二项式定理的拓展应用

■江苏省太仓市明德高级中学 王佩其

在各类考试中二项式定理的常规题考向都比较明确,试题难度也不大,只需按照题目要求并按部就班加以推理验算即可。但有些问题看似与二项式定理无关,解答过程中却往往离不开二项式定理,并且二项式定理能使解题过程更优化。

一、利用二项式定理证明组合恒等式

证明:令函数f(x)=(1+x)n+2(1+x)n+1+…+m(1+x)n+m-1,其中m,n∈N*,m

函数y=f(x)中含xn项的系数即为多项式(mx-1)(1+x)m+n+(1+x)n中含xn+2项的系数,为

点评:证明组合恒等式的关键是构造合理的函数,并利用二项式定理求指定项的系数,同时将该函数等价变形成另一种函数形式,再次利用二项式定理求出指定项的系数,由系数相等得到组合恒等式成立,这类问题考查同学们的创新思维及推理能力与计算能力,难度较大。

二、利用二项式定理证明不等式

例2已知数列{an}的通项公式an=6×3n-1=2×3n(n=1,2,3,…),证明:

证明:由题意知an=6×3n-1=2×3n(n=1,2,3,…)。

点评:利用二项式定理证明不等式的关键,是将某数的幂拆分成两个数的和或差的幂的形式,再利用二项式定理将其展开,并根据所证结论对展开式中的项进行取舍,体现了不等式证明的放缩思想,具有一定难度。

三、利用二项式定理处理函数问题

例3已知函数f(x)=x(|x|-2),记,求集合[g(n),g(n+1)](n∈N*)中正整数的个数。

当n为偶数时,2n=3k+1;n为奇数时,2n=3k-1。

且n-2,n同奇偶,n-1,n+1同奇偶。

①当n为偶数时,正整数个数为:

点评:解答本题的关键是将2n变成(3-1)n,再利用二项式定理展开后考查它被3整除后的余数,体现了二项式定理的灵活应用,具有一定难度。

变式训练3:已知a为正实数,n为自然数,抛物线与x轴正半轴相交于点A,设f(n)为该抛物线在点A处的切线在y轴上的截距。

(1)用a和n表示f(n);

(2)求对所有n都有成立的a的最小值。

解析:(1)由已知得,交点A的坐标为

(2) 由(1)知f(n)=an,则成立的充要条件是an≥2n3+1。

即an≥2n3+1对于所有的n成立,特别地,取n=2,得到a≥。

当a=,n≥3时,an>4n=(1+3)n

所以满足条件的a的最小值是。