关注三角形问题中一个不等关系的运用

桑振宇

(安徽省阜阳市太和县第八中学)

三角形中的三边不等关系就是“三角形的两边之和大于第三边、两边之差小于第三边”,由于此知识点是初中数学的内容,所以学生在解三角形的问题中容易忽略,导致解题思路受阻.为避免此类情况的发生,本文通过典型例题的分析与点评,展示三角形三边的不等关系在解题中的应用,供读者参考.

1 直接运用

在一些涉及三角形边的取值范围、边的变化情况的最值问题中,需要关注“三角形的两边之和大于第三边、两边之差小于第三边”的运用.

例1 在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足.若a＝4,试求b＋c的取值范围.

在△ABC中,由正弦定理可得

在解题过程中,运用余弦定理及基本不等式得到了b＋c≤8后,如果没有考虑到三角形中三边的不等关系,就会得到错误的答案.

则

又由三角形中三边的不等关系有

在解题中利用了“三角形中两边之和大于第三边”这一知识点确定出边长的取值范围,这是确定函数最值问题的一个重要依据,是解题的关键.

2 变形后使用

在一些关于三角形边的不等式问题及其运用中,我们要善于利用三角形中的三边不等关系构建满足题意的不等式.

已知平面上的任意三点,可以知道这三点要么在一条直线上,要么构成一个三角形,于是就得到一个不等关系,然后将函数式进行适当变形,使之能够利用基本不等式求最值.

例4 设a,b,c为任意三角形的三边长,且满足ab＋bc＋ca＝S2(S＞0),试确定三角形的周长a＋b＋c的取值范围.

设a＋b＋c＝I,则

由于a2＋b2≥2ab,a2＋c2≥2ac,b2＋c2≥2bc,故三式相加得

所以I2≥3S2.由于a,b,c为三角形的三边长,故a＜b＋c,b＜c＋a,c＜b＋a,于是

所以

即

从而I2＜4S2.

综上,3S2≤I2＜4S2,故三角形的周长a＋b＋c的取值范围是

通过分析题意,我们可以将不熟悉的问题转化为熟悉的问题,揭露问题的实质,然后根据目标解决问题,其中三角形三边的不等关系是成功解题的关键.

3 构建新结论再使用

在有关三角形问题的求解过程中,要适时地结合其他条件运用三角形中的三边不等关系进行推理,得到对解题有用的重要结论,进而求解问题.

例5 在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若不等式kb2＋ac＞19bc对任意三角形都成立,求实数k的最小值.

在△ABC中,由于不等式kb2＋ac＞19bc对任意三角形都成立,则

而c＜a＋b,则,所以

在本解法中,通过利用三角形中三边的不等关系构造了一个新的不等关系,成功地达到了消元的目的,为最后顺利求最值创造了有利条件.

由于对于任意实数x1,x2,x3,均存在以f(x1),f(x2),f(x3)为三边长的三角形,则必有f(x1)＋f(x2)＞f(x3),于是可将原问题转化为求函数的最值问题.易知

根据基本不等式可知2x＋2－x≥2(当且仅当x＝0时,等号成立),故当k＞1 时

所以

且

本解法抓住三角形三边所满足的不等关系将原问题成功地转化为求函数的最值问题.

本文充分反映了三角形中三边的不等关系在解题中的重要性,因此在解与三角形有关的问题时我们应关注这一隐性结论.

(完)