深度思考 追根溯源——以“圆锥曲线中直线过定点”为例

何 云

(浙江省嵊州中学 312400)

2022年10月我校参加了浙江十校联盟考,本文探究这次数学联考第21题的来源和解法．

1 试题呈现

(2022年浙江省十校联盟考数学卷第21题)已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点F,且经过点A(2p,m)(m>0),AF=5．

(1)求p和m的值;(2)点M,N在抛物线C上,且AM⊥AN,过点A作AD⊥MN,D为垂足,证明:存在定点Q,使得DQ为定值．

2 试题特点

本题主要以圆锥曲线中的抛物线为载体考查定点、定值问题,这是高考的一大热点.对这类题型学生并不陌生,题源主要来自2020年新高考Ⅰ卷理科第22题,题根来自于人教A版选择性必修第一册第三章复习参考题3第10题.第(1)问利用抛物线定义求抛物线方程和参数值,较简单.第(2)问考查直线与抛物线相交过定点问题,根据已知条件“AM⊥AN”转化为“kAM·kAN=-1”,两直线的斜率之积为定值,考查等价转化和数学抽象能力;由题目已知条件判断直线MN过定点,考查逻辑推理能力;解决本题所求定点、定值问题,考查数学运算能力.

3 解法探究

视角1设直线MN方程(单联立)

(1)p=2,m=4.

整理得b2-12b-16(k+2)(k-1)=0,即[b-4(k+2)][b+4(k-1)]=0,所以b=4(k+2)或b=-4(k-1).

点评此思路简单自然,是大部分学生应该掌握的方法,其难点是代数运算的计算量较大,很多学生做到一半就放弃了,要完成解答,对运算素养有较高要求.一定要用韦达定理吗?为了打破学生的惯性思维和简化运算,需优化解法.

视角2设直线AM,AN的方程(双联立)

点评设两条直线方程,用斜率k表示M,N的坐标,进而得到直线MN的参数方程,若利用直线方程的两点式求直线MN方程,寻找定点,这种方法比第一种方法的计算量还大.于是,为了剖析运算合理性,提升运算效率,笔者就利用“点M,N均在直线MN上”这一同构点达到优化数学运算的效果.

视角3齐次化

点评由题目条件可知“直线MN不经过点A”,设直线MN为“s(x-4)+t(y-4)=1”,这样避开直线过已知定点的问题,然后利用曲线方程进行齐次化处理,构造直线AM与AN斜率满足的方程,找直线方程中参数s与t的一次关系.此法的缺陷是学生对直线MN的设法不熟悉,潜意识里习惯性设直线的斜截式.算法的优化直接关乎运算核心素养的水平,在落实核心素养的过程中,追求深度学习,不搞题海战术.

视角4先特殊后一般

点评从特殊情况入手,通过特殊值求直线所过定点,先寻找使结论成立的必要条件,再利用“kPM-kPN=0”证明问题的充分性.

4 归本溯源

4.1 课本寻根

(人教A版选择性必修第一册第三章复习参考题3第10题)已知直线与抛物线y2=2px(p>0)交于A,B两点,且OA⊥OB,OD⊥AB交AB于点D,点D的坐标为(2,1),求p的值.

4.2 高考寻源

4.3 知识背景

已知点A(x0,y0)在圆锥曲线C上,直线l交曲线C于P,Q两点,记直线AP,AQ的斜率分别为k1,k2.经探究,有如下相关结论成立[1-2]:

结论2 若k1+k2=0,则直线l的斜率为定值.

若点P是不在圆锥曲线上的任意一点,过点P引两条斜率分别为k1,k2的割线依次交圆锥曲线于A,B,C,D四点,线段AB,CD的中点分别为M,N．经过探究得出以下结论:

结论5 若k1+k2=0,则直线MN的斜率为定值.

结论6 若k1+k2=λ(λ≠0),则直线MN恒过定点.

5 解题反思

现今大多数学生的状况是:会做的题目的情境、设问方式等稍作改变,他们就不会.这是什么原因呢?解题也是为将来解决同类问题乃至其他新问题积累经验的过程,应探索实现学生的高路迁移“情境、原理和方法”的策略和方法,促进解题经验的有效迁移和思维的灵活转换,内化、积累数学问题解决的策略,发展数学思维能力.

5.1 究竟是什么阻挡了学生解题的步伐

一是不会运算.不会算有两层含义:①对于算什么目标不清晰;②有目标但方法不佳.解析几何题本身计算量大,运算是不少学生的“弱项”,因此在课堂上教师要重视算法和算理的分析.二是运算速度慢.解决策略是平时注重掌握一些常见简化运算策略,重视运算方法分析,优化策略、提升运算速度.三是不善于提炼数学思想方法.主要成因在于学生平时不善于研题,解法单一,因此课堂上应多开展一题多解或多题一解研讨和研究.四是学生心理素质欠佳.学生遇到计算量大的题目产生恐慌心理,影响解题速度.解决对策是教学中多展示运算过程.五是对陌生的问题情境缺乏判断方向.教师在教学中多展示题目的分析过程,明确运算方向.六是忽视解析几何中的几何特点.教师在教学中要重视数形结合思想的渗透.

5.2 教学中“多”一定与教学效果成正比吗

数学题做得“多”一定能考得高吗?不一定.盲目刷题,缺乏数学思想方法的提炼,只会事倍功半.数学解题是经验不断积累和生长的过程,应注重积累经典问题的处理方式、熟悉常见问题的解题策略.教师讲得“多”教学效果一定好吗?最典型的“满堂灌”课堂已经远远不能适应当前的高考模式,课堂上的适度探究有助于促进学生的数学核心素养与数学关键能力的提升,实现教学相长.上课上得“多”教学效果一定好吗?上多少不重要,重在如何设计、怎么教.

5.3 究竟怎样利用教材提高学生的解题能力

高三复习阶段中,大部分学生盲目地做试卷,脱离教材,认为教材上的内容太简单,导致这一现象的部分原因是教师没有带着学生充分利用好教材.高考人才选拔重在对考生能力的考查,高考真题源于教材又高于教材,教师带着学生在教材上寻根,在往年真题上寻源,通过深度变式探究、深挖知识背景、解法探讨、情境转换等方式看透问题本质.在教学中,教师充分用好教材素材、真题素材、拓展研究、丰富解法手段是很重要的.通过变化讲透思想方法的本质,深刻理解不同方法的适用范围,这就是立足课堂的创新教学.