基于整体设计的单元起始课——以“整式的乘除”单元为例*

刘春江

(浙江省杭州市文海中学 310018)

数学教材因为考虑学生的年龄、认知特点等因素,会依据课程标准采取螺旋上升的编排方式,将同一主题的知识编排到不同年级.这一处理方式易使学生缺少对相关数学内容的系统思考,教师也不易将相关数学内容的关系结构及来龙去脉开发为有效的教学资源.因此,根据学生实际情况,对教材内容进行合理化的整合是一线教师绕不开的一个任务.好的开始是成功的一半,在对单元进行结构化整合后,教师必然要聚焦整个单元的起始课进行教学设计,借以发挥单元起始课对后续学习的先行组织者作用.本文对“整式的乘除”单元起始课进行基于整体设计的尝试.

1 内容分析

1.1 对比教材划定单元结构

在深入研读《义务教育数学课程标准(2022年版)》(以下简称《2022课标》)的基础上,明确各版本教材的共同点和差异点,深入分析内在原因,这对设计教学具有重要的指导作用.对比人教版、北师大版、华师大版和浙教版“整式的乘除”“因式分解”以及“分式”等内容的编排位置,整理成表1.

与人教版教材相比,各版教材的编排顺序差异不大,不同点主要在于幂的除法运算部分.其中人教版教材将“幂的除法”放在整式的乘法之后,乘法公式之前,这样的编排按照“幂乘-式乘-幂除-特殊乘”的顺序,学生不易体会幂的除法运算的意义;北师大版和华师大版均将幂的除法设置在幂的乘法运算之后,然后再进行整式的乘法,这样的编排按照“幂乘-幂除-式乘-式除”的顺序,可以表述为“按运算对象划分子单元”,能发挥幂乘与幂除对后续式乘和式除的先行组织者作用;浙教版教材则是先将乘法运算完整的逻辑链条呈现:同底数幂的乘法-幂的乘方-积的乘方-整式的乘法-乘法公式-整式的化简,再进入整式的除法运算逻辑:同底数幂的除法-整式的除法,这样的编排逻辑可以表述为“按运算类别划分子单元”,以幂乘为根基,研究式乘时可以化归为幂乘,再以幂乘-式乘为先行组织者,使得研究式除的逻辑路径不需要教师传授,学生可以自行仿照式乘进行．浙教版这样的顺序既赋予了化归的依据又赋予了路径的参照,因此本文选择浙教版教材的路径进行单元架构(图1)．

图1 “整式的乘除”单元结构图

1.2 借助模型设定单元起始课学习目标

单元起始课的学习目标是学生通过学习后要达到的预期结果,是中观层面上的学习目标,是落实课程目标的基本单位.借助KUD模型对本单元起始课进行目标设计,使用概念性视角建设“幂的运算”子单元作为单元起始课来激发学生思维,并在处理“幂的运算法则”事实性知识的同时能达到“法则的推理论证”,引发学生协同思考,获得概念性理解,提高学习热情．为了使学生形成“猜想与论证相适应”的观点,将概念或观点与现实情境问题联系起来,实现更高层次的认知.本子单元的目标设计如表2．

表2 KUD模式的单元起始课学习目标

2 教学实施

单元起始课的设计逻辑采用从整体出发,逐渐分化,从运算实践出发,经历算法,归纳算理．具体操作为从整式四则运算的整体结构出发,引导学生从宏观架构到微观实践,自主将研究的问题具体化,通过运算实践寻找整式乘除的逻辑脉络,进而构建整体研究的思路,实现自主确定“先行组织者”策略,再按照知识的逻辑顺序逐步展开学习．这一设计的核心教学功能是从“概念+运算”的视角确定研究路径,建构数学学习的路径.选取教学实施各任务的核心活动呈现如下:

任务1知识回顾明算理

问题1 我们已经学习了哪些整式及其运算的知识?

追问1 整式加减运算的步骤如何?其实质是什么?依据是什么?

师生活动 学生回顾单项式及其次数、多项式及其次数、整式等概念,用自己写的整式进行加减运算;在正确运算后回顾运算程序——算法,并指出整式的加减运算实质是合并同类项,并进一步指出由于整式中的字母代表数,故运算的依据是加法的交换律和结合律——算理．

设计意图快速确定研究对象,回顾已学知识的内容及学习要求,即做到懂算法、明算理、理解数式通性,为后续学习提供支持.

任务2自主命题构路径

问题2 类比数的运算,你认为接下来可以研究整式的什么运算?

追问1 你能运用a,b,c,1,2,3这几个元素构造两个整式进行乘除运算吗?

追问2 (小组合作)能把大家写的两个整式的运算式进行分类吗?

追问3 观察这些算式,你能描述其中的关系并计划研究的路径吗?

师生活动 学生独立构造整式的乘除运算,再通过小组合作,将大家构造出的整式乘除算式分类,并归纳出整式的乘法包括单项式乘单项式、单项式乘多项式、多项式乘多项式;类似的,整式的除法包括单项式除单项式、单项式除多项式、多项式除多项式．

首先发现,整式的乘法运算仍是整式,而整式的除法运算可能会产生分式.对于多项式的乘法运算,可以利用分配律转化为单项式的乘积之和,再利用乘法交换律、结合律进行单项式乘单项式,而单项式的乘法运算中有一个特殊的情况是两个单项式都含有相同的唯一一个字母,即幂的乘法运算.因此研究路径可以定为“幂的运算-单项式的运算-多项式的运算”．

设计意图从整体上勾勒了本单元要研究的主要问题,让学生初步建构本单元的知识结构．从系统的角度设计基于数学事实的教学情境,落实单元起始课的一项主要目标．这样的设计具有整体连贯性,便于学生系统了解知识之间的联系,知道新知识从哪里来,将要到哪里去,同时还不失时机地应用了分类的数学思想,也为继续深入研究做好了化归思想的渗透,在学习知识的同时发展学生思维能力,丰富学生探究运算封闭性的活动经验．

任务3聚焦起始再细分

问题3 整式的乘法以单项式乘单项式为基础,又聚焦到幂的乘法运算.你能从幂的构成要素角度继续对幂的乘法运算进行分类吗?

追问1 能举例说明如何进行同底数幂的乘法运算吗?

追问2 能从幂的概念角度证明运算法则吗?

师生活动 学生独立思考幂的要素包含底数和指数,因此幂的运算应包含同底数幂的乘法、底数和指数都相同的乘法、同指数的幂的乘法等几类.教师引导学生聚焦到同底数幂的乘法运算,再由学生独立根据幂指数形式的数字乘法运算猜想同底数幂的乘法法则,最后由教师引导学生将幂还原成相同字母乘积的形式,运用定义证明法则．

设计意图对幂进行要素分析,并基于要素设计研究类别,积累分类及研究经验,完整建构单元起始课的主要研究内容;通过数的运算猜测法则并用回归定义的方式证明法则,为后续的起始课内容研究做好先行组织者工作,使学生既能熟练使用算法又能明白算理,强化代数推理的能力．

任务4积累经验特殊化

问题4 对于同底数幂的乘法运算法则,你能设计研究思路吗?

追问1 通过特殊的数字形式的运算发现的规律一定可靠吗?

追问2 目前我们有什么工具可以证明同底数幂的乘法法则?

师生活动 学生独立思考,尝试用数字幂运算发现同底数幂的乘法,教师引导学生回归幂的定义对运算法则进行证明．

设计意图积累特例是重要的数学研究经验,引导学生体会数学中研究特例的意义:特殊性之中蕴含着一般性及规律性,在从特例的性质推广到一般性质的深化过程中体会通过特殊化、分类等方法解决问题的思路,进一步积累代数推理的经验．在法则证明环节引导学生思维“溯洄从之”寻找依据,发现此处只能回归幂的概念,为后续化归思想做铺垫．

任务5延续路径再探究

问题5 能猜想同指数的幂——积的乘方运算法则并论证法则吗?

追问1 延续路径,你有什么困惑与好奇之处吗?

追问2 能对子单元进行复盘,回顾所学知识与学习路径吗?

师生活动 学生独立对同指数的幂——积的乘方进行算法探究与算法论证;引导学生继续对底数与指数均不同的幂的运算进行简单探究,最后由教师引导学生对幂的运算子单元进行回顾整理．

设计意图延续幂的要素分析与运算探究,如果仅停留在特殊情况,学生仍是被教师、教材牵着鼻子走,属于被动的学习.引导学生继续对底数与指数均不同的幂乘运算进行探究,将知识点置于知识系统中,使学生真正地实现见树木更见森林的状态,提升自主探究的能力．

3 教学说明

3.1 整体设计重组教学单元

新课标指出,数学教材为学生的数学学习活动提供了学习主题、知识结构和基本线索,是实现数学课程目标、实施数学教学的重要资源[1]．比较各版本教材,根据具体学情对教材进行重组,在单元的内容关联与结构、内容组织与呈现等方面着力进行重组以实现目标．单元内容组织时要特别注重来龙去脉,使教师的引导有逻辑、学生的兴趣被激发、学生的探索有方向,从而形成有利于引发学生思考、体现核心素养培养要求的教学任务．在对单元进行加工后发现,本单元幂的几种运算法则在探究过程、思想方法等方面具有紧密的内在联系:法则的探究方法均为由特殊到一般,算理均需回归幂的概念,过程均为法则得出后进行相关的应用.基于这些一致性,把幂的运算整合为一个学习子单元,并确定为单元的起始课．分步实施确定为:第1课时引导学生猜想、验证完成同底数幂的乘法法则探究,形成初步的研究路径;第2、第3课时延续路径,引导学生猜想、验证完成幂的乘方及积的乘方法则探究,积累特殊化、要素化的经验,如此既突出整个单元的整体性,又在单元起始课的学习中积累学习方法和研究路径．

3.2 先行组织发挥起始课作用

“幂的乘法运算”是整式乘法的逻辑起点,是该单元的起始课,是单元学习的开始,承载着单元知识以及学习方法、研究路径的引领作用．在教学中应该让学生理解研究对象得出的必要性和重要性、从哪些方面进行研究、研究的路径和方法是什么等,从而让学生明确学习目的,激发学习兴趣,增强主动学习的意识.基于这一教学设计对教材进行创造性加工和跨越式整合.依据美国教育心理学家奥苏贝尔“先行组织者”理论,在单元起始课中设计幂的乘法运算为先于学习材料的一个引导性材料,遵循“由特殊到一般的探究过程得到法则,用幂的定义证明法则,然后运用法则进行运算”的学习过程.研究路径和方法相同,研究对象指向了幂的要素——底数和指数,第一课时研究同底数幂的乘法,第二课时研究特例,即底数和指数都相同的幂的乘法——幂的乘方,第三节课则研究底数不同而指数相同的情况.教学中还可以根据学生实际理解情况酌情补充一些底数和指数均不相同的幂的运算问题进行思维拓展．以此逻辑构建新旧知识发生联系的桥梁,以便建立有意义学习的心向,让学生在后续全章内容的学习中,能站在整体的高度上俯视将要学习的知识,知其然及所以然,更知何由以知其所以然.充分发挥单元起始课教学的先行组织者作用,更好地促进学生的知识结构化,发展学生的数学能力,落实数学核心素养.

3.3 自主探究创建知识建构

作为单元起始课,既要为单元学习构建“先行组织者”,使学生明确单元的学习主线,又要让学生掌握“幂的乘法法则”．建构主义指出,学习是主体在现实的特定操作过程中对自己的活动过程的性质做反省、抽象而产生的.教学中要落实好知识的发生发展过程的建构,加强代数研究方法的积累,做到潜移默化地从数学的角度认识问题和解决问题.引导学生通过自主的活动完成对幂运算几种法则的完整探究,再根据不同法则之间的探究一致性举一反三,实现用做数学的方式学习数学,突出了数学思想方法,这是一种以学生为主体,以学生自主、探究、合作为基础的学习方式．为了让学生经历发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的完整过程,在幂的运算法则的探究过程中,教师可以通过呈现丰富的问题情境,引导学生自主发现和提出、分析、解决问题,经历问题解决全过程.

3.4 素养立意发展代数推理

数学教育家波利亚曾指出:数学家的创造性工作的结果是论证推理,是一个证明,但证明是由合情推理,是由猜想来发现的[2]．由此可以发现,培养学生的数学推理能力是数学教学的重要目标.《2022课标》在内容要求上也明确加强了代数推理.因此有必要在适当的单元加强对代数推理的研究与实施．猜想和论证作为代数推理的一种典型形式,由猜想到证明,由特殊到一般,从归纳推理到演绎推理,由发现到论证,逐步提升学生的推理能力．本单元起始课即通过整体的、系列的、一致的猜想-论证活动,逐步提升学生的发现与提出问题、分析并解决问题的能力,进而提高推理能力,提升核心素养水平．