“公式法”在二次三项式因式分解中的拓展和应用

陈大武

【中图分类号】G633.6

因式分解是九年义务教育教材（北师大版）八年级《数学》下的基本教学内容，“公式法”作为因式分解的最基本方法，对于解决符合乘法公式的二次三项式进行有效的分解。

对于符合“完全平方公式”（ “完全平方和”、“完全平方差”）的二次三项式，可利用公式法进行分解。如：

x2+10x+25= x2+2×5×x+52=（x+5） 2=（x+5） （x+5）

根据因式分解的定义和意义，仔细观察左右两端的结果，发现因式分解的前后实际上是“代数式”的两种不同表达形式，前者是“和”的形式，后者是“積”的形式。同时，也可以理解为“左端的代数式”通过因式分解得到“右端的代数式”，“右端的代数式”通过乘法运算得到“左端的代数式”。因而，因式分解是将代数式的表达形式由“和”变为“积”的形式。

上式中特别当a1=a2 c1=c2时，即可适应全平方公式分解。

人们常常把这种方法称为“十字相乘法”，对于二次三项式，除满足完全平方公式的情形可直接使用“公式法”外，对于不满足“公式法”的习题，分解因式就相对困难。因而对于一般的二次三项式和可看成二次三项式的因式分解，特别是利用因式分解法解一元二次方程的根是有理数根的情况就显得十分简单了。

例1、将下列各式分解因式

通过以上例题可以看出，将“公式法”因式分解的理论进行适度的拓展，揭示了二次三项式中的二次项、一次项、常数项之间系数关系，展示了“十字相乘法”的理论依据和真正内涵，有利于学生发散思维的形成，逐步培养学生理解知识和应用知识解决问题的能力，为解决更复杂的二次三项式的因式分解问题奠定基础。