三项展开式系数问题的四种破解方法

李建波

【摘要】 二项式定理是高中数学一块很重要的知识点，三项展开式系数问题频繁出现在各类大小考试中，此类问题既是高考的重要考点也是学生的难点，因此，本文分别介绍三项展开式系数问题的四种处理方法（定义法、分解因式法、分组法、赋值法），供大家参考借鉴.

【关键词】 三项式;分解因式法;分组法

三次项展开式系数问题既是高考重点也是学生难点，下面介绍四种破解之法.

一、定义法

定义法是利用乘方的定义、多项式运算法解决问题的方法.

例1   求（1+2x-3x2）6展开式中含x5項的系数.

解  将（1+2x-3x2）6看成六个相同的因式相乘，根据组合的定义和多项式乘法法则可以将x5项的系数分为三类.（ⅰ）在6个因式中取两个-3x2，一个2x，三个1，则乘积含有x5项有C26C14C33种取法，此种取法对应的系数为C26C14C33（-3）2×21×13=1 080.（ⅱ）在6个因式中取一个-3x2，三个2x，两个1，则乘积含有x5项有C16C35C22种取法，此种取法对应的系数为C16C25C22（-3）1×23×12=-1 440.（ⅲ）在6个因式中取零个-3x2，五个2x，一个1，则乘积含有x5项有C56C11种取法，此种取法对应的系数为C56C11（-3）0×25×11=192.

所以x5的系数为1 080-1 440+192=-168.

二、分解因式法

分解因式法是将三项式分解成两个二项式的积，再利用二项式定理展开求解的方法.

例2   求（x2+3x+2）5的展开式中含x项的系数.

解  （x2+3x+2）5=[（x+1）（x+2）]5=（x+1）5（x+2）5=（C05x0+C15x1C25x2+…+C55x5）·（C0525x0+C1524x1+C2523x2+…+C5525x0），

所以x的系数为C05C15·24+C15C05·25=240.

三、分组法

分组法是将三项式添加括号变成两项，再利用二项式定理展开的方法.

例3   求（x-x-1-1）5的展开式中的常数项.

解  （x-x-1-1）5=[（x-x-1）-1]5=C05（x-x-1）5+C15（x-x-1）4（-1）1+…+C45（x-x-1）1（-1）4+C55（-1）5，

利用二项式定理知：

（x-x-1）n的展开式的第r+1项为

Tr+1=Crnxn-r（-x-1）r=Crn（-1）rxn-2r.

令n-2r=0，其中0≤r≤n≤5，且均为整数，可得两组解，分别为 n=4， r=2  或者 n=2， r=1.

所以展开式的常数项为C15C24（-1）2×（-1）+C35（-2）×（-1）3+C55（-1）5=-11.

四、赋值法

赋值法是将三项式展开式的一般表达式取特殊值求解的方法.

例4   求（1+x+x2）11的展开式中偶次项系数和.

解  由题可知（1+x+x2）11最高次项为x22，故可将展开式设为：

（1+x+x2）11=b0+b1x1+b2x2+b3x3+…+b22x22.

令x=1，有b0+b1+b2+…+b22=311， ①

令x=-1，有b0-b1+b2-…+b22=1. ②

由①+②得b0+b2+b4+…+b22= 311+1 2 ，故偶次项系数和为 311+1 2 .

【参考文献】

[1]教育部.普通高中数学课程标准（实验）[M].北京：人民教育出版社，2003.

[2]普通高中数学教材（选修2-3）[M].北京：人民教育出版社，2007.