解题教学“探究”的四重境界——以一道习题讲评为例*

田秀权

(江苏省常州市第一中学 213003)

1 问题提出

解题教学是数学课堂教学的重要组成部分,对于高三复习课更可谓是主旋律.波利亚指出[1]:教会学生解题是教会学生思考、培养学生独立探索的一条有效途径.遗憾的是,解题教学的现状与此目标存在一定的差距,很多教师在这方面的意识和能力都存在不足,直接影响了学生数学兴趣的激发、创新意识的培养和思维能力的提升.

如何有效开展解题教学?笔者认为“探究”是关键.让解题教学在追求“解法成因”“问题本质”“规律方法”和“思维训练”的探究中,促进深度学习的发生,实现解题具体操作与解题策略之间的融合.本文以高三二轮复习中一道作业习题的教学为例,谈谈解题教学“探究”的四重境界.

2 解题探究

(1)求C的方程;

图1

境界1探“选”方法,明确解题方向

题中涉及的几何元素多、几何关系复杂.由于分析问题的能力不足和运算能力的欠缺,大多数学生辨不清“方向”,陷于运算的“泥潭”,最终无功而返.因此解题教学中,尤其是二轮复习阶段,应探究、选择方法,以简驭繁,以明确解题方向,实现解题的“精准制导”.

部分学生提出由因导果,选择变量中的关键因素(k参或点参)进行推理运算;部分学生提出由果溯因,猜想、探究目标成立的充分条件.这些“可能的”解题方向,优劣点是什么?可行性如何?可通过绘制思维导图的方式模拟解题过程,助力学生预判和选择(如图2～4).

图2 导图1

导图1是“k参”,设而不求,导图2是“点参”,设而求之,是解析几何的两个基本思路,但易想难算(作业中,学生基本上都“折戟”于此);导图3由果溯因,基于学生的理性分析和解题经验(要使直线DE过定点,直线AD,AE应该有一定的限制条件),猜测kAD和kAE存在确定的数量关系(难点),基于此猜想的后续运算则得到大大的简化(可行性更强).因此,解题教学需要在“模拟导航”的探究中明确“方向”(目标结论)、预估“风险”(思维受阻点或运算受阻点),最终选择最佳“路径”(解法).

图3 导图2

图4 导图3

教学思考从思维角度,学生对诸多方法的“选择”能力的培养,可以帮助他们在更高层面的思维架构中思考问题,提升思维的预见性,优化思维的品质.从应试角度,这种“选择”能力可以帮助他们避免因盲目尝试而带来的时间消耗或选择错误而造成“徒劳无功”.

境界2探“密”难点,破译“通关密码”

如果说境界1是探究并确定解题方向,那么境界2就是在探究中“解密”问题难点,破译问题解决的“通关密码”.

导图3中探究分成2个大的逻辑段.逻辑段1:在直线与圆的背景中(图5)探究kAM(即kAD)和kAN(即kAE)的关系;逻辑段2:在直线与双曲线的背景中(图6)证明直线DE过定点;难点是kAD和kAE究竟有没有确定的数量关系、有怎样的数量关系.

图5 图6

探究1极限探“定”

图7

探究2动中探“定”

图8

验证(因篇幅限制,仅呈现一种方法)

逻辑段2的证明(因篇幅限制,仅呈现一种方法)

教学思考著名数学家华罗庚指出:“善于‘退’,足够的‘退’,‘退’到最原始而不失去重要性的地方,是学好数学的一个诀窍!”“特殊化”“极限化”等思想方法是解题探究“退”的有效途径.由特殊到一般,以退为进,启发“数学猜想”,助推“数学发现”.

境界3探“源”本质,感悟思想方法

解题探究若仅仅满足于“一个问题”而不追求“一类问题”,那这样的探究是浅层次的,又何谈“触类旁通、格物致知”?对学生学科素养的提升、创新精神的培养以及学习兴趣的激发也必定是缺失的.就好比登山止步于半山腰,自然无法领略顶峰的无限风光、无法体会登顶的豪情万丈!

比如导图3逻辑段2中,斜率乘积为定值、直线过定点,是必然还是偶然?能否把命题一般化?逆命题是否正确?带着这些思考,可以探究出以下命题.(可先通过数学软件GeoGebra展示,让学生直观感知,再分小组探究)

把定值t特殊化,得到以下命题.这些命题既与学生已有认知融合呼应、前后联系(如命题3.1,作为双曲线的性质研究过但又略有不同),又发展、丰富学生原有的认知结构(如命题3.2、3.3),最终实现对知识的意义建构.

教学思考数学家波利亚说:“好问题类似于采蘑菇,采到一个后还应四处看看,也许还有更多.”[1]解题探究中,通过挖掘问题的内涵价值、拓展问题的外延范围,在发现“蘑菇群”的同时也实现了问题的追本溯源,让学生感悟问题的本质和思想方法,收获探究的“惊喜”,激发探究兴趣.

境界4探“诱”联想,促进知识、方法的迁移

心理学上,将已有知识经验对新知识的构建影响叫作“迁移”.教育心理学家奥苏贝尔认为,所有的有意义的学习一定会包含迁移这个过程,因此他提出了“为迁移而教”的观点.解题探究中,结合知识的联系、表征的抽象等,诱导、启发学生积极联想,理性探究,促进知识、方法的迁移.

导图3中逻辑段1,以圆为背景,也出现了“类似”命题3的性质,这是必然还是偶然?圆锥曲线是否都有类似性质?

首先根据圆、椭圆、双曲线方程结构特征的相似性,以及运算原理的一致性,让学生类比、猜想圆、椭圆的类似性质(把命题3中定点坐标的a2,-b2置换成r2得圆的类似性质,把命题3中定点坐标的-b2置换成b2得椭圆的类似性质),然后再推理验证和探究抛物线的类似性质.得到以下命题(篇幅限制,命题4～6的一些子命题省略).

教学思考探究过程中,让学生经历横向联系、观察分析、表征转化、模拟运算、类比猜想、推理论证的思维过程,一方面促进学生思维的发散和迁移,另一方面让学生从新的视角感悟圆锥曲线的和谐美,最终实现解题意境“一览众山小”般的通透.

3 感悟

解题探究的四重境界(方法→难点→本质→迁移)既是探究的方向,又是思维层次的四次飞跃:境界1侧重思维的整体性、预见性,境界2侧重于思维的逻辑性、灵活性,境界3侧重于思维的深刻性,境界4侧重于思维的发散性和创造性.解题探究中,问题的解决并非唯一目的,让解题策略在探究中自然获取,解题境界在探究中自然提升,思维品质在探究中自然优化,这是我们努力的方向!