基于APOS理论的高中数学深度学习的教学设计——以“平面向量的概念”为例

韦庆贺 刘希武

(江苏省连云港市厉庄高级中学 222121) (江苏省连云港市赣榆第一中学 222100)

1 APOS理论与深度学习

1.1 APOS理论

APOS理论认为,个体依序建构了心理活动(Action)、过程(Process)和对象(Object),最终组织成用以理解问题情境的图式结构(Scheme)[1]．APOS理论关注学生的主体性,在学生已有认知基础上,创设的情境与生活相联系,通过自主学习、小组合作、交流讨论等方式对知识进行知识建构.APOS理论与建构主义理论是密切相关的．

1.2 深度学习

深度学习是基于理解的学习,通过激发兴趣,让学生主动参与到知识构建的过程中,并结合新知与旧知,构建知识网络,在这过程中注重学生对知识的深入理解、批判、反思、整合与迁移应用,促进学生核心素养的达成[2]．深度学习注重对新旧知识进行联系,而新知是在旧知的基础上建构起来的,因此深度学习是一种典型的有价值的建构型学习．深度学习在一定程度上具备建构主义理论相似的特征.深度学习课堂注重情境与生活的联系,通过师生活动、生生活动促进学生对概念的感知、理解、掌握、建构,最终达到知识建构的目的．

1.3 APOS理论与深度学习的相互关系

(1)基于APOS理论的概念教学设计是实现深度学习的有效途径

APOS理论是为数学概念学习所建构的理论,描述了学习进入深度认知过程;APOS理论倾向于获得知识,侧重学习知识的过程、学习的形式,是学习一个概念的完整的过程,是纵向的,更有利于提升学生的创新思维．基于APOS理论的概念教学设计可以较好地揭示学生的认知规律,它作为实现深度学习的有效途径主要体现在两个方面:一是充分体现学生的主体性,从概念建构到概念网络体系的建构,科学合理地达成教学目标,有效提升学生学习的主动性;二是注重师生交流、生生小组交流研讨,侧重学习概念的完整性,有效促进学生概念学习向更深水平发展．

(2)深度学习是APOS理论指导数学概念教学的追求

深度学习是在教师指导下,学生围绕课堂上重、难点内容积极参与、体验成功、获得发展的有意义的学习过程．深度学习倾向于人的发展,关注知识获取的同时也关注人的发展,侧重知识的广度及知识的价值,在APOS理论的每个阶段中都可以进行深度学习的教学设计．利用APOS理论可以促进深度学习的实现,即在纵向获得完整知识的每个过程中横向发展,拓展知识的广度．

2 基于APOS理论的深度学习的教学设计

APOS理论适合概念课的教学.向量对高中学生来说是一个全新的数学概念,其特殊的形式和独特的运算体系成为解决数学问题的有力工具,理解向量概念是应用向量的基础．本文以人教A版普通高中教科书《数学》必修第二册第六章第一节“平面向量的概念”为例,展示基于APOS理论的深度学习的教学设计．

2.1 学情分析

学生已初步掌握一定的观察推测、归纳概括等能力;在学生已经学过的知识和已有经验中,与本节内容相关的有:数的抽象过程、实数的绝对值(线段的长度)、数的相等、0和1的特殊性、线段的平行或共线等,物理学科中速度、力等,这些将为学生自觉、有序、有效地认知向量概念提供“固着点”．这里,为了帮助学生建立向量的概念,与数、形的相关概念类比与联系值得重视,如数及其运算、直线(段)的平行关系等．

2.2 教材分析

本节课包括“章引言”和“平面向量的概念”两部分．章节起始课,应该把本章节要解决的主要问题、基本过程和主要思想方法等纳入教学任务中．本节课的教学内容包括向量的形式化定义及几个相关概念,更重要的是获得数学研究对象、认识数学新对象的基本方法,蕴含了用数学的观点刻画和研究现实事物的方法和途径．本节内容涉及的知识点有平面向量的定义及表示、零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量和相反向量的概念等．

2.3 与APOS理论四阶段对应的教学目标

根据APOS理论的四个阶段,确定学生在APOS四个阶段分别要达到的学习目标．

活动阶段 深度学习理论强调教学要体现“以学生为中心”的理念,创设问题情境,激发学生的好奇心,增强学生主动参与课堂学习的动机,通过对速度、力等实例的分析,感悟生活中存在既有大小又有方向的量,体会学习向量的必要性．

过程阶段 设定细化的目标导向,促进深度学习．通过问题引导的形式,类比抽象数量概念的学习过程,引导学生抽象出概念的本质特征,抽象概括得到平面向量的概念．

对象阶段 深度学习注重核心素养的培养．梳理概念相关知识点,利用平面向量概念解决相关的问题．比较向量和数量的区别,进一步理解向量概念．从整体的视角去看待所要学习的向量的概念,掌握向量概念的本质特征,并能够对这一对象进行数学运算．

图式阶段 与已有知识体系实现深度衔接,形成完整的知识框架,将平面向量作为一个新知识纳入已有的数学认知结构中,最终完成平面向量的综合图式．

本节课的教学重点是向量的概念、相等向量的概念和向量的几何表示;教学难点是向量的概念和共线向量的概念, 以及向量的几何表示的生成过程．

2.4 教学片段

2.4.1 活动阶段:创设情境,激发兴趣;情境分析,初识概念

活动1 南辕北辙——战国时,有个北方人要到南方的楚国去．他从太行山脚下出发,乘着马车一直往北走去．有人提醒他:“到楚国应该朝南走,你怎能往北呢?”他却说:“不要紧,我有一匹好马!”他能如愿到达楚国吗?产生这个结果的原因是什么?

设计意图在本阶段教师应该针对学习内容,通过恰当的设计来引导学生展开讨论;学生根据问题,目标明确地去讨论.交流研讨能够促进学生更深层次的学习,通过讨论教师也能了解学生课前自主学习情况.教师要及时对所设计的问题进行重难点分析．在此阶段,教师和学生要充分发表自己的理解,提出遇到的问题,促进学生深度学习．

活动2 在教室里,生1和生2相距2 m,我们可以用数量来表示他们之间的距离,那么我们如何来描述从生1到生2的这段位移呢?

活动3 哪位同学可以给我们解释位移和距离表示方法之间的共同点和不同点吗?

设计意图教师引导学生参与举例,让学生“动”起来,激活学生已有的相关经验,让他们通过观察、概括对象的共同属性,加深印象．再追问有没有只有大小、没有方向的量,通过辨析正例和反例来引起学生的认知冲突,解释向量概念的内涵,进而给向量下定义．这在一定程度上唤起了学生的学习兴趣,为深度学习的发生奠定一定的基础,同时也让学生了解向量存在的必要性,自然而然地开始本节新课,符合学生认知规律．在活动阶段,通过对新旧知识的联系和对比迁移,促使学生将知识进行建构整合,从而为后面构建向量图式搭建基础,实现深度学习．

2.4.2 过程阶段:问题引导,建构概念;内化反思,紧扣本质

过程1 现在同学们做一个游戏:把生3的眼睛蒙起来,让生3走2 m,生3会走到哪里?位置确定吗?

过程2 现在让生3睁开眼睛,朝正西方向走2 m,生3会走到哪里?位置确定吗?

过程3 我们可以在黑板上用一条线段来表示生3的直线运动轨迹,是不是不管生3如何做直线运动,我们都可以用类似这样的线段来确定生3的运动轨迹呢?如:向东直线移动0.5 m;向东南方向直线移动1 m．

设计意图在学生感性认识的基础之上开展交流活动,营造良好的学习氛围,是对活动阶段的进一步深入和展开,促进深度学习．在活动阶段学生已经认识位移和距离的区别,在过程阶段学生亲身感受向量概念的生成过程,此时新的概念呼之欲出,但是只靠这个过程并不能建构出向量的概念,需要继续设置问题情境．

过程4 刚才我们让生3移动到指定地点需要注意哪些要素呢?

过程5 还有哪些量具有这两个要素?

设计意图相关的物理量在过程阶段被逐个总结出来,向量概念的特征在学生的学习过程中被反复强化.教师提问让生3移动到指定地点需要注意哪些要素,让学生在培养概括能力的同时,初步感知新概念,引领学生实现学科思维从特殊到一般的转变．

过程6 从刚才我们让生3直线移动的过程中发现了一种新的量,与数量明显不同的是,它有两个很明显的特征:大小和方向．

过程7 请描述向量概念．

设计意图让学生描述向量概念,加深学生对向量概念的理解和对知识点的不断强化,感受数学是不断发展的.在过程阶段把教学活动做扎实以后,学生就很容易接受新概念的出现,利于促进学生的深度学习．

2.4.3 对象阶段:归纳概括,符号表征;实践练习,巩固概念

对象1 了解了向量的概念之后,我们应该如何表示向量呢?生3移动的过程中我们是怎么表示生3的位移的呢?

对象2 要想直观地表示生3的位移还需要注意哪些关键要素呢?这几个关键要素结合有向线段如何表示向量呢?

设计意图学生在过程阶段对向量的概念已有了初步的理解,本阶段强化学生对向量概念的深度探究,通过引导学生的思考形成数学活动经验,更加规范地界定向量概念的要素,概括概念的本质和特点,并对其赋予符号化的意识．本阶段体现了教师主导和学生主体作用,学生的思维能力也得到进一步的锻炼．

对象3 能否用有向线段表示所有的向量?长度为零的向量该如何表示?

对象4 能说出0与数量0的区别与联系吗?单位向量是如何定义的?

设计意图对象阶段完成了对向量概念的符号化过程,向量概念在本阶段变成了一个相对独立的“实体”,更易于对其进行整体性把握.把向量与数量进行辨析,加深学生对零向量与单位向量的“方向”的认识,学生整体性思维和批判性思维得到锻炼,促进深度学习的发生．整个向量概念体系初步建立,进入下面的图式阶段．

2.4.4 图式阶段:联系旧知,完善建构;整合凝练,深度认知

图式1 如图1,四边形ABCD是平行四边形,四边形EFGH是梯形,EF∥HG,图中的有向线段都表示向量,它们的起点和终点分别是所在四边形的顶点．

图1

(1)用符号表示各个向量;

(2)每个四边形对边上的两个向量的方向是否相同或相反?它们的长度是否相等?

设计意图为学生学习相等向量、相反向量、平行向量等概念提供背景,评价学生是否已掌握所学过的向量表示法,引导学生理解概念之间的联系与区别,建构完整知识结构;针对学生受直线平行与重合关系的负迁移影响,纠正学生认为共线向量不是平行向量的错误想法．扩大学生对于向量的认识框架,拓展图式的维度．

图式2 判断以下四边形ABCD的形状:

设计意图引导学生体会向量是代数与几何的桥梁,运用向量的关系可以方便快捷地解决几何问题．图式是对前面阶段知识的内化、归纳,将问题描述转化成向量的几何图形,并让学生对题目口述,能有效检测学生对知识的掌握程度.结合前两个阶段中对重点概念的建构,引导学生描述这些向量(相等向量、共线向量、相反向量)之间的关系,从而对概念进行联结整合.教学过程注重概念生成的过程,符合学生认知规律,降低抽象概念的学习难度．本环节教学活动注重小组间的合作交流、学生的回答、教师的引导,提升学生对平面向量的学习兴趣,学生的反思能力和迁移应用能力均得到了锻炼,利于实现深度学习．

图式3 回顾小结:

(1)请同学们回顾向量概念是如何产生的,总结本节课学习的向量概念及其表示方法,交流“相等向量”“共线向量”“平行向量”的理解;

(2)本节课学习过程中主要涉及哪些数学思想方法;

(3)通过已学知识画出知识架构图,将今天所学内容进行概括总结．

设计意图在教师的引导下,学生采用思维导图的方法把与平面向量的概念有关的知识点整合在一起,将向量概念的定义、表示方法、模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量等归入知识系统,从中提炼数学思想方法,掌握数学建模、类比思想、分类讨论、数形结合等数学方法,表明学生的头脑中已经形成了关于平面向量的一部分图式,已经掌握了一定的概括归纳能力．依据APOS理论图式阶段进行的教学设计,把本节所学的内容进行整合,进行新旧知识之间的联结,在促进学生深度学习的同时,引导学生构建完整的概念体系．

3 结束语

以何种方式传递知识并培养学生学习的自主性及深度学习的能力?如何挖掘知识更多的育人价值?这些问题已受到广大教育工作者的重视．本文基于APOS理论设计的向量概念教学流程,在教学过程中融入深度学习理念就是基于该目的的教学实践．