千淘万漉寻灵感 三斟三酌定文章——一道模拟试题的命制历程与思考

刘洪志 王 莹

(江苏省句容高级中学 212400) (江苏省句容市第三中学 212400)

考试是对学生能力进行评价的一种重要方式,测试试题是从事教育测量的量尺,命制一道恰当的试题是考量学生水平发挥的关键所在.高三学生要参加很多考试,高三教师要根据学情命制不同难度的试题,现将个人命制一道解析几何问题的过程与感悟记录如下,与同行分享.

1 命题立意

《中国高考评价体系》提出的“一核、四层、四翼”为学科命题提供了准则和标尺,《普通高中数学课程标准(2017年版2020年修订)》提出的数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析等学科核心素养内容及其不同水平的划分为命题提供了目标和依据.其强调的“考查内容应围绕数学主干内容、聚焦学生对重要数学概念、定理、方法、思想的理解和应用,强调基础性、综合性;注重数学本质、通性通法,淡化技巧”[1]又为学科命题指明了方向和要求.

高考中解析几何问题一般是以考查直线与椭圆和直线与抛物线为主,对圆和双曲线鲜有涉及,为了预防学生的赌徒心态,笔者命制了一道以双曲线为背景的问题,通过熟悉的背景考查共轭双曲线、直线与双曲线相切、弦长公式等相关知识,突出综合性、基础性和创新性.

2 命题过程

2.1 选定母题

2.2 探究母题

图1

通过研究一般性,我们可以获知切线与渐近线交点的横、纵坐标均为定值,且切点为交点连线段的中点.

2.3 初出茅庐,稍显稚嫩

(1)求双曲线C的标准方程;

因为第二问需要确定T为线段中点,故而降低第一问难度,给第二问的求解留下更充裕的时间.

解 (1)x2-y2=1.

此题取到最值的情况比较特殊,容易被猜到答案,而且综合性较弱,缺少压轴题的味道,需要做进一步的思考.共轭双曲线有共同的渐近线,这条切线与其共轭双曲线相交能有什么样的性质呢?笔者保留了等轴双曲线,放弃切线与渐近线相交这一背景,让这条切线与其共轭双曲线相交,转而研究以坐标原点和交点为顶点的三角形的面积问题,通过证明,发现这个面积是一个定值,命题的第二稿就此产生.

2.4 潜心修炼,再出江湖

(1)求双曲线C的标准方程;

(2)设双曲线C的共轭双曲线为C′,点T为C上一点,过点T的双曲线C的切线l与C′交于A,B两点,求证:△AOB的面积为定值.

解 (1)双曲线C的方程为x2-y2=1,双曲线C′的方程为y2-x2=1.

图2

综上所述,△AOB的面积为定值.

在研究二稿的解答时,笔者作出了双曲线、共轭双曲线还有它们共同的渐近线,突然想到这里的切点能否也平分直线与共轭双曲线形成的这条弦呢?于是先用等轴双曲线进行了特例检验然后再通过GeoGebra进行演示,发现这是个正确的命题,证明一般情况后发现猜想正确,也就是过双曲线C上任意一点T作切线,点T既是切线与渐近线交点的中点,也是切线与其共轭双曲线交点的中点.带着这样的想法笔者保留直线与双曲线相切的背景,对问题进行了较大幅度的改编.

2.5 见贤思齐,日臻完善

(1)求双曲线C′的标准方程;

(2)若过点M的C的切线与C′以及两条渐近线自上而下依次交于点A,E,F,B,求证:AE=BF.

图3

第三稿试题的表述更加简洁,解法更能突出解析几何中变量选择的多样性,考查了化归与转化思想,将证明两条线段相等转化为证明中点重合,如果直接解决会陷入比较复杂的数式运算,这种问题能够锻炼学生思维的灵活性,起到较好的能力评价效果.

3 命题感想

《中国高考评价体系》提出,试题要以必备知识、关键能力、学科素养为考查目标,全面体现考查的基础性、综合性、应用性和创新性,站在学科整体高度创设数学建构、数学知识习得、数学运算演练、数学推理学习、数学分析、数学探索、数学实验等熟悉的课程学习情境[2].要尽量以数学教材例习题为载体,以数学中核心概念、性质、法则、定理、定义、公式为背景,引导学生重视必备知识的学习.

原创问题的痛点是无从下手,一般来说教材、高考试题、模拟试题等等都是命题的灵感来源.T8联考范围较大,而且都是教育发达的省份和地区,在一定程度上反映高考的趋势.关注T8联考中的问题是高三教师的必修课,我们不仅要做好每道题,而且要带着自己的理解进行深入的思考,发挥联考试题对高中教学的导向作用.试题的命制不是一个简单的解题过程,而是将命题引向深入的研究过程.在命制过程中,三易其稿,这其中有简单的模仿、有彻底的推翻、有深入和继承,每一次都是思维的发散与聚合的碰撞,极大地提升了命题人的数学功底,同时也提醒自己在平时的教育教学中要注意积累和思考,能用发现的眼睛寻找命题的灵感,用发展的眼光去看待问题的研究方向,用发明的心态去专注命题工作.