的乘积的最大值为36.从整体看,本题设计较好,具有一定的难度,也具有一定的综合性,涉及解三角形、三角函数以及基本不等式知识的综合运用.此外,本题用到三角函数中的“平方差公式”:

2 求解平面图形周长比的最小值

例2 如图2所示,AC是矩形ABCD的一条对角线,已知正方形S1和正方形S2的周长分别为C1,C2,且它们分别内接于Rt△ACD和Rt△ABC,则的最小值为________.

图2

由于两个正方形的周长比等于边长比,所以本题即求两个正方形的边长比的最小值.设∠CAB＝θ,其中0＜θ＜.设正方形S1的边长为x,则设正方形S2的边长为y,则

本题设计较新颖,引入参数θ后,求解关键在于以下两点:一是根据图形,并结合CD＝AB,可巧妙地转化边长比为;二是通过“换元”,并借助双勾函数的单调性可巧妙求解的最小值.值得提及的是:本题将边长比进行转化的具体途径不唯一,还可根据AD＝BC转化,或者根据AC＝AC转化(即根据Rt△ACD和Rt△ABC有公共边AC可实现转化),请读者自行思考、完成.

3 求解平面图形面积的最大值

例3 如图3所示,PQMN是半圆O的内接矩形,△MNR是等腰三角形(点P和R分布在直线AB的两侧),已知半圆的半径OP＝2,且RM＝RN,

图3

(1)求矩形PQMN的面积的最大值;

(2)求五边形PQMRN的面积的最大值.

(1)设∠POB＝θ,其中

由图易得PN＝OPsinθ＝2sinθ,MN＝2ON＝2OPcosθ＝4cosθ,所以矩形PQMN的面积为PN•MN＝2sinθ•4cosθ＝4sin2θ≤4,当且仅当sin2θ＝1,即θ＝时,等号成立,故所求矩形PQMN的面积的最大值为4

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本题第(1)问比较简单,难点在于第(2)问的求解,需要在引入参数角的基础上,灵活运用“分割与组合思想”先写出五边形PQMRN的面积的函数表达式,再运用三角函数知识巧求最大值.从整体看,求解本题的关键在于合理引入参数角,等价转化目标问题,同时要注意有关三角函数知识在解题中的灵活运用.

本文通过归类举例剖析的形式着重说明,引入参数角可巧妙求解以平面图形为载体的最值问题,充分彰显了高中数学思想方法在解题中的综合运用,同时有利于培养学生在直观想象、逻辑推理以及数学运算等方面的核心素养.

(完)