强化“四基”，着重本质，服务选才——评析2022 年计数原理高考试题

■河南省许昌市高中数学胡银伟名师工作室 胡银伟

2022 年高考数学全国卷计数原理内容的命题,遵循《普通高中数学课程标准(2017年版,2020 年修订)》的基本要求,贯彻德智体美劳全面发展教育方针,落实立德树人的根本任务,体现高考改革的总体要求。试题凸显强化“四基”,着重本质,服务选才等整体特征。

一、强化“四基”、注重本原

2022年高考全国卷中计数原理的命题,注重考查内容全面性的同时,突出对主干、重点内容及“四基”的考查;强化基础知识、基本概念、基本原理及其之间的内在联系;对于试题的解答更加注重本原性的方法、思维,强化通性通法的理解及应用,淡化解题的技巧。这些命题特征也都有助于引导同学们形成系统的学科知识体系,注重对数学知识的理解和思维能力的培养,从而夯实基础。

例1【2022 年新高考全国Ⅱ卷第5题】有甲、乙、丙、丁、戊5 名同学站成一排参加文艺汇演,若甲不站在两端,丙和丁相邻,则不同的排列方式共有( )。

A.12种 B.24种

C.36种 D.48种

思路点拨:思路一,先利用捆绑法处理丙、丁,再用插空法安排甲;思路二,特殊元素法,可先安排甲,再安排丙、丁,也可先安排丙、丁,再安排甲。

解析:(方法一)先考虑丙和丁相邻

为使丙和丁相邻,可以把丙、丁绑定(其中2人位置可以交换)和其余3 名同学进行排列,共有种排法,其中甲站在两端的排法有种。因此,所有的排列方式有(种)。故选B。

(方法二)先考虑丙和丁相邻

先把丙丁捆绑,看作一个元素,再连同乙、戊看成三个元素排列,有3! 种排列方式。为使甲不在两端,必须且只需甲在此三个元素的中间两个位置任选一个位置插入,有2种插空方式。注意到丙、丁两人的顺序可交换,有2种排列方式。故这5名同学不同的排列方式共有3! ×2×2=24(种)。选B。

(方法三)先考虑甲,再分类讨论丙、丁的排列方式

如果甲站在正中间,则丙、丁位置的选取方式有2+2=4(种)。如果甲站在左起第2个位置,丙、丁只能站在甲的右侧,则丙、丁的排列方式有2×2=4(种)。如果甲站在左起第4个位置,考虑到对称性,同上种情况,则丙、丁的排列方式有2×2=4(种)。故甲、丙、丁的排列方式有4+4+4=12(种)。接下来讨论乙和戊的排列方式,其排列方式有2种。综上,所有的排列方式有12×2=24(种)。选B。

(方法四)先安排丙、丁,再安排甲

若丙和丁有一人在两端,丙和丁的排法有2×2=4(种),再安排甲,甲的排法有2种,最后排乙和戊,其排列方式有2种,故此种分类的排法有4×2×2=16(种)。若丙和丁都不在两端,则乙和戊必须在两端,乙和戊的排法有2种,此时甲、丙、丁的排列方式有2×2=4(种),此种分类的排法有4×2=8(种)。

综上,所有的不同排列方式有16+8=24(种)。选B。

试题评析:本题选取文艺汇演作为生活实践情境,充分体现高考评价体系突出学生德智体美劳全面发展的要求。本题立足教材、注重基础,考查两个基本原理及排列数的计算。本题的解法多样,准确分类、正确掌握排列数的计算是解题的关键。

二、强化“四能”,着重本质

2022年计数原理高考试题,在强化“四基”的同时,着重对“四能”的考查,突出对考生逻辑思维、运算求解及创新思维等数学本质能力的考查,也体现出高考对基础性、综合性、应用性和创新性的考查要求。

试题评析:本题是对二项展开式中特定项的考查。求二项展开式中的特定项,一般是化简通项后,令字母的指数符合要求,解出项数k+1,代回通项即可。对于本题中两个多项式积的展开式中的特定项问题,可结合组合思想进行求解,但要注意适当地运用分类方法,以免重复或遗漏。本题着重考查同学们的逻辑推理、运算求解等关键能力,符合高考评价体系对基础性、应用性、综合性的考查要求。

三、落实素养,服务选才

2022年计数原理的高考命题,在强化“四基”、“四能”的同时,也体现了高考命题从“知识立意”到“能力立意”,再到“素养导向”,从“解题”到“解决问题”的变化;在深入考查关键能力的同时,聚焦学科核心素养,服务高考的选才功能。

例3【2022 年新高考全国Ⅰ卷第5题】从2至8 这7 个整数中随机取2 个不同的数,则这2个数互质的概率为( )。

思路点拨:由古典概型概率公式结合组合、列举法即可得解。

解析:方法一:从2至8这7个整数中随机取2个不同的数,取法总数为=21。其中2个数互质的情况为{2,3},{2,5},{2,7},{3,4},{3,5},{3,7},{3,8},{4,5},{4,7},{5,6},{5,7},{5,8},{6,7},{7,8},取法总数是14。

因此,从2 至8 这7 个整数中随机取2个不同的数,这2个数互质的概率为故选D。

方法二:从2至8这7个整数中随机取2个不同的数,取法总数为=21。

其中2个数互质的情况共14种,分类计数如下:

与2互质的,为7 个数中的奇数,共有3个;

与3互质且大于3的,为4至8中除去3的倍数的数,共有4个;

与4互质且大于4 的,为5 至8 中的奇数,共有2个;

与5 互质且大于5 的,为6 至8,共有3个;

与6互质且大于6的,有1个;与7互质且大于7的,有1个。因此,这2 个数互质的概率为故选D。

若两数不互质,不同的取法有:(2,4),(2,6),(2,8),(3,6),(4,6),(4,8),(6,8),共7种。

试题评析:本题以简单的古典概型问题为依托,既考查考生对互质概念的理解,又考查计数、古典概型的基本计算。从7 个整数中随机取2 个不同的数的取法总数,既可以用组合数公式计算,也可以直接通过枚举得到;解题时,同学们需了解互质的含义,并准确枚举2 个互质的取法总数,做到不重复不遗漏。本题考查同学们逻辑思维能力和运算求解能力,考查大家逻辑推理的学科素养,符合高考对基础性考查的要求。

例4【2022 年全国甲卷理数第15题】从正方体的8个顶点中任选4个,则这4个点在同一个平面的概率为____。

思路点拨:根据古典概型的概率公式及空间几何体的知识解答即可。

解析:方法一:从正方体的8个顶点中任选4个,共有=70(种)方法。

若这4个点在同一个平面,有两种情况:一是这4个点同在正方体的一个表面,共有6种情况;二是这4 个点同在正方体的一个对角面(面对角线与垂直于这个面的两条平行棱构成的平面),也有6种情况。

若这4 个点在同一个平面,当且仅当4个点构成正方体的2条平行棱。正方体相互平行的2条棱共有(组),故有18个平面,但正方体每个表面上2 组平行的对棱构成一个平面,这样有6个平面重复计数。

试题评析:本题是以同学们熟悉的正方体和古典概型为背景设计问题,大家可通过空间想象和相关的概率知识求解;本题注重对基础知识的理解与灵活运用,考查同学们的逻辑思维能力和空间想象能力。

本题能够给大家广阔的思考空间、更多的思考角度及基于自己认知水平的发现和探索解题的方法,符合高考对基础性、综合性的考查要求。

以上的命题特征都有利于同学们学科核心素养的养成,也有利于高考选拔功能的落实。

真题演练:

1.【2022年北京卷第8题】若(2x-1)4=a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0,则a0+a2+a4=( )。

A.40 B.41

C.-40 D.-41

答案:B

解析:令x=1,则a4+a3+a2+a1+a0=1。

令x=-1,则a4-a3+a2-a1+a0=(-3)4=81。

2.【2022年浙江卷第12题】已知多项式(x+2)(x-1)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,则a2=____,a1+a2+a3+a4+a5=____。

答案:8 -2

解析:含x2的项为:

故a2=8。

令x=0,则a0=2。

令x=1,则0=a0+a1+a2+a3+a4+a5,故a1+a2+a3+a4+a5=-2。

答案:15