“数形结合”思想在判定函数零点个数上的应用

尤长盘

【摘  要】 “数形结合”思想是高中数学中一个重要的解题思想，在求解代数问题时，借助图形的生动性和直观性，来表明数之间的联系.一方面可以简化解题的过程，另一方面对问题有更全面直观的把握.根据函数图象的交点判定函数零点个数是“数形结合”思想的一个重要运用，在计算零点个数时，结合图象可以使得思维更严密，分析更充分，避免错算、漏算.本文列举两道运用“数形结合”思想来判定函数零点个数的例题，详述这种问题的解题思路，并对解题核心点做出归纳总结，破解其思维过程.希望可以帮助学生在遇到判定函数零点个数问题时提高解题效率和正确率.

【关键词】  高中数学；数形结合；函数零点

在历年的高考数学中，对函数零点个数的考查几乎是一个必考问题，每年都会出现在一些省份的考卷之中.这一知识点主要考查了学生对函数基本概念的应用，以及数形结合思想的运用，要求学生对函数零点个数的判断方法有较深的掌握.

例题已知函数，根据的不同取值，请判断的零点个数：

（1）若，请问有几个零点？

（2）若，请问有几个零点？

（3）若，请问有几个零点？

分析这是一道典型的运用图象法求零点个数的问题，的图象难以直接画出，令，利用拆分的两个函数图象交点的个数来判断零点个数.因此这道题的解答需要先将函数拆成两个函数和的差，而且恰好这两个函数的图象容易画出，根据（即），从而通过函数和函数的图象交点个数，来判断函数的零点个数.

解  令函数，

可得，

设，

根据图象法判断函数零点个数知：函数得零点个数即为函数和图象的交点个数.

（1）当时，则有

画出函数和的图象，如图1所示

函数与函数的图象有两个交点，即当时，函数有两个零点

（2）当时，函数与函数的图象存在相切的情况，因此可分为3种情况.

设时，函数的图象与的图象相切

①當时，如图2所示，与的图象，有三个交点，即函数有三个零点

②当时，如图3所示，函数的图象与的图象相切，此时与的图象有两个交点，即函数有两个零点.

③当时，如图4所示，与的图象只有一个交点，即函数有一个零点.

综上，当时，函数的零点个数可能为1个、2个，或3个.

（3）若，由于函数的图象与轴无限接近但不相交，因此函数与函数的图象存在相切与相交的情况，但不存在相离的情况，因此可分为2种情况.

设时，函数的图象与的图象相切.

①当时，如图5所示，与的图象有两个交点，即函数有两个零点.

②当，如图6所示，函数与的图象相切，此时图象与图象有一个交点，即函数有一个零点.

③当时，如图7所示，与的图象相离，没有个交点，因此函数没有零点.

综上，当时，函数的零点个数可能为0个、1个、或2个.

结语

求函数零点个数问题是高中数学中典型的代数和几何相结合的问题，数形结合和等价转化的思想渗透其中.在解决这类问题时，要抓住三个等价关系，即：函数的零点与方程的根等价关系，方程的根与函数与图象交点等价转换，画出图象，简便快捷的求解函数零点个数问题，一目了然而且大大简化解题过程.