中国传统思维中的整体性思想:出入相补

张维忠 邵诺愉

(浙江师范大学教育学院 321004)

谈到几何,我们往往只知道欧氏几何,这是一套逻辑演绎形式的系统,标志着公理化方法的诞生．与欧氏几何体系不同,我国古代数学没有形成像《几何原本》那样的公理化体系,而是更强调机械化的程序算法,并形成了风格独特的另一套几何体系．我国古代几何学的特色之一,就是在经验成果的基础上,抽象概括出解决实际问题的一般方法和原理,并将它应用到各种问题上．出入相补原理就是中国古代几何学中最基本的一条原理．

1 什么是出入相补原理

1.1 出入相补思想的萌芽:《详解九章算法》

首先,我们来思考一个简单的问题．如图1,设点F是矩形ABCD的对角线BD上任意一点,过点F作一组邻边的平行线EH,GJ,直线EH分别与边AB,CD交于点E,H,直线GJ分别与边BC,AD交于点G,J,那么你能在这个图形中找到哪些线段的比例关系呢?你采用的是什么方法呢?

图1

杨辉并没有用到“三角形的相似性”的知识,但得到了相同的线段比例关系的结论,从中能够看到古代中西方几何学方法上的差异性．由于在这个问题中出现的两个矩形一个横着、一个竖着,故称此为“容直容横原理”．在容直容横原理中,最关键的是要抓住两个矩形面积相等,而如何解释这个相等关系,这其中就蕴含了出入相补原理．

1.2 出入相补原理的发生与发展

“臣闻昔汤、武以百里昌,桀、纣以天下亡．今楚国虽小,绝长续短,犹以数千里,岂特百里哉?”这是《战国策·楚策四》中庄辛对楚襄王的规劝．庄辛说:“现在楚国虽小,但是截长补短,算来也还有数千里,哪里只是百里土地呢?”庄辛是怎样计算楚国的国土面积的呢?不难看出,庄辛采用了“截长补短”的方法．许多先秦文献中都有诸如此类的一种思想:各部分的量发生了变化而总量不变．例如,《老子》中的“损有余而补不足”“损不足以奉有余”,有余者和不足者在经过损和补之后,各自的量发生了变化,但二者之和仍然不变;《礼记·王制》中的“凡四海之内,断长补短,方三千里”;《战国策·秦策一》中的“今秦地形,断长续短,方数千里”;等等．可见这一思想广泛地存在于一般诸子的说辞之中．这充分说明:先秦诸子具有认识和应用出入相补原理的思维背景．只是在当时,它并没有被提炼概括为一条一般原理[2]．

魏晋时期数学家刘徽在注《九章算术》勾股术时曾说:“勾自乘为朱方,股自乘为青方,令出入相补,各从其类,因就其余不移动也,合成弦方之幂,开方除之,即弦也．”这就是出入相补原理中“出入相补”四个字的由来[2]．当代著名数学家吴文俊将出入相补原理用现代语言概括为“一个平面图形由一处移置他处,面积不变．又若把图形分割成若干块,那么各部分面积和等于原来图形的面积,因而图形移置前后各个面积的和、差有简单的相等关系,立体的情形也是这样”[3]．这一原理是我国古代数学家依据面积、体积、测量这些方面的经验成果,总结提炼成的一般性原理,对这一原理的认识并不需要高超的推理技巧,一个平面图形或立体图形在移动或重组前后的面积或体积相等,这个道理是不言而喻的．尽管如此,依靠这条简明的原理就建立了我国古代平面多边形面积理论．同时,它还与另外两条“简明原理”——刘徽原理、祖暅原理,共同建立了我国古代整个多面体体积理论,形成了不同于西方的一套独特的、富有生命力的几何体系．

2 出入相补原理的古今应用

2.1 出入相补原理与平面多边形面积理论

回顾平面多边形面积公式的学习历程,我们最早接触的面积公式是正方形、长方形的面积公式,因为方形是所有平面几何图形中最简单、最基本的图形．中国古代数学典籍《九章算术》也最先在方田章给出方田(长方形)的面积公式,即长乘宽,随后有了圭田(等腰三角形)、邪田(直角梯形)、箕田(等腰梯形)等其他平面几何图形的面积公式,但均没有论证．刘徽在注《九章算术》时,将长方形作为基本图形,然后采用出入相补原理对其他平面几何图形的面积公式进行了论证．

图2

图3

对于箕田(等腰梯形),《九章算术》箕田术曰:“并踵、舌而半之,以乘正从．”“踵”指箕田的短底边,“舌”指箕田的长底边,箕田的面积为长短底边之和取半乘高．刘徽注术曰:“中分箕田则为两邪田,故其术相似．又可并踵、舌,半正从,以乘之．”将箕田分割成两个邪田,就可用邪田术求其面积,或者求长短底边之和取半乘高．刘徽所注的两种方法均可用出入相补原理,如图4(1)和 图4(2)所示．

图4

刘徽在长方形面积公式的基础上,运用出入相补原理推出了等腰三角形、直角梯形和等腰梯形的面积公式．还记得我们是如何推导平行四边形面积公式的吗?采用的也是类似的方法．在此基础上,我们还发现,不仅等腰三角形通过以盈补虚能够转化为长方形,任意三角形也能够转化为长方形．而由于平面内任意多边形可以分割成若干个任意三角形,所以任意多边形的面积也能够转化为若干个长方形的面积．因此,中国古代数学家仅仅依靠出入相补原理就建立了平面多边形面积理论．

最后,有一个值得我们思考的问题:任意多边形能否运用出入相补转化为一个与之面积相等的长方形呢?在19世纪30年代,一位匈牙利数学家波约和一位德国军官格尔文曾探讨过类似的问题,形成了波约-格尔文定理:两多边形面积相等的充分必要条件是它们剖分相等,剖分相等即将图形A剖分为有限块,将它们重新组合后得到图形B,就说A与B剖分相等．此定理也成为了出入相补原理的依据,使得出入相补法更具说服力．不同时代不同国家的数学家对同一些问题的探讨实现了中西方数学文化的交融,我们也看到中国古代数学家在这些问题上的贡献．

2.2 出入相补原理与“开带从平方”

“开带从平方”是中国古代的一种算法,指求形如x2+Bx=A(A>0,B>0)的一元二次方程的正根的一种方法．

如图5所示,四边形ABCD是一正方形,在BC,CD边上分别取两点H,K,使得CH=CK,并分别过H,K两点作对边AD,AB的垂线交于点G,E,线段GH,EK交于点F．易知四边形CHFK和四边形AGFE为一大一小两个正方形,四边形DKFG和四边形BEFH为两全等矩形．所以将矩形DKFG裁下拼接至矩形ICKJ处,能与矩形CBEK构成一个新的矩形IBEJ,且S矩形IBEJ=S正方形CHFK+2×S矩形ICKJ,即CK2+2×IC×CK=S矩形IBEJ．

图5

2.3 教科书中的出入相补原理

从小学开始,我们就在不知不觉中学习了出入相补原理,除了三角形、平行四边形、梯形的面积公式推导,出入相补原理同样能够用于圆面积公式推导．2022年版人教版小学六年级数学教科书给出了圆面积的推导过程:把圆分成若干(偶数)等份,每一份都近似于等腰三角形,分的份数越多,每一份就越小,拼成的图形就会接近于一个长方形(图6)．透过出入相补原理,我们体会到了圆面积在分割和拼补过程中所渗透的“极限思想”,有助于理解面积公式的来龙去脉[4]．

图6

出入相补原理不仅仅只被用来说明图形面积出入不变,还是“数”与“形”转化的重要桥梁!乘法公式是初中阶段的重要知识点,接下来,我们结合出入相补原理,通过构造几何图形,来探究所熟知的两个乘法公式的几何意义．

以前,我们在课堂上采用直接的公式推导法,结合多项式乘法的相关知识,总结出形如(a+b)(a-b)和(a±b)2的式子的计算结果,作为能够直接应用的计算工具:平方差公式和完全平方公式．其实,当a和b均为正实数且a>b时,我们可以构造几何图形来验证这两个乘法公式．以平方差公式为例,如图7(1)所示,构造一个长和宽分别为a+b和a-b的矩形,该长方形的面积为(a+b)(a-b).在长方形上剪下一个长为a-b、宽为b的矩形,拼接到图7(2)所示的位置,得到一个新的图形,该图形的面积为a2-b2.由出入相补原理可知,拼补前后图形面积相等,所以(a+b)(a-b)=a2-b2．这是平方差公式的一种几何验证方法,细细体会图形构造几何验证的精妙之处,并完成下面任务:

(1)发挥你的想象,是否还有其他的构造方法来验证平方差公式?

(2)对于完全平方公式(a±b)2=a2±2ab+b2,能否构造几何图形来验证?

2.4 中考、高考试题中的“出入相补”

早在2017年,“用出入相补原理推得容直容横原理”就被作为北京市中考数学的考点之一．

试题1(2017年北京市中考第20题)数学家吴文俊院士非常重视古代数学家贾宪提出的“从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的直线,则所容两长方形面积相等”(图8)这一推论,他从这一推论出发,利用“出入相补”原理复原了《海岛算经》九题古证．(以上材料来源于《古证复原的原理》《吴文俊与中国数学》和《古代世界数学泰斗刘徽》)

图8

请根据该图完成这个推论的证明过程．

证明:S矩形NFGD=S△ADC-(S△ANF+S△FGC),S矩形EBMF=S△ABC-(+)．易知,S△ADC=S△ABC,=,=．可得S矩形NFGD=

S矩形EBMF．

该问题运用出入相补原理,对图形面积进行等量转换,两个面积相等的图形分别减去相同的面积,剩余图形虽然形状不同,但是面积仍然相等,考查了学生“等量代换”的思想．时隔4年,以《海岛算经》为背景的数学问题再次以高考题的形式出现在2021年全国高考数学理科乙卷中．

试题2(2021年全国高考数学理科乙卷第9题)魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作,其中一题是测海岛的高．如图9,点E,H,G在水平线AC上,DE和FG是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度,称为“表高”,EG称为“表距”,GC和EH都称为“表目距”,GC与EH的差称为“表目距的差”,则海岛的高AB=( )．

该问题虽然是高考题,但是却能够用初中数学相似三角形的相关知识解决,这也是欧氏几何会采用的一般方法．

图10

此方法虽然简洁明了,但却不是刘徽的解法.中国传统数学对这一求岛高公式的证明,亦得益于出入相补原理,如图11所示,是刘徽添加辅助线的方式．

图11

3 从出入相补原理管窥中国传统思维及中西文化差异

3.1 领悟出入相补原理蕴含的整体性思维

在前文所举的例子中,不论是多边形的面积求解,还是圆的面积公式推导,都体现了通过出入相补将未知问题转化为已知问题求解的思想,这种化未知为已知的思想方法,就是我们常说的“化归思想”.同时,出入相补原理的应用往往离不开几何图形,比如刘徽对勾股定理的证明、解勾股形的相关公式的证明、开带从平方术以及乘法公式的本质探究,都试图将代数问题变为几何问题,实现了数与形之间的巧妙转化．因此,应用出入相补原理解决问题的过程也蕴含了丰富的“数形结合思想”.在圆的面积推导中,其实把一个圆不论进行怎样细小的有限次的分割拼补,都无法真正拼成一个长方形,而假如能够无限地分下去,那么拼成的图形的面积就不断趋向于长方形的面积,通过取极限值,能够说明圆的面积就等于无限次分割拼补后长方形的面积,这是“极限思想”在小学数学中最完美的体现．

在用出入相补原理解决问题的过程中,都实现了从构造几何图形到证明结论或推出结论的过程,它是将问题的条件和结论的内在联系作为一个整体从直觉上把握,隐含着中国传统思维的整体性思想[5]．在乘法公式的几何意义探究中,根据图7(1)所示几何图形的特点,构造了图7(2)所示的一个新的几何图形,然后根据两个图形的面积相等推出结论,从整体把握部分的特征．并且在证明中,仅仅通过几何变换,依据面积的相等关系,不涉及角度、线线位置关系等几何知识,整个证明过程是很直观的,但却缺少了严格的证明环节,这种研究方法出自刘徽的勾股定理古证法．所以,与欧氏几何以结论作为解题方法的结论性方法不同,出入相补是过程性方法,不证自明,它并非公理,也不是证明的起点,而是证明的工具[6]．

3.2 感受出入相补原理折射出的中西文化差异

让人产生疑惑的是,既然我国古代的数学家已经发现了直角三角形线段的比例特征,那为什么没有认识到相似性概念呢?或许数学家当时确实认识到了直角三角形的相似性,但中国古代数学重视实践,考虑的几乎所有的几何问题都是包括测量和距离的观测在内的实际问题,这些问题多数依赖于直角三角形的使用,有关直角边的比例问题已经能用容直容横原理得到解决,而直角三角形的斜边问题也能用勾股定理得到解决,对于一般的相似图形,我们没有发现它们的实际用途,所以一般图形的“相似性原理”并没有为中国古代数学所认识和使用[7]．中国古代数学的价值观念是技艺实用,而西方数学以用数学解释一切为价值取向,中西方古代数学的价值取向不同,导致在同一些数学问题上的不同解法,以出入相补原理为例,我们在学习中西方数学思想时,也应兼收并蓄,以理性的态度去对待这种差异性．

虽然运用出入相补原理解题的程序相对繁杂,但这其中却蕴含了许多相似性方法所没有的数学思想,而这些数学思想正是现如今我们需要学习和掌握的．出入相补原理不仅适用于平面几何图形,还适用于立体几何图形,我国古代数学家也曾用它来推导立体的体积公式．请大家查阅相关资料,循着古人的脚步,进一步探究出入相补原理,感悟这其中的数学思想方法吧．