高考备考思路要转变——2022 年高考数列试题评析

■河北省张家口市第二中学 王 潇

由于新课改,近两年高考难度增大,所以我们高考备考思路一定要转变。下面谈谈高考的难点在哪里。

难度一:动摇了高考试卷第17 题“无冕之王”这个位置

新课程全国卷的试卷结构是固定的,一般来说,第17题考查三角函数或数列问题,并且分为两个小问,2022年、2021年、2020年理科第17题考查的都是数列。2021 年、2022年连续两年高考Ⅰ卷数学难度骤然提升,2022年河北省的高考数学平均分为46.6分,其实2020年、2019年难度就已经有所增加。前几年的高考试卷中,有很多常规题型,例如第17 题中上等程度的学生基本能拿满分。第一问往往代入等差、等比数列的基本公式求通项公式,第二问就是数列求和,一般都考查错位相减法,即使有些年份稍有难度,也是考查数列的通项an与前n项和Sn的关系,知识点非常明确,数列在选择题中一般不会是压轴题。换句话说,数列、三角函数题目一直以来都是中上等程度学生的拿分点,自从2020年开始,包括平时的各级各类模拟题目中,数列和三角函数难度增加,中上等程度学生不易再拿满分。下面举例说明。

例1(2022年高考全国乙卷)已知等比数列｛an｝的前3项和为168,a2-a5=42,则a6=( )。

A.14 B.12

C.6 D.3

分析:本题中由于数列{an}的前3 项和已知,项数比较少,很多同学一般没有代入求和公式,而是直接写a1+a2+a3=a1+a1q+a1q2=a1(1+q+q2)=168,此时再与另一个已知关系式相除,约掉a1,即可得公比q。但是要用到立方差公式:a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)。这个公式大部分学生知道,但是在高中,极少有知识点应用它,仅仅在导数切线几个特定的题目中用到,对于中等水平学生来说立方差公式运用不熟练,容易写错。

解:设等比数列{an}的公比为q,q≠0。

故a6=a1q5=3,选D。

方法二:若q=1,则a2-a5=0,与题意矛盾,所以q≠1。由题意得:

点评:注意方法二避开了立方差公式。同学们做题要多观察,灵活应用,会省去不少烦琐的计算过程!

例2(2021 年新高考Ⅰ卷第17 题)已知数列 {an}满足a1=1,an+1=

(1)记bn=a2n,写出b1,b2的值,并求数列{bn}的通项公式;

(2)求{an}的前20项和。

解析:(1)由题设可得b1=a2=a1+1=2,b2=a4=a3+1=a2+2+1=5。

又a2k+2=a2k+1+1,a2k+1=a2k+2,故a2k+2=a2k+3,即bn+1=bn+3,bn+1-bn=3。

所以{bn}为等差数列,解得bn=2+(n-1)×3=3n-1。

(2)设{an}的前20 项和为S20,则S20=a1+a2+a3+…+a20。

因为a1=a2-1,a3=a4-1,…,a19=a20-1,所以S20=2(a2+a4+…+a18+a20)-10=2(b1+b2+…+b9+b10)-10=2×

点评:开始很简单,列举即可求出b1,b2,但是不能迅速得出数列{bn}的通项公式,其实在第17题位置上的第一问求通项,观察已知即可猜出数列{bn}是等差数列,验证bn+1-bn的结果是否为常数。但由于已给出分段形式的关系式,需要大家静下心来厘清思路才能证明出来。第二问求和,要把{an}的前20 项和转化成其10 个偶数项的和,从而转化成数列{bn}求和,由于第一问已经证明{bn}为等差数列,故可利用等差数列求和公式。

难度二:加大计算量,加大题目的综合度

新课标卷把原本送分题的20分删掉后,整套试卷中几乎没有基础题目,大部分是中等难度,对于中等程度的同学来说,需要在保证知识点非常熟练的情况下还要有较强的计算功底,原本高考卷中的一部分基础题目几乎不用计算,甚至很多同学即使在做解答题第一问时都能口算出结果,但这两年的高考题中几乎每个题目都需要计算,对于高考数学目标130分的同学加大了难度,他们难以在40分钟内做完前16个题目! 所以我们要重视计算!

例3(2022年新高考全国Ⅰ卷第17题)记Sn为数列{an}的前n项和,已知a1=的等差数列。

(1)求{an}的通项公式;

点评:单看整个题目,没有任何难度,这是第一道解答题,对于真正的学霸照样几分钟可以计算出来,但是对于中等同学来说,若心理素质差些,就有意外发生! 第17题的第一问连续考查三个不简单的知识点:等差数列的通项公式、看到关系式Sn能联系到an与前n项和Sn的关系、累乘法求通项。需要同学们对知识点真正理解透彻!

例4(2022 年全国甲卷理科数学第17题)记Sn为数列{an}的前n项和。已知

(1)证明:{an}是等差数列;

(2)若a4,a7,a9成等比数列,求Sn的最小值。

解析:(1)由,可得2Sn+n2=2nan+n。①

当n≥2时,2Sn-1+(n-1)2=2(n-1)·an-1+(n-1)。②

①-②得,2Sn+n2-2Sn-1-(n-1)2=2nan+n-2(n-1)an-1-(n-1),也即2an+2n-1=2nan-2(n-1)an-1+1。

故2(n-1)an-2(n-1)an-1=2(n-1),所以an-an-1=1,n≥2且n∈N*。

因此,{an}是以1为公差的等差数列。

(2)由(1)可得a4=a1+3,a7=a1+6,a9=a1+8。

又a4,a7,a9成等比数列,所以=a4·a9,即(a1+6)2=(a1+3)·(a1+8),解得a1=-12。

所以an=n-13,则Sn=-12n+

当n=12或n=13时,(Sn)min=-78。

点评:本题整体难度低于全国Ⅰ卷,第一问考查an与前n项和Sn的关系、等差数列的定义;第二问考查等比中项、等差通项公式、前n项和、数列的最值,都是最基本、最简单的知识点。本题的难点还是在第一问:计算量大且字母较多。学霸会根据第一问的问法简化计算,但是对于中等同学来说,①-②这一步会耽误时间,可能还出不来结果。所以同学们平时练习不能省略计算,只看重方法,否则只会对高考题目纸上谈兵。

例5(2021 年高考全国甲卷文科数学第18题)记Sn为数列{an}的前n项和,已知a>0,a2=3a1,且数列是等差数列,证明:{an}是等差数列。

当n≥2 时,an=Sn-Sn-1=a1n2-a1(n-1)2=2a1n-a1。

当n=1时,2a1×1-a1=a1,也满足an=2a1n-a1。

故数学{an}的通项公式为an=2a1na1,n∈N*。

an-an-1=(2a1n-a1)-[2a1(n-1)-a1]=2a1,故{an}是等差数列。

点评:以上三道高考题,都考查数列中通项an与前n项和Sn的关系,本题是这三道题目中最简单的一道,都要注意在利用an=Sn-Sn-1求通项公式时一定要讨论n=1的特殊情况。我们要对这个知识点重视起来。新高考的考生要注意,第17 题数列的考查越来越难,这个知识点会出现各种形式的考查,但实际上一直没有出现生冷偏僻的题目,大多就是加大计算的难度,加大题目的综合度。

例6(2022 新高考全国Ⅱ卷第17题)已知{an}为等差数列,{bn}是公比为2的等比数列,且a2-b2=a3-b3=b4-a4。

(1)证明:a1=b1;

(2)求集合{k|bk=am+a1,1≤m≤500}中元素个数。

故集合{k|bk=am+a1,1≤m≤500}中的元素个数为10-2+1=9。

点评:本题第一问仅仅考查等差数列、等比数列通项公式,但是因为已知和求证全都是字母,那么中等程度的同学思路就有点不畅了,好不容易花费几分钟求证出结论,到了第二问有点傻眼,还是都是字母。思路清晰的学霸会分别将等比数列{bk}、等差数列{ak}的通项公式分别代入整理得出结果,不少心理素质较差的学生就有点心慌了,可能会先放下,做后面题目,他们在17 题这个位置上浪费不起这个时间。所以,新高考的同学们平时就应该有这种心理准备,第17题秒算的时代过去了。

难度三:与实际生活应用的题目增多

故b2b4。

依此类推,可得b1>b3>b5>b7>…,b7>b8,A 错误;

b1>b7>b8,B错误;

点评:这类题目的难点并不在应用,而是抽象出来的数学模型涉及的知识点五花八门,形式比较复杂,本题就属于这一类,形式简单却难以找到解决问题的突破口。本题考查函数在 (0,+∞)上单调递减;不等关系,若a>b>0,则。解答本题需要同学们有较强的观察能力和逻辑思维能力。

这里提醒同学们高考新课改后,出题变化很大,平时的练习、模拟考试中注意把握好这个度。需强调一点:高考难度加大,并没有出什么偏题、怪题,考查的知识点还是历来老师们强调的那些基础知识。下面列出了数列的重要考点,只是现在的题目都比较新,新题很多,而且考查得很巧妙,这才是培养、选拔人才的最佳模式。

高考常考查数列的知识点如下:

1.等差数列、等比数列的通项公式;前n项和公式;2.正确理解等差数列、等比数列的性质,优化解题思路;3.正确理解数列的通项an与前n项和Sn的关系;4.正确应用等差数列、等比数列定义或等差中项、等比中项进行证明;5.掌握数列求和方法,裂项法、分组法、倒序相加法、错位相减法;6.掌握简单的递推数列及其求解方法。