一道三角函数试题的多视角探析*

毋晓迪 鞠腾基 曾德扬

(广西民族大学数学与物理学院 530006)

反思平时机械式的刷题,我们就会发现做高质量的题目,同时悟透一道题目的来龙去脉,要比大量重复做题更有价值.另外用多种方法解决同一问题时,可以从不同侧面,多个角度分析、思考同一数学概念和规律,从而提高我们的解题能力.本文从不同视角对一道三角函数模拟试题进行探究和解析,在感悟解答方法多样的同时,体会变换视角解题的奥秘.

1 试题呈现

2 解法探究

思路1锁定公式妙变形

分析 解决数学问题的过程,是思维不断发散的过程,是思维巧妙转化的过程.若在本问题解决中坚守“角”的主体方向不动摇,那么只能通过三角函数的和差化积以及倍角公式来变形,以期达到求解的目的,但运算量较大.

思路2转换路径来破局

分析 《周易·系辞下》有言:“天下同归而殊途,一致而百虑.”从知识主线来讲,方程、函数、不等式本属于同一主线内容,三者相互联系和渗透.本题可利用弦、切之间的关系,将所求式子进行等价变换,然后通过构造函数,利用导函数的知识或不等式问题统领最值求解,具体解法如下.

思路3数形结合显神威

分析 有时候,代数问题抽象晦涩,我们束手无策.若从几何的角度出发分析问题,从“数”中窥探出“形”,那么问题的解决通常会事半功倍,尤其是构造熟悉的几何图形,借助图形的直观性解决问题.例如本题求解时可以采取“遇切作高”、最短路径、向量三角不等式以及构造椭圆等思路来求解,具体解法如下.

图1

图2

图3

评析由三角形中的一边和该边上的高是定值为突破口,以边长为焦距、高的大小为短半轴长巧妙构造椭圆.由椭圆的定义和画法,根据点与椭圆的位置关系,探索出CA+CB取得最小值的条件,问题便得以解决.

3 解后感悟

鉴于此,在解题过程中,想要打破现实中存在的低层次试题重复练习和高强度试题无效训练的桎梏,把练习的题量变“薄”,必须重视通性通法的积累,探析解题的本质规律,淡化特殊解题技巧.此外,要养成解题后再反思的习惯,需要厘清并悟透试题中所蕴含概念的内涵,真正做到概念明了、知识清晰、方法熟识、应用自如,通过解题完善内化自身的知识网络,对比出最优的解题思路.