例谈放缩法在求解导数问题中的妙用

李丁

放缩函数与放缩参量在取值范围、不等式恒成立等问题中经常使用，其重要性不必赘述.很多导数题目可以转化为上述问题，学生在使用上述方法时，往往会出现一种倾向，即看到题目就想构造函数然后求函数的最值，以至于导致后续函数式过于复杂，而不能求解.事实上，我们要认识到每一种方法的运用都不能教条主义，本文通过几个典型例题的分析求解，旨在帮助学生们辩证处理此类题目，多一种考虑问题的角度，进而做到择其优者而选之.

题目1 （2018年高考数学全国卷I文科第21题）已知函数若fx=aex－lnx－1.（１）设x=2是fx的极值点，求a，并求fx的单调区间；（２）证明：当a≥1e时，fx≥0.

解：（1）解法同高考参考答案，不再赘述.

（2）法一：（放缩函数法）当a≥1e时，fx≥0等价于aex－1≥lnx

令gx=aex－1，hx=lnx；如图1，易求函数hx=lnx在1，0处的切线方程为mx=x－1，并且易证mx≥hx，下面证明gx≥mx.

做辅助函数k（x）=g（x）－mx=aex－x，k′x=aex－1，k′x=0，x=－lna当a≥1时，x∈（0，+∞），k′x≥0，kx单调递增，kx>k0=a>0，所以gx≥mx；

当1e≤a<1时，x∈0，－lna，k′x<0，kx单调递减，

x∈－lna，+∞，k′x>0，kx单调递增，kxmin=k－lna=1+lna≥0，kx>kxmin=1+lna≥0，所以gx≥mx综上述，当a≥1e时，gx≥mx.

由以上分析可知，gx≥mx≥hx，所以，当a≥1e时，aex－1≥lnx，即fx≥0.

法二：（放缩参量法）当a≥1e时，fx=aex－lnx－1≥ex－1－lnx－1.令gx=ex－1－lnx－1，欲证fx≥0，只需证gx=ex－1－lnx－1≥0.由g′x=ex－1－1x，则y=g′x在0，+∞上单调递增且g′1=0，所以当x∈0，1时g′x<0，则gx=ex－1－lnx－1在0，1单调递减，当x∈1，+∞时，g′x>0，则gx=ex－1－lnx－1在1，+∞单调递增，所以y=gx的最小值是g1=0，所以fx≥gx≥g1=0，所以，当a≥1e时，fx≥0.

题目2 （2018年高考数学全国卷III文科第21题）已知函数fx=ax2+x－1ex.（1）求曲线y=fx在点0，－1处的切线方程；（2）证明：当a≥1时，fx+e≥0.

解法：（1）解法同高考参考答案，不再赘述.

（2）法一：（放缩函数法）fx+e≥0即ax2+x≥－ex+1+1.令mx=ax2+x，gx=－ex+1+1，如图2，做gx在－1，0处的切线hx=－x－1.

欲证fx+e≥0，只需证mx≥hx≥gx，下面证明hx≥gx.令Fx=hx－gx，即Fx=ex+1－x－2，即证明Fx≥0.F′x=ex+1－1，F′（x）=0，x=－1，当x∈（－∞，－1）时，F′（x）<0，则F（x）在（－∞，－1）单调递减，当x∈（－1，+∞）时，F′（x）>0，则F（x）在（－1，+∞）单调递增，F（x）min=F－1=0，所以F（x）≥0，即h（x）≥g（x）.下面再证明m（x）≥h（x），即证明m（x）－h（x）≥0，令H（x）=m（x）－h（x）=ax2+2x+1，由于a≥1，Δ=4－4a≤0，所以H（x）=m（x）－h（x）≥0，即m（x）≥h（x）.由以上可知m（x）≥h（x）≥g（x），即f（x）+e≥0.

法二：（放缩参量法）当a≥1时，f（x）+e≥x2+x－1ex+e，欲证f（x）+e≥0，只需证明x2+x－1ex+e≥0，即ex+1+x2+x－1≥0.令g（x）=ex+1+x2+x－1，则g′（x）=ex+1+2x+1.当x<－1时，g′（x）<0，g（x）单调递减；当x>－1时，g′（x）>0，g（x）单调递增.所以g（x）≥g－1=0，因此，f（x）+e≥0.

题目3 （2018年北京市朝阳区一模理科第18题）已知函数f（x）=lnxx－ax．（1）当a=2时，（ⅰ）求曲线y=f（x）在点1，f1处的切线方程；（ⅱ）求函数f（x）的单调区间；

（2）若1

解：（1）易解，不再赘述.

（2）法一：（放缩函数法）f（x）<－1即lnx

欲证f（x）<－1，只需证m（x）>h（x）≥g（x），下证h（x）≥g（x）.令F（x）=h（x）－g（x）=x－1－lnx，F′（x）=x－1x，F′（x）=0，x=1，当x∈0，1时，F′（x）<0，F（x）单调递减，当x∈1，+∞时，F′（x）>0，F（x）单调递增，所以F（x）≥F1=0，即h（x）≥g（x）.

下证m（x）>h（x）.令H（x）=m（x）－h（x）=ax2－2x+1，由于10，即m（x）>h（x）.

法二：（放缩参量法）f（x）<－1，即ax2－x－lnx>0.令g（x）=ax2－x－lnx，由于1x2－x－lnx，令h（x）=x2－x－lnx，所以欲证f（x）<－1，只需证明h（x）=x2－x－lnx≥0.下证h（x）=x2－x－lnx≥0.h′（x）=2x2－x－1x，h′（x）=2x2－x－1x=0，x=1，当x∈0，1时，h′（x）<0，h（x）单调递减，当x∈1，+∞时，h′（x）>0，h（x）单调递增，所以h（x）≥h1=0，所以g（x）=ax2－x－lnx>x2－x－lnx≥0，因而f（x）<－1.

总结：放缩函数法运用以直代曲思想，做出切线，把曲线根据需要放缩為直线，利用切线与曲线的位置关系加以证明.放缩参量法运用放缩参量的方法成功避免了求含有参数函数的最值，使不等式证明变得简单化.

参考文献

［1］薛金星.2018年全国及各省市高考试题全解（11）［M］.陕西人民教育出版，2018，6.

本文是北京高教学会数学研究分会/北京交叉科学学会项目课题的部分研究成果.