圆锥曲线中两类定值问题的等价刻画

李波

文［1］考察了圆锥曲线的一个定点问题：在圆锥曲线Γ上任取一点P，过P作两条斜率分别为k1，k2的直线l1，l2，且l1，l2交Γ于A，B两点，若k1+k2（或k1k2）为定值，直线AB是否过定点？本文将探究两类类似的定值问题，并给出等价刻画.

性质1 如图1，过点F（t，0）（t≠0）的两条不同直线l1，l2交

椭圆E：x2a2+y2b2=1（a>b>0）所得的两弦AB，CD的中点分别为P，Q，k1，k2分别是l1，l2的斜率，则

（1）以下条件等价：①k1k2=λ（≠0），②kOP·kOQ=b4λa4；③直线PQ//x轴或恒过定点λa2tλa2－b2，0；

（2）以下条件等价：①k1+k2=μ，②1kOP+1kOQ=－a2μb2；③直线PQ⊥x轴或恒过定点t，－b2ta2μ.

证明：设l1的方程y=k1（x－t）与椭圆E的方程联立，消y并整理得（b2+a2k21）x2－2a2k21tx+a2（k21t2－b2）=0，则xP=a2k21tb2+a2k21，yP=k1（xP－c）=－b2k1tb2+a2k21（-）.将（-）中的k1用k2替换得xQ=a2k22tb2+a2k22，yQ=－b2k2tb2+a2k22.

（1）的证明：先证①②，①③.

由于kOP·kOQ=b4a4k1k2，故①②.

当xP=xQ时，可得xP=xQk21=k22k1=－k2（因k1≠k2）k21=－λ.此时，xP=λa2tλa2－b2，即直线PQ过λa2tλa2－b2，0.当xP≠xQ时，有kPQ=yP－yQxP－xQ=（λ－k21）（λa2－b2）k1a2（λ－k21）（λ+k21），而k1≠k2，则λ≠k21，故kPQ=（λa2－b2）k1a2（λ+k21）.若λ=b2a2，则kPQ=0，即PQ//x轴.若λ≠b2a2，则直线PQ的方程y－yP=kPQ（x－xP），令y=0得kPQx=kPQxP－yP，即（λa2－b2）k1a2（λ+k21）x=b2k1tb2+a2k21+（λa2－b2）k1λ+k21·k21tb2+a2k21，整理得x=λa2tλa2－b2.

综上，直线PQ//x轴或恒过定点λa2tλa2－b2，0，即①③成立.

再证③①：若PQ//x轴，则yP=yQ，即（k1－k2）（b2－a2k1k2）=0，而k1≠k2，故k1k2=b2a2是定值.当PQ恒过x轴上的定点（m，0）（m≠0）时，（i）若kPQ不存在，即xP=xQ=m，则k1，k2是关于k的方程a2k2tb2+a2k2=m的根，由根与系数的关系可得k1k2=mb2a2（m－t）；

（ii）若kPQ存在，则kPQ=yP－yQxP－xQ=b2a2·k2（b2+a2k21）－k1（b2+a2k22）k21（b2+a2k22）－k22（b2+a2k21）=a2k1k2－b2a2（k1+k2）.

进而，直线PQ的方程为y=kPQx－xP+yp=kPQ（x－m）+kPQ（m－xP）+yP，其中kPQ（m－xP）+yP=0，此式整理得b2m=a2（m－t）k1k2，即k1k2=b2ma2（m－t）.将m换成λa2tλa2－b2，整理得k1k2=λ.

（2）的證明：先证①②，①③.

由于1kOP+1kOQ=－a2（k1+k2）b2，故①②.

由于k1+k2=μ，则xQ=a2（μ－k1）2tb2+a2（μ－k1）2，yQ=－b2（μ－k1）tb2+a2（μ－k1）2.当xP=xQ时，有xP=xQ（μ－k1）2=k21μ=0.当μ=0时，PQ⊥x轴.当μ≠0时，直线PQ的斜率存在，即kPQ=yP－yQxP－xQ=b2a2·（μ－k1）（b2+a2k21）－k1（b2+a2（μ－k1）2）k21（b2+a2（μ－k1）2）－（μ－k1）2（b2+a2k21）=b2a2·（μ－2k1）（b2+a2k1（k1－μ））μb2（2k1－μ）=a2k1μ－（b2+a2k21）a2μ，则直线PQ的方程为y=a2k1μ－（b2+a2k21）a2μx－a2k21tb2+a2k21－b2k1tb2+a2k21=a2k1μ－（b2+a2k21）a2μx－t－b2ta2μ，即PQ恒过定点t，－b2ta2μ.

再证③①：由于xQ=a2k22tb2+a2k22，yQ=－b2k2tb2+a2k22，若PQ⊥x轴，则xP=xQ，得k1+k2=0.设直线PQ恒过（t，m）（m≠0），则直线PQ的方程y=kPQx－xP+yp=kPQ（x－t）+kPQ（t－xP）+yP，其中kPQ（t－xP）+yP=m，整理得－b2t=a2m（k1+k2），故k1+k2=－b2ta2m.将m换成－b2ta2μ，可得k1+k2=μ.

注：当t∈［－a，0）∪（0，a］时，k1k2（≠0），k1+k2可取任意实数；当t∈－∞，－a∪a，+∞时，k1k2∈－b2t2－a2，b2t2－a2，k1+k2∈－2bt2－a2，2bt2－a2.

双曲线和圆上有与性质1完全类似的结论，即

性质2 过点F（t，0）（t≠0）的两条不同直线l1，l2交双曲线E：x2a2－y2b2=1所得的两弦AB，CD的中点分别为P，Q，k1，k2分别是l1，l2的斜率，则

（1）以下条件等价：①k1k2=λ（≠0）；②kOP·kOQ=b4a4λ；③直线PQ//x轴或恒过定点λa2tλa2+b2，0；

（2）以下条件等价：①k1+k2=μ；②1kOP+1kOQ=a2μb2是常数；③直线PQ⊥x轴（μ=0）或恒过定点t，－b2ta2μ（μ≠0）.

性质3 过点F（t，0）（t≠0）的两条不同直线l1，l2交圆E：x2+y2=r2（r>0）所得的两弦AB，CD的中点分别为P，Q，k1，k2分别是l1，l2的斜率，则

（1）以下条件等价：①k1k2=λ（≠0）；②kOP·kOQ=1λ；③直线PQ//x轴（λ=1）或恒过定点λtλ－1，0（λ≠1）；

（2）以下条件等价：①k1+k2=μ；②1kOP+1kOQ=－μ；③直线PQ⊥x轴（μ=0）或恒过定点t，－tμ（μ≠0）.

抛物线上的情况略有不同，即

性质4 过点F（t，0）（t≠0）的两条不同直线l1，l2交抛物线E：y2=2px（p>0）所得的两弦的中点分别为P，Q，k1，k2分别是l1，l2的斜率，则

（1）以下条件等价：①k1k2=λ（≠0）；②直线PQ定点t－pλ，0；

（2）以下条件等价：①k1+k2=μ；②直线PQ⊥x轴（μ=0）或恒过定点t，pμ（μ≠0）.

参考文献

［1］贾永进，赵永彩，杨列敏.对一类解析几何问题的探究［J］.中学数学教学参考（上旬），2020（11）：52-54.