数形结合：让小学数学教学提质增效

文 /陈玉荣

数形结合思想是数学学科的基本思想方法，是以数和形关系为基础，借助数和形的相互转化来解决问题的思想方法[1]。众所周知，数学的研究对象是数与形。小学数学四大领域均建立在数与形的基础上。在形的辅助下，学生可以认知数；在数的助力下，学生可以理解形。

然而，在传统的数学教学中，部分教师忽视数学学科特点，机械地灌输数学知识点，忽视数形结合思想的渗透，导致大部分学生知其然不知其所以然，影响了学习兴趣、学习质量，甚至承受了过重的课业负担、心理压力。针对此情况，小学数学教师有必要渗透数形结合思想。

一、渗透数形结合思想的必要性

（一）数形结合思想的教育价值

1.提高学生的思维能力

在成长的过程中，个体的认知结构也在不断重组、改造。依据个体的认知发展特点，皮亚杰将认知发展分为四个阶段。小学生的认知发展处于具体运算阶段和形式运算阶段。在这两个阶段，小学生的形象思维较发达，往往依赖实物、直观形象来建立认知。在实物、直观形象的助力下，他们获得逻辑运算、推理机会，有利于发展逻辑思维能力。数形结合思想能借助直观的形（实物、图像、线段、图形等）展现抽象的事物，使学生发挥形象思维作用，克服种种认知障碍，建立良好的数学认知[2]。

2.优化学生的认知结构

建构认知结构其实是联系新旧知识的过程。无论何种认知结构，都可以用符号、图像、动作进行表征，但对大部分小学生来说，数学逻辑性强、抽象程度高，很难理解。教师渗透数形结合思想能够借助直观的图像、线段等，展现不同知识点之间的联系，助力学生建构数学认知[3]。

3.增强学生的问题解决能力

解决数学问题是数学学科的重要活动，也是学生学习数学的目的之一。数形结合思想作为“数”与“形”相互转化的手段，可以使学生借助具体的形象表征来分析、解决复杂的数学问题[4]。例如，在解决数学应用题时，学生可以把握关键信息，绘制线段图、示意图等，直观地展现数量关系，把握问题本质，理清问题解决思路，继而列式、运算，解决问题。长此以往，学生会扎实掌握问题解决方法，积累问题解决经验，提升问题解决能力。

4.培养学生的审美情趣

从数学研究历史上看，在很长的一段时间内，“数”与“形”处于割裂状态。在解析几何创立之后，“数”与“形”实现结合。二者的结合展现了数学的简洁美、统一美、和谐美等，如可以用直观的“形”展现抽象复杂的“数”（文字、数、方程等）。学生在长期学习和应用数形结合思想的过程中，不仅可以建构深刻的数学认知，还可以在不知不觉中受到数学多元美的熏陶，有利于培养良好的审美情趣。

（二）新课标要求

《义务教育数学课程标准（2022 年版）》（以下简称《课程标准》）是数学教学的导向。《课程标准》强调了数学学科的抽象性，提出直观化教学要求。在教学中，教师要引导学生从生活现象中抽象出数学知识，从具体事物中抽象出简单的几何体和平面图形。同时，《课程标准》在过去“双基”的基础上增加了数学基本思想、基本的数学活动经验。这些要求均强调了数形结合思想的重要性。

综上所述，教师在小学数学教学中渗透数形结合思想，能在降低数学学习难度的基础上，让学生在知识、方法、能力等方面有所发展，实现数学教学提质增效。所以，小学数学教师应采用适宜的策略渗透数形结合思想。

二、渗透数形结合思想的策略

（一）以形助数

1.以形助数，掌握数学概念

数学概念是数学学科的基础内容，具有概括性、抽象性[5]。在学习数学概念时，学生要分析、对比大量实例，发现其统一属性。形是学生进行对比的助力。教师可以依据具体的数学概念，呈现相关的形，引导学生观察、对比，归纳统一属性，认知数学概念。

例如，在“千以内数的认识”这节课上，学生要了解计数单位之间的关系。对此，教师可以操作电子白板，先后展示一个小立方体、十个小立方体、一百个小立方体、一千个小立方体，而学生认真观察小立方体从一到千的数量变化过程。在此过程中，教师可以引导学生对比不同的模型，让学生分析它们之间的关系。在对比时，很多学生会发挥形象思维作用，发现“十个1 是10，十个10 是100，十个100 是1000”。基于此，学生会在脑海中建立“十进制”的概念。教师可以趁机介绍计数单位之间的十进制关系，使学生建构清晰的认知。这样学习数学概念更高效。在这一过程中，学生可以在脑海中建立深刻的直观表象，提高记忆水平，同时汲取学习经验，学会借助形学习数。

2.以形助数，化解学习难点

“数形结合”不仅是一种数学思想，而且是一种切实可行的数学学习方法。在学习数学时，学生受到思维能力、认知水平等因素的影响，会遇到诸多学习难点，如数学概念、复杂的数学运算等。教师可以发挥数形结合思想的作用，引导学生刻画形，展现数学现象，并进行观察、分析、归纳，逐步得出数学结论，轻松化解学习难点。

例如，在教学“异分母分数加减法”时，教师可以先呈现情境图，引导学生观察、思考、列式。基于学生的列式结果，教师可以鼓励他们对比所学，发现不同之处。在已有认知的支撑下，学生很容易发现所列出的算式是异分母分数加法。教师可以趁机引导学生思索异分母分数加法的计算方法。

在学生没有解题思路的情况下，教师可以鼓励他们拿出一张长方形纸，将它对折，为其中二分之一的部分涂色。在学生涂色后，教师可以引导他们继续对折这张纸，为其中四分之一的部分涂色。面对操作成果，学生认真观察，很容易发现“两次涂色的部分一共占了这张纸的四分之三”。一些认知水平较高的学生会发散思维，发现“二分之一是两个四分之一”，“二分之一加四分之一是四分之三”。教师可以引导学生分析此过程和结果。在分析时，学生不断观察涂色情况，回想自己的发现，确定“在进行异分母分数加法计算时，需要将两个分数的分母化成同一个数”。这时，教师可以引出“通分”这一概念。与此同时，教师可以操作电子白板，演示类似现象。学生通过不断观察、思考，得出结论——在进行异分母分数加法计算时，要先通分，再进行同分母分数加法计算。如此学习使学生轻松掌握了算理，提高了数学运算水平。

3.以形助数，解决数学问题

善于解决数学问题不是指善于遵循一定的标准来解决问题，而是能独立思考，使用恰当的方法解决问题[6]。数形结合是学生解决数学问题的助手，学生通过绘制线段图，可以直观地发现问题中的数量关系，顺利解决问题。又如，学生通过绘制图像、图表等，可以直观地发现数学问题中蕴含的规律，找到解决问题的方法。对此，小学数学教师可以引导学生借助形来解决数学问题。

例如，在学习“倍的认识”时，学生要解决应用题：“超市的一盒军棋8 元，一盒象棋是军棋价格的4 倍。请问，一盒象棋多少钱？”在刚刚认知“倍”的概念的情况下，大部分学生面对这个应用题很容易摸不着头脑。这时，教师可以指导他们绘制线段图。教师可以引导学生将8 元看作一个线段。学生会迁移课堂认知，画出4 段同样长的线段，展现“一盒象棋是军棋价格的4 倍”的含义。在直观、清晰的线段图的作用下，学生发散思维，转化数学问题，如“求象棋的价格，就是在求4 盒军棋的价格”。如此一来，学生可以轻松列出算式：8×4，得出结果：32。教师可以依据学生的问题解决情况，总结解题方法——画线段图，强化认知。同时，教师可以呈现其他类似问题，鼓励学生自主解决。在解决问题后，大部分学生利用线段图展现问题中的条件，获取数量关系并列式、计算。学生体验这样的数学问题解决活动，切实掌握了方法，建构了以形助数的认知，有利于今后解决数学问题。

（二）以数辅形

1.以数辅形，感知图形特点

尽管几何图形的性质具有直观性，但是在缺乏量化分析的情况下，学生对图形的特征是难以判断的。对此，小学数学教师应引导学生借助数来分析形，把握数量关系，确定图形的特点，增强对图形的认知。

例如，在教学“长方形和正方形”时，教师可以为学生提供大小不同的长方形模型，引导学生观察、测量，建立表格，展现每个长方形模型的长、宽、角等信息。在操作的过程中，学生获得数据，建立表格，认真对比，发现长方形的特点，如，“长方形的四个角都是直角”“长方形的对边相等”“长方形永远有两个长边和两个短边”等。基于学生的发现，教师可以进行归纳，使学生建立完善的认知。之后，教师可以按照如此方式，引导学生探寻正方形的特点。甚至，教师可以引导学生操作电子白板，改变长方形的一边长，不断测量长度。在操作的过程中，学生借助具体的数据可以发现，当长方形的长和宽同样长时，会变成一个正方形，由此发现长方形和正方形的关系——正方形是特殊的长方形。学生由此便可在脑海中建立深刻的印象，建构完善的认知结构。

2.以数辅形，证明图形问题

证明离不开严密的逻辑推理。一般情况下，经过证明的结论是具有科学性的。一些图形问题虽然可以通过直接观察得出结论，但仍需要借助数证明，使结论更准确、科学。所以，小学数学教师应引导学生用数来证明图形问题。

例如，在学习“圆”后，学生会面对这样的证明（如图1）：某人从A点走到B点，有两条路可选，分别为①和②，哪一条路更近？为什么？

图1

经过一番观察，学生会提出猜测。在学生观察后，教师可以引导学生使用赋值法，赋予大圆和三个小圆不同的直径。通过阅读题目，学生很容易发现，比较路程的远近其实就是在比较半圆的弧长。因此，学生可以迁移已有认知，借助圆的周长计算公式列出算式，得出结论——两条路一样长。通过用数来证明形，学生可以轻松解决问题。此外，在解决问题的过程中，学生受数形结合思想的影响，能够掌握以数辅形法，用转化数与形来解决数学问题，提高数学学习水平。

三、结束语

总而言之，数形结合思想是学生学习数学的助力。学生通过掌握、应用数形结合思想，既可以降低数学学习难度，提高数学学习兴趣，还可以扎实掌握数学知识，获取数学学习方法，积累数学学习经验，增强思维能力，优化认知结构，提高问题解决能力，培养审美情操。基于此，小学数学教师应注重渗透数形结合思想，以日常教学为依托，以教学需要为依据，借助数与形的关系引导学生学习数学概念、解决数学问题，做到以形助数，以及用数来感知图形特点，证明图形问题，做到以数辅形，发展数学学习能力，实现数学学习提质增效。