数学核心素养视域下的教学思考——以“圆锥曲线”习题课为例

王红芳 顾燕红

(江苏省沙溪高级中学 215421)

文[1]通过对学生的问卷调查和教师的访谈后发现:在解题教学中,由于教师缺失“本质理解”,导致学生缺乏知识的应用与迁移能力．圆锥曲线问题往往将方程、函数、数形结合等知识和方法统一起来,要求学生具有较高的数学抽象、数学运算和数学建模等核心素养．本文以一节圆锥曲线习题课为例,探讨数学核心素养视域下的教学设计和教学实践,为如何在圆锥曲线的教学中提高学生的数学核心素养提出相关的建议．

1 基本情况

1.1 前期准备

在已有相关研究的基础上,依据教科书,结合课程标准中有关数学核心素养的内容,进行了认真的备课,并与同行交流探讨,完成了一份基于数学核心素养的圆锥曲线的教学设计．

1.2 授课对象

学生来自江苏省四星级高中三年级的一个普通班,数学基础总体较好,具备一定的数学抽象、逻辑推理、直观想象等数学学科核心素养．

2 教学过程

2.1 活动1:自主试探

课堂开始,教师向学生展示了一道圆锥曲线的题目,让学生自主完成并请学生上台进行展示．

例1在一张纸上有一个圆C:(x+2)2+y2=r2(r>0)与点M(m,0)(m≠-2),折叠纸片,使圆C上某一点M′恰好与点M重合,每次折叠都会留下一条直线折痕PQ．设折痕PQ与直线M′C的交点为T,则下列说法正确的是( )．

A．当-2-r

C．当m=2,1≤r≤2时,点T的轨迹对应曲线的离心率取值范围为[2,4]

设计意图本题考查数形结合、函数与方程的思想,也考查数学抽象、直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养．学生通过自主探索发现数形结合在解决圆锥曲线问题中的重要性,同时意识到在解决轨迹问题时要寻找运动中不变的量．

2.2 活动2:例题探究

完成例1后教师进行归纳,说明数形结合在解决圆锥曲线问题中的重要性,同时向学生指出轨迹问题中要寻找不变的量．

(1)求C的方程;(2)点M,N在C上,且AM⊥AN,AD⊥MN,点D为垂足,证明:存在定点Q,使得DQ为定值．

学生分组讨论后进行交流．

生1:我们组发现,AD⊥MN,点D为垂足,DQ为定值,问题可以转化为求直线MN所过的定点,只要求到MN所过的定点,点Q即为点A与此定点的中点．

师:为什么点Q即为点A与此定点的中点?

生1:这个点我们看成点F,△ADF是直角三角形,直角三角形垂足D与斜边中点F连线的长度是斜边的一半．

师:所以本题我们转化为求定点问题,注重形在解析几何中的应用．

教师板书生1的方法．

数学运算能力需要学生在解题过程中亲身经历而得以提升．因此,在解析几何的教学中,教师要向学生展示解题的具体过程,帮助学生经历具体的运算过程．同时,圆锥曲线问题往往与平面几何内容相关联,充分利用平几知识有助于提升几何直观素养．

师:还有没有别的方法?

生2:可通过平移坐标系来简化运算过程．

师:如何平移,为什么这样平移?

生2:以点A为原点建立坐标系,直线MN的方程与椭圆的方程联立,构造齐次式方程解决圆锥曲线,能够简化运算过程．

齐次式体现了数学中的对称美与和谐美,而圆锥曲线就是这两种美的化身．构造齐次式方程解决圆维曲线问题,不仅新颖别致,而且能简化运算过程,减元增效．基本转化法、整体消元法、同构转化法、齐次处理法实现了设而不求．这几种方法在解题中相辅相成,学生需要体验其中的内涵才能提升解题能力．设而不求在解析几何解题中经常使用,是联系解析几何与函数、方程、不等式等相关内容的纽带和桥梁．将齐次式、整体消元等运算方法介绍给学生有利于提高其数学运算素养．

生3:还可以先求特殊情况再求一般情况．

师:对,我们先求斜率不存在的情况,再过渡到一般情况．

2.3 活动3:变式训练

图1

(1)求椭圆C的方程;(2)若点D是线段AP的中点,直线OD与直线FQ相交于点T,求证:点T在一条定曲线上运动．

设计意图例3考查了定点问题,通过变式训练,引导学生领悟其中的内涵．

3 教学建议

结合上述教学片段,笔者从逻辑推理、直观想象和数学运算素养培养三个方面给出相关的教学建议和思考．

(1)圆锥曲线的教学既要符合学生的认知规律,也要强调逻辑推理,这样才能让学生顺畅地掌握新的知识．教师要将解题思维和解题方法尽可能地展现出来,而不是单纯地讲解解题过程．如在讲解例2时,目标是找到定点Q,需要分析题干中哪些是有效的信息、针对这些信息应该想到哪些知识点、考虑哪些几何关系,这些都是对学生逻辑推理的培养．

(2)在处理圆锥曲线问题时要让学生养成作图的习惯,在图形中寻找各个变量之间的关系,培养学生数形结合的能力．在具体的解题过程中,学生经常陷入“找到了路”而“走不出路”的尴尬境地,从而导致很多学生对圆锥曲线问题望而生畏,甚至有学生调侃:不被圆锥曲线的运算所虐,不足以谈人生．但是,教师清楚地知道:从定义的视角出发,依托平面几何等知识对题目中的几何特征进行剖析,即把问题适当地几何化,让定义与几何相结合,往往能使解题思路豁然开朗．具体地说,在解决问题时动中求静,寻找定点和定值,能避免机械的运算,从而为解题找到一个合理的突破口．

(3)圆锥曲线问题变量多、运算量大,需要不断地挖掘题目中的不变量(定点、定直线、定值等),发现解决问题的突破口,以简化运算．数学运算是数学核心素养的重要组成部分,而圆锥曲线是运算训练的重要载体．在圆锥曲线问题的解决中,不仅仅需要大量的运算,而且需要学生仔细观察式子的结构特征．其实,在运算过程中,对于每一个关键点都要认真地审视式子结构的几何特征,从而调整运算方向,使问题迎刃而解．