一题多变之二项式定理

■广东省汕头市澄海凤翔中学 徐春生

点评:解决形如(a+b)n(n∈N*)的展开式中与特定项相关的量(常数项、参数值、特定项等)的一般步骤:第一步,利用二项式定理写出二项展开式的通项公式Tk+1=,常把字母和系数分离开来(注意符号不要出错);第二步,根据题目中的相关条件(如常数项要求指数为零,有理项要求指数为整数)先列出相应方程(组)或不等式(组),解出k;第三步,把k代入通项公式中,即可求出Tk+1。有时还需要先求n,再求k,才能求出Tk+1或者其他量。

令18-4r=6,得r=3,所以×a3=20a3=160,解得a=2。

变式2:若的展开式中第4项的二项式系数最大,则x6的系数是____。

变式4:若的展开式中各项的系数和为729,则x6的系数是_____。

点评:形如(ax+b)n,(ax2+bx+c)m(a,b,c∈R)的式子,求其展开式的各项系数之和,常采用赋值法,只需令x=1即可。

因为r∈Z,所以的展开式中系数最大的项为第3 项,T3=×24×x10=240x10。

点评:形如(a+bx)n(a,b∈R)的展开式系数最大的项,一般采用待定系数法,设展开式各项系数分别为A1,A2,…,An+1,且第k项系数最大,应用从而解出k。

点评:形如(a+b+c)n的展开式问题采用“逐层展开法”,即将三项式分成两组,用二项式定理展开,再把其中含二项式的项展开,从而求解问题。

点评:解决形如(a+b)n(c+d)m的展开式问题的的一般思路:(1)m,n中有一个比较小,可考虑把它展开,然后分别求解;(2)观察(a+b)(c+d)是否可以合并;(3)分别得到(a+b)m,(c+d)n的通项公式,再综合考虑。